6.3 等比数列及其前n项和课件_图文

数学

北(理)

§6.3

等比数列及其前n项和
第六章 数列

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 1.等比数列的特征
从等比数列的定义看, 等比数列的任意项都是 非零的,公比 q 也是非 零常数.

1.等比数列的定义
如果一个数列 从第2项起,每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数(不为 零) ,那么这个数列叫做等比数列,这

个常数叫做等比数列的 公比 ,通常用字 母 q 表示.

2.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q, 则它的通项 an=
基础知识

a1qn-1
题型分类

.
思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 2.等比数列中的函数 观点
利用函数、方程的观点 和方法,揭示等比数列 的特征及基本量之间的
n-m

3.等比中项 若
G2=a· b (ab≠0) ,那么 G 叫做

a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· q (n,m∈N*). (2)若{an}为等比数列, 且 k+l=m+n
al=am· an . (k,l,m,n∈N*),则 ak·

关系.在借用指数函数



讨论单调性时,要特别 注意首项和公比的 大小.

基础知识

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基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 2.等比数列中的函数 观点
利用函数、方程的观点 和方法,揭示等比数列 的特征及基本量之间的 关系.在借用指数函数 讨论单调性时,要特别 注意首项和公比的 大小.

(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数 ? ?1? ? 2 ? ?, 列, 则{λan}(λ≠0), { a {an· bn}, n}, ?an? ? ? ? ?an? ? ? ?仍是等比数列. ?bn? ? ? 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0), 其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时,Sn= = . 1- q 1- q
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基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 3.两个防范
(1)由 an+1=qan,q≠0 并

6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n

不能立即断言 {an}为等比 数列,还要验证 a1≠0. (2)在运用等比数列的前 n

项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 项和公式时,必须注意对 qn 仍成等比数列,其公比为____. q=1 与 q≠1 分类讨论,
殊情形导致解题失误.

防止因忽略 q=1 这一特

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基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
2n
51

解析

2
2 D

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题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本量的计算
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 等比数列{an}的前 n 项和 为 Sn. 已知 S1 , S3 , S2 成等差 数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

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题型一 等比数列的基本量的计算
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 等比数列{an}的前 n 项和 为 Sn. 已知 S1 , S3 , S2 成等差 数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

(1)由 S1,S3,S2 成等差数列, 列方程求出 q. (2)由 a1-a3=3 求出 a1,再由 通项和公式求出 Sn.

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题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本量的计算
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 等比数列{an}的前 n 项和 为 Sn. 已知 S1 , S3 , S2 成等差 数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.



(1)依题意有 a1+(a1+a1q)

=2(a1+a1q+a1q2).

由于 a1≠0,故 2q2+q=0. 1 又 q≠0,从而 q=-2.

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题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本量的计算
思维启迪 解析 探究提高
? 1? a1-a1?-2?2=3. ? ?

【例 1】 等比数列{an}的前 n 项和 为 Sn. 已知 S1 , S3 , S2 成等差 数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

(2)由已知可得 故 a1=4.

从 而 Sn =
? ? 1? ? ?1-?- ?n?. ? ? 2? ?

? 1? 4[1-?-2?n] ? ? ? 1? 1-?-2? ? ?

8 = 3

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题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本量的计算
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 等比数列{an}的前 n 项和 为 Sn. 已知 S1 , S3 , S2 成等差 数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

等比数列基本量的运算是等比 数列中的一类基本问题, 数列中 有五个量 a1,n,q,an,Sn,一 般可以“知三求二”, 通过列方 程(组)可迎刃而解.

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题型分类·深度剖析
变式训练 1 等比数列 {an}满足:a1+a6=11, 32 a3 · a4 = ,且公比 9 q∈(0,1). (1)求数列 {an}的通项公 式; (2)若该数列前 n 项和 Sn=21,求 n 的值.
32 解 (1)∵a3· a4=a1· a6= 9 ,又 a1+a6=11, 32 2 故 a1,a6 可看作方程 x -11x+ =0 的两根, 9 32 1 又 q∈(0,1),∴a1= 3 ,a6=3, a6 1 1 5 ∴q = = , ∴q= , a1 32 2

32 ?1?n-1 1 ?1?n-6 ? ? ? ? ∴an= 3 · =3· . 2 ? ? ?2?

1? 64? (2)由(1)知 Sn= 3 ?1-2n?=21,解得 n=6. ? ?

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题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 在等比数列{an}中, 1 (1)若已知 a2=4,a5=- ,求 an; 2 (2)若已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值.

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题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 在等比数列{an}中, 1 (1)若已知 a2=4,a5=- ,求 an; 2 (2)若已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值.

注意巧用性质, 减少计算. 如: 对于等比数列 {an},若 m +n = p+ q (m、 n、 p、 q∈N*), 则 am· an = ap· aq ;若 m + n = 2p(m,n,p∈N*),则 am· an= a2 p.

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题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 在等比数列{an}中, 1 (1)若已知 a2=4,a5=- ,求 an; 2 (2)若已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值.

a5 (1)设公比为 q,则 =q3,即 q3= a2 1 - , 8 ? 1? - 1 n-5 ∴q=-2,∴an=a5· q =?-2?n 4. ? ?

(2)∵a3a4a5=8,又 a3a5=a2 4, ∴a3 4=8,a4=2.
5 ∴a2a3a4a5a6=a4 =25=32.

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题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
解析 探究提高 思维启迪 【例 2】 在等比数列{an}中, 1 (1)若已知 a2=4,a5=- ,求 an; 在解决等比数列的有关问题时, 2 利用性质, (2)若已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 要注意挖掘隐含条件,

的值.

特别是性质“若 m+n=p+q,则 am· an=ap· aq”,可以减少运算量, 提高解题速度.

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题型分类·深度剖析
变式训练 2 (1)已知各项均为正数的等比数列 {an}中, a1a2a3=5, a7a8a9=10,则 a4a5a6 等于 ( A ) A.5 2 B. 7 C.6 D.4 2

解析

把 a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9 看成一个整体,则由题意,知它们分

别是一个等比数列的第 1 项, 第 4 项和第 7 项, 这里的第 4 项刚好是 第 1 项与第 7 项的等比中项.因为数列{an}的各项均为正数,所以 a4a5a6= ?a1a2a3?· ?a7a8a9?= 5×10=5 2.

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题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2)已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和, 且 S3=8, S6=7,

7 -8 则 a4+a5+?+a9=________.
解析 根据等比数列的性质,知 S3,S6-S3,S9-S6 成等比数列,即 1 8,7-8,S9-7 成等比数列,所以(-1)2=8(S9-7).解得 S9=78.所以 1 7 a4+a5+?+a9=S9-S3=78-8=-8.

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题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析

探究提高

【例 3】

已知数列{an}的前 n 项

和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1, bn=an-an-1 (n≥2),且 an+Sn = n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是 等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

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题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析

探究提高

【例 3】

已知数列{an}的前 n 项

和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1, bn=an-an-1 (n≥2),且 an+Sn = n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是 等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

(1)由 an+Sn=n 及 an+1+Sn+1=n+ 1 转化成 an 与 an+1 的递推关系,再 构造数列{an-1}. (2)由 cn 求 an 再求 bn.

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题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析

探究提高
① ②

【例 3】

已知数列{an}的前 n 项 (1)证明 ∵an+Sn=n,

和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1, ∴an+1+Sn+1=n+1. bn=an-an-1 (n≥2),且 an+Sn = n.

②-①得 an+1-an+an+1=1,

an+1-1 1 ∴ =2,∴{an-1}是等比数列. a - 1 (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是 n 1 又 a1+a1=1,∴a1= , 2 等比数列;

∴2an+1=an+1, ∴2(an+1-1)=an-1,

(2)求数列{bn}的通项公式.

1 ∵首项 c1=a1-1,∴c1=-2,公比 q

1 =2.又 cn=an-1, 1 1 ∴{cn}是以- 为首项, 为公比的等 2 2 比数列.

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题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析

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【例 3】

已知数列{an}的前 n 项

(2)解

由(1)可知

和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1, bn=an-an-1 (n≥2),且 = n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是 等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

? 1? ?1? - ? ?n 1 = cn=?-2?· ? ? ?2?

?1? ? ?n, - an+Sn ?2?

?1? ∴an=cn+1=1-?2?n. ? ?
?1? ∴当 n≥2 时,bn=an-an-1=1-?2?n ? ? ? ?1? - ? ?1? - ?1? ?1? n 1 n 1 n -?1-?2? ?=?2? -?2? =?2?n. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 又 b1=a1= 代入上式也符合, ∴bn 2 ?1? =?2?n. ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析

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【例 3】

已知数列{an}的前 n 项

注意判断一个数列是等比数列的方 法, 另外第(2)问中要注意验证 n=1 时是否符合 n≥2 时的通项公式, 能 合并的必须合并.

和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1, bn=an-an-1 (n≥2),且 an+Sn = n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是 等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

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题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn=2an+1, 求证:{an}是等比数列,并 求出通项公式.
解析 (1)∵an+1-an=2,

∴Sn+1=2an+1+1. ∴an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1)
=2an+1-2an. ∴an+1=2an,又∵S1=2a1+1=a1, ∴a1=-1≠0.又由 an+1=2an 知 an≠0,
an+1 ∴ =2.∴{an}是以-1 为首项,2 为 an 公比的等比数列.

∴an=-1×2n-1=-2n-1.

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答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例: (12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三 个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? ? ? ? Sn,求证:数列 Sn+4?是等比数列. ? ? ? ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

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题型分类·深度剖析
答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例: (12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三 个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? ? ? ? Sn,求证:数列 Sn+4?是等比数列. ? ? ? ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

设等差数列的三个正数,利用等比数列的性质解出公差 d, 从而求出数列 {bn}的首项、公比;利用等比数列的定义可 解决第(2)问.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例: (12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三 个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? ? ? ? Sn,求证:数列 Sn+4?是等比数列. ? ? ? ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)解

设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d,
2分

依题意,得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5. 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100, 解得 d=2 或 d=-13(舍去). 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2.
基础知识 题型分类 思想方法

4分

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例: (12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三 个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? ? ? ? Sn,求证:数列 Sn+4?是等比数列. ? ? ? ?

审 题 视 角
2 2

规 范 解 答

温 馨 提 醒

5 由 b3=b1· 2 ,即 5=b1· 2 ,解得 b1= . 4 5 所以{bn}是以4为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为
(2)证明

5 n-1 bn=4· 2 =5· 2n-3.

5 n ? 1 - 2 ? 4 5 n-2 数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5· 2 -4,即 Sn 1-2

6分

5 +4=5· 2n-2.
基础知识 题型分类 思想方法

8分

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例: (12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三 个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? ? ? ? Sn,求证:数列 Sn+4?是等比数列. ? ? ? ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

5? 5 ? ? ? 因此 Sn+4 是以 为首项,2 2 ? ? ? ?

5 Sn+1+ n-1 5· 2 4 5 5 所以 S1+ = , = n-2=2. 4 2 5 5· 2 Sn+ 4 ? ?

为公比的等比数列.

12分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例: (12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三 个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? ? ? ? Sn,求证:数列 Sn+4?是等比数列. ? ? ? ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

求解等差和等比数列综合性问题的一般步骤: 第一步:设等比数列、等差数列的基本量; 第二步:根据条件列方程,解出基本量; 第三步:根据公式求通项或前 n 项和; 第四步:根据定义证明等差、等比数列;对于等比数列,
一定要说明首项非零.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例: (12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三 个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? ? ? ? Sn,求证:数列 Sn+4?是等比数列. ? ? ? ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

关于等差(比)数列的基本运算,其实质就是解方程或方程组, 需要认真计算,灵活处理已知条件.容易出现的问题主要有 两个方面:一是计算出现失误,特别是利用因式分解求解方 程的根时,不注意对根的符号进行判断;二是不能灵活运用 等差(比)数列的基本性质转化已知条件, 导致列出的方程或方 程组较为复杂,增大运算量.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1.等比数列的判定方法有以下几种: an+1 (1)定义: =q (q 是不为零的常数, n∈N*)?{an}是等比数列. an

方 法 与 技 巧

(2)通项公式:an=cqn-1 (c、q 均是不为零的常数,n∈N*)?{an} 是等比数列. (3)等比中项法:a2 an+2(an· an+1· an+2≠0,n∈N*)?{an}是等 n+1=an· 比数列.

2.方程观点以及基本量(首项和公比 a1,q)思想仍然是求解等比 数列问题的基本方法:在 a1,q,n,an,Sn 五个量中,知三求二.
3.在求解与等比数列有关的问题时,除了要灵活地运用定义和 公式外,还要注意性质的应用,以减少运算量而提高解题速度.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.特别注意 q=1 时,Sn=na1 这一特殊情况.

失 误 与 防 范

2.由 an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数 列,还要验证 a1≠0.
3.在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q =1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q=1 这一特殊 情况而导致解题失误.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2011· 辽宁)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为( A.2 C.8 B. 4 D.16

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2011· 辽宁)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为( B ) A.2 C.8 B. 4 D.16

解 析
由 anan+1=16n,知 a1a2=16,a2a3=162,

后式除以前式得 q2=16,∴q=± 4.

∵a1a2=a2 1q=16>0,∴q>0,∴q=4.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.等比数列 an 中,|a1|=1,a5=-8a2.a5>a2,则 an 等于( A.(-2)n C.(-2)n
-1

)

B.-(-2)n

-1

D.-(-2)n

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.等比数列 an 中,|a1|=1,a5=-8a2.a5>a2,则 an 等于( A ) A.(-2)n C.(-2)n
-1

B.-(-2)n

-1

D.-(-2)n

解 析
∵|a1|=1,∴a1=1 或 a1=-1.
∵a5=-8a2=a2· q3,∴q3=-8,∴q=-2.
又 a5>a2,即 a2q3>a2,∴a2<0.而 a2=a1q=a1· (-2)< 0,∴a1=1.故 an=a1· (-2)n-1=(-2)n-1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.在等比数列{an}中,a1=2,前 n 项和为 Sn,若数列{an+1}也是 等比数列,则 Sn 等于 A.2n 1-2


( C.2n D.3n-1

)

B.3n

解 析

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.在等比数列{an}中,a1=2,前 n 项和为 Sn,若数列{an+1}也是 等比数列,则 Sn 等于 A.2n 1-2


B.3n

C.2n

( C ) D.3n-1

解 析
由已知得数列 {an}的前三项分别为 2,2q,2q2.又 (2q+ 1)2= 3(2q2+1),整理得 2q2-4q+2=0,解得 q=1,Sn=2n.

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.在等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21,则公比 q 的值为 A.1 1 B.- 2 1 C.1 或- 2 ( 1 D.-1 或 2 )

解 析

基础知识

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.在等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21,则公比 q 的值为 A.1 1 B.- 2 1 C.1 或- 2 ( C ) 1 D.-1 或 2

解 析
2 ? ?a1q =7, 根据已知条件? 2 ? ?a1+a1q+a1q =21.

1+q+q2 得 =3. q2 1 2 整理得 2q -q-1=0,解得 q=1 或 q=- . 2

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5. 在等比数列{an}中, a1+a2=30, a3+a4=60, 则 a7+a8=________.

解 析

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240 5. 在等比数列{an}中, a1+a2=30, a3+a4=60, 则 a7+a8=________. 解 析
∵a1+a2=a1(1+q)=30,a3+a4=a1q2(1+q)=60,

∴q2=2,∴a7+a8=a1q6(1+q)=[a1(1+q)]· (q2)3

=30×8=240.

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专项基础训练
5 6 7 8 9

6.在数列{an}中,已知 a1=1,an=2(an-1+an-2+?+a2+a1) (n≥2, n∈N*),这个数列的通项公式是________________________.

解 析

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.在数列{an}中,已知 a1=1,an=2(an-1+an-2+?+a2+a1) (n≥2,
? n=1 ?1, an=? n-2 ? * 2 × 3 , n≥2 ? n∈N ),这个数列的通项公式是________________________ .

解 析
由已知 n≥2 时,an=2Sn-1
当 n≥3 时,an-1=2Sn-2
an ①-②整理得 =3 (n≥3), an-1 ? n=1, ?1, ? ∴an= n-2 ? 2 × 3 , n≥2. ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分




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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值为________.

解 析

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1 2 3

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专项基础训练
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7.设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2

-2 . 成等差数列,则 q 的值为________

解 析
由已知条件得 2Sn=Sn+1+Sn+2, an+2 即 2Sn=2Sn+2an+1+an+2,即 =-2. an+1

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5 6 7 8 9

8. (10 分)已知等差数列{an}满足 a2=2, a5=8.(1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列 {bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn} 的前 n 项和 Tn.

解 析

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专项基础训练
5 6 7 8 9

8. (10 分)已知等差数列{an}满足 a2=2, a5=8.(1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列 {bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn} 的前 n 项和 Tn.

(1)设等差数列{an}的公差为 d, ? ?a1+d=2 则由已知得? .∴a1=0,d=2. ? ?a1+4d=8 ∴an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)设等比数列{bn}的公比为 q,则由已知得 q+q2=a4, ∵a4=6,∴q=2 或 q=-3. ∵等比数列{bn}的各项均为正数,∴q=2. b1?1-qn? 1×?1-2n? n ∴{bn}的前 n 项和 Tn= = =2 -1. 1-q 1-2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

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专项基础训练
5 6 7 8 9

1 9. (12 分)已知数列{an}的各项均为正数, 且前 n 项和 Sn 满足 Sn= (an 6 +1)(an+2).若 a2,a4,a9 成等比数列,求数列{an}的通项公式.

解 析

基础知识

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专项基础训练
5 6 7 8 9

1 9. (12 分)已知数列{an}的各项均为正数, 且前 n 项和 Sn 满足 Sn= (an 6 +1)(an+2).若 a2,a4,a9 成等比数列,求数列{an}的通项公式.

解 析
1 解 因为 Sn= (an+1)(an+2), ① 6 1 所以当 n=1 时,有 S1=a1= (a1+1)(a1+2), 6 解得 a1=1 或 a1=2; 1 当 n≥2 时,有 Sn-1=6(an-1+1)(an-1+2). ② ①-②并整理,得(an+an-1)(an-an-1-3)=0 (n≥2).
因为数列{an}的各项均为正数,所以 an-an-1=3 (n≥2).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1 9. (12 分)已知数列{an}的各项均为正数, 且前 n 项和 Sn 满足 Sn= (an 6 +1)(an+2).若 a2,a4,a9 成等比数列,求数列{an}的通项公式.

解 析
当 a1=1 时,an=1+3(n-1)=3n-2,此时 a2 4=a2a9 成立.
当 a1=2 时, an=2+3(n-1)=3n-1, 此时 a2 4=a2a9 不成立. 所以 a1=2 舍去.故 an=3n-2.

基础知识

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

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1 2

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3

专项能力提升
4 5 6 7

1.已知{an}是首项为 1 的等比数列,若 Sn 是{an}的前 n 项和,且 ? ?1? ? ? 28S3=S6,则数列?a ? 的前 4 项和为 ( ) ? ? n? 15 40 40 15 A. 或 4 B. 或 4 C. D. 8 27 27 8

解 析

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1 2

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3

专项能力提升
4 5 6 7

1.已知{an}是首项为 1 的等比数列,若 Sn 是{an}的前 n 项和,且 ? ?1? ? ? 28S3=S6,则数列?a ? 的前 4 项和为 ( C ) ? ? n? 15 40 40 15 A. 或 4 B. 或 4 C. D. 8 27 27 8

解 析

设数列{an}的公比为 q.

当 q=1 时,由 a1=1,得 28S3=28×3=84. 而 S6=6,两者不相等,因此不合题意. 28?1-q3? 1-q6 当 q≠1 时,由 28S3=S6 及首项为 1,得 = . 1-q 1-q
解得 q=3.所以数列{an}的通项公式为 an=3n-1. ? 1 1 1 40 ?1? ? ? ? 所以数列 a 的前 4 项和为 1+3+9+27=27. ? n? ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组
2 3
2

专项能力提升
4 5 6 7

1 2.已知方程(x -mx+2)(x -nx+2)=0 的四个根组成以 为首项的 2 m 等比数列,则 n 等于 ( ) 3 3 2 2 A. B. 或 C. D.以上都不对 2 2 3 3

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2

B组
2 3
2

专项能力提升
4 5 6 7

1 2.已知方程(x -mx+2)(x -nx+2)=0 的四个根组成以 为首项的 2 m 等比数列,则 n 等于 ( B ) 3 3 2 2 A. B. 或 C. D.以上都不对 2 2 3 3

解 析
设 a,b,c,d 是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个 1 根,不妨设 a<c<d<b,则 a· b=c· d=2,a= ,故 b=4,根 2 9 据等比数列的性质,得到:c=1,d=2,则 m=a+b= , 2 9 m 3 m 2 n=c+d=3 或 m=c+d=3, n=a+b= , 则n= 或n= . 2 2 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项 和分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是 A.X+Z=2Y C.Y2=XZ B.Y(Y-X)=Z(Z-Y) D.Y(Y-X)=X(Z-X) ( )

解 析

基础知识

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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项 和分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是 A.X+Z=2Y C.Y2=XZ B.Y(Y-X)=Z(Z-Y) D.Y(Y-X)=X(Z-X) ( D )

解 析
对于含有较多字母的选择题,可以取满足条件的数字代替字 母,代入验证,若能排除三个选项,则剩下的唯一选项就一 定正确;若不能完全排除,则可以取其他数字继续验证排除. 取等比数列为 1,2,22,23,24,?, 令 n=1,得 X=1,Y=3,Z=7. 代入验算,只有选项 D 成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,an+1>an,且 a3+2 是 a2 与 a4 的等差中项,则数列{an}的通项公式是____________.

解 析

基础知识

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练出高分

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1 2

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3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,an+1>an,且 a3+2 是 a2

an=2 与 a4 的等差中项,则数列{an}的通项公式是____________ .

n

解 析

因为 a3+2 是 a2 与 a4 的等差中项,

所以 2(a3+2)=a2+a4. 因为 a2+a3+a4=28,所以 2(a3+2)+a3=28. 所以 a3=8,a2+a4=20. 设数列{an}的公比为 q, a1=32, ? 2 ? ? ? ?a1q =8, ?a1=2, ? 则 解得? 或? 1 3 ? ? q= . ?a1q+a1q =20. ?q=2, ? ? 2 因为数列{an}满足 an+1>an,所以 a1=2,q=2.

所以数列{an}的通项公式为 an=2n.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

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3

专项能力提升
4 5 6 7

5.在等比数列{an}中,若 a9+a10=a (a≠0),a19+a20=b,则 a99 +a100=________.

解 析

基础知识

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.在等比数列{an}中,若 a9+a10=a (a≠0),a19+a20=b,则 a99 b9 8 a +a100=________.

解 析
因为{an}是等比数列,所以 a9+a10,a19+a20,?,a99+a100 b9 成等比数列,从而得 a99+a100= 8. a

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4 5 6 7

6.已知数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*),且 x1+x2+x3+? +x100=1,则 lg(x101+x102+?+x200)=________.

解 析

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1 2

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3

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4 5 6 7

6.已知数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*),且 x1+x2+x3+?

100 +x100=1,则 lg(x101+x102+?+x200)=________.
解 析
由 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*),

xn+1 得 lg xn+1-lg xn=1,∴ x =10, n ∴数列{xn}是公比为 10 的等比数列,∴xn+100=xn· 10100,

∴x101 + x102 + ? + x200 = 10100(x1 + x2 + x3 + ? + x100) = 10100,∴lg(x101+x102+?+x200)=lg 10100=100.

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1
2

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3

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4 5 6

7

7.(13 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、 第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn (2)设数列{cn}对 n∈N*均有 + +?+b =an+1 成立,求 c1+ b1 b2 n c2+c3+?+c2 013.

解 析

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1 2

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3

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4 5 6 7

7.(13 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、 第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn (2)设数列{cn}对 n∈N*均有 + +?+b =an+1 成立,求 c1+ b1 b2 n c2+c3+?+c2 013.

解 析

解 (1)由已知有 a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,

∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d).解得 d=2 (∵d>0). ∴an=1+(n-1)· 2=2n-1. 又 b2=a2=3, b3=a5=9, ∴数列{bn}的公比为 3,

∴bn=3· 3n-2=3n-1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、 第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn (2)设数列{cn}对 n∈N*均有 + +?+b =an+1 成立,求 c1+ b1 b2 n c2+c3+?+c2 013.

c1 c2 cn (2)由 + +?+b =an+1 得 b1 b2 n cn-1 c1 c2 当 n≥2 时,b +b +?+ =an. b 1 2 n-1 cn 两式相减得:n≥2 时,b =an+1-an=2. n

解 析

∴cn=2bn=2· 3n-1 (n≥2).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、 第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn (2)设数列{cn}对 n∈N*均有 + +?+b =an+1 成立,求 c1+ b1 b2 n c2+c3+?+c2 013.

c1 又当 n=1 时, =a2,∴c1=3. 解 析 b1 ? ?n=1? ?3 ∴cn=? n-1 . ? 3 ?n≥2? ?2· 6-2×32 013 ∴c1+c2+c3+?+c2 013=3+ =3+(-3+32 013)=32 013. 1-3

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