2099777.com:3运筹学第二章2007_图文

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运筹学基础
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教 材 《运筹学教程》(第三版) 胡运权 主编

清华大学出版社

运 筹 学 课 件

运 筹 帷 幄 之 中 Linear progranming




决 胜 千 里 之 外

对偶理论


灵敏度分析

第一节
一、对偶问题的提出

线性规划的对偶问题

例一 美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设
备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、 各售出一件时的获利情况如下表所示。问该公司应制造4、6两种家电备多少 件.使获取的利润为最大。

设:

x1—— A产品的生产量 max z= 2 x1 + x2 5x2 ≤ 15 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1,x2 ≥ 0

x2—— B产品的生产量

利润 约束 条件 st .

1)标准化

max z= 2 x1 + x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 5x2 + x3 = 15 约束 6x1 + 2x2 + x4 = 24 st . 条件 x1 + x 2 + x5 = 5 x1,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥ 0 2)写出初始单纯形表(假设存在有单位矩阵)
C CB B 0 0 2 0 1 XB b b

利润

2
x1 1 0 6 1 1 0

1
x2 2 5 0 2 0 1

0
x x33 1 0 0

0
x44 x 0 5/4 1 1/4 0 -1/4

0
x x55 0 -15/2 0 -1/2 1 3/2 θ

15 xx3 15/2 3 xx4 1 xx5 2 σ σ 24 7/2 5 3/2

20

1 0

0 0

0 -1/4

0 -1/2

3)最优解检验(唯一解、无限多解、无界解和无解)
X =(7/2,3/2,15/2,0,0)
*

Z = 17/2

*

一个问题?
市场上设备A、设备B和 调试工序每小时值多少钱?在什么价位时,可以 出租或去租借适当数量的资源来扩大生产规模?

设:

y1 — 设备A值的价值 y2 — 设备B值的价值 y3 — 调试工序值的价值



总价值

min z= 15 y1 + 24y2 + 5y3
6y2 + y3 ≥ 2



st .

5y1 + 2y2 + y3 y1 , y 2 , y3

≥ 1 ≥ 0

问题求解
min z= 15 y1 + 24y2 + 5y3 6y2 + y3 ≥ 2 max z'= -15 y1 - 24y2 - 5y3 6y2 + y3 – y4 = 2

st .

5y1 + 2y2 + y3 y1 , y 2 , y3

≥ 1 ≥ 0

st .

5y1 + 2y2 + y3

– y5 =
=

1
0

y1, y 2, y3, y 4, y5

C

-15

-24

-5

0

0

-M

-M

CB -M
-M

YB y6
y7 σ

b 2
1

y1 0
5

y2 6
2

y3 1
1

y4 -1
0 -M

y5 0
-1 -M

y6 1
0 0

y7 0
1 0

θ

5M-15 8M-24 2M-5

问题求解
min z= 15 y1 + 24y2 + 5y3 6y2 + y3 ≥ 2 max z'= -15 y1 - 24y2 - 5y3 6y2 + y3 – y4 = 2

st .

5y1 + 2y2 + y3 y1 , y 2 , y3
C CB -24 -5 YB y2 y3 σ b 1/4 1/2 -15 y1 -5/4 15/2 -15/2

≥ 1 ≥
-24 y2 1 0 0 0 1 0

st .

5y1 + 2y2 + y3

– y5 =
=

1
0

0
-5 y3 -1/4 1/2 -7/2 0 0 y4

y1, y 2, y3, y 4, y5

y5

θ

1/4 -3/2 -3/2

Y=(0, ?, ? , 0, 0)

z'=-17/2

z = 17/2

问题分析
问题:

Z= ω=CX=Yb

?Z/ ? b=(Yb) '=Y
max z= 2 x1 + x2 5x2 ≤ 15 y1 6x1 + 2x2 ≤ 24 y2 约束 y3 条件 st . x1 + x2 ≤ 5 x1,x2 ≥ 0 问题 的解
X =(7/2,3/2,15/2,0,0) Z = 17/2
* *

原问题: 利润

min z= 15y1 + 24y2 + 5y3 6y2 + y3 估价——影子价格 ≥ 2 st . (即增加单位资源所 ≥ 1 5y1 + 2y2 + y3 得到的贡献) y1 , y 2 , y3 ≥ 0 问题 Y*=(0, ?, ? , 0, 0 ) 的解
Z = 17/2
*



?两个问题的最优解的值一致 ?最大值问题的可行解必定小于最小值问题

结 论

的可行解 ?一个问题的剩余变量(松弛变量) 不为0 (即有资源剩余),则对应问题的解为0 ?一个决策变量不为0,则对应的问题的约束 条件的剩余变量(松弛变量) 为0(即无资源 剩余)

5*3/2 = 15/2 < 15 6*7/2+2*3/2 = 24 = 24 7/2+3/2 = 5 = 5

二、对称形式下对偶问题的一般形式
对称形式的定义
对 称 形 式
max z = CX
st. AX ≤ b X≥ 0 其中: C=(c1,c2, b=(b1,b2, X=(x1,x2, Y=(y1,y2,

min w = YTb T A Y ≥ CT st. Y≥ 0
a11 a12 … … … a1n a1n


… … … …

,cn) ,bm)T ,xn)T ,ym)T

A=

a11 a12
┇ ┇

am1 am2 …

anm

min z= 15y1 + 24y2 + 5y3 6y2 + y3 ≥ st . 5y1 + 2y2 + y3 y1 , y 2 , y3

利润 2

≥ 1 ≥ 0

max z= 2 x1 + x2 5x2 ≤ 15 约束 6x1 + 2x2 ≤ 24 st . 条件 x1 + x2 ≤ 5 x1,x2 ≥ 0

三、非对称形式的原对偶问题关系
非对称形式?
max z = c1x1 + c2x2 +c3x3 a11x1+a12x2+a13x3 ≤ b1 st. a21x1+a22x2+a23x3 = b2 a31x1+a32x2+a33x3 ≥ b3 st.

min w = b1y1 +
a11y1 + a12y1 + a13y1 + y1≥0,

b 2y2 + b3y3

x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3无约束

a21y2 + a31y3 ≥ c1 a22y2 + a32y3 ≤ c2 a23y2 + a33y3 = c3 y2无约束,y3 ≤0

max z = c1x1 - c2x2' + c3x3' - c3x3" a11x1 - a12x2' + a13x3'- a13x3" ≤ b1 a21x1 - a22x2' + a23x3'- a23x3" ≤ b2 st. -a x + a x ' _ a x '+ a x " ≤-b 21 1 22 2 23 3 23 3 2 -a31x1 + a32x2' - a33x3'+ a33x3" ≤-b3 x1 , x2', x3',x3" ≥0

min w = b1y1 +

b2y2'- b2y2" - b3y3'

a11y1 + a21y2'– a21y2" - a31y3'≥ c1 -a12y1 - a22y2'+ a22y2" - a32y3'≥-c2 st. a13y1 + a23y2'– a23y2"- a33y3'≥ c3 -a13y1 - a23y2'+ a23y2"+ a33y3'≥-c3 y1 , y2', y2" ,y3'≥0

对偶规则
? ? ? ? ? ? ?

——

变量、约束与系数

原问题有m个约束条件,对偶问题有m个变量 原问题有n个变量,对偶问题有n个约束条件 原问题的价值系数对应对偶问题的右端项

原问题的右端项对应对偶问题的价值系数
原问题的技术系数矩阵转臵后为对偶问题系数矩阵 原问题的约束条件与对偶问题方向相反 原问题与对偶问题优化方向相反

对偶规则—— 变量与约束对应关系
原问题(对偶问题)
max z=CX AX (≤ = ≥) b X (≤ = ≥) 0 或无约束 有n个决策变量 xj xj ≥ 0 (j=0、2……n)

对偶问题(原问题)
min w=Yb -T YA (≤ = ≥) C Y (≤ = ≥) 0 或无约束 有n个约束条件 对应的约束为 ≥

变量

xj ≤ 0 xj 无约束

约束

对应的约束为 ≤ 对应的约束为 =

有m个约束条件 对应的约束为 ≤

有m个决策变量 yj (j=1,2……m) yj ≥ 0

约束

对应的约束为 ≥ 对应的约束为 =

变量

yj ≤ 0 yj 无约束

第二节
max z = CX st. AX ≤ b X≥ 0
C
CB 0 XB Xs σ b b

对偶问题的基本性质
max z = CX + 0Xs st.

一、单纯形法计算的矩阵描述
AX + IXs = b
X, Xs≥ 0
C
Xs I CB 0 XB Xs σ b b

C
X A

0

CB CN
X1 B CB X2 N CN

0
Xs I 0

C CB CB XB Xs σ b B b
-1

CB X1 B B 0
-1

CN X2 B N
-1 -1

0 Xs B I
-1 -1

C CB CB XB Xs σ b B b
-1

CB X1 B B
-1 -1

CN X2 B N
-1 -1

0 Xs B I
-1 -1

CN-CBB N -CBB

CB-CBB B CN-CBB N 0-C1B I

B与B
C CB XB x3 x4 x5 σ C CB XB x b 15/2 7/2 3/2

-1

2 b 15 x5 x1

1 x2 5

0

0 x3

0 x4 0 θ

0

1

0

24
5

6
1

2
1

0
0

1
0

0
1

2 x5 x1

1 x2 0 0 1

0

0 x3

0 x4 -15/2 -1/2 3/2

B=
θ

1 0 0

0 6 1

5 2 1

0 1 0

1 0 0

5/4 1/4 -1/4

x
x
2 1

3

B =

-1

1 0 0

5/4 1/4 -1/4

-15/2 -1/2 3/2

σ

二、原问题和对偶问题解的关系
max z= 2 x1 + x2 5x2 ≤ 15 问题变量 6x1 + 2x2 ≤ 24 约束 条件 st . x1 + x2 ≤ 5 x1,x2 ≥ 0
C CB 0 2 1 XB x3 x1 x2 σ -σ
*

利润

min z= 15y1 + 24y2 + 5y3 问题剩余变量 6y2 + y3 ≥ 2 st . 5y1 + 2y2 + y3 ≥ 1 y1 , y 2 , y3
C -15 b 1/4 y1 -24 -5 y2 y3 0


0 y4 -1/4

0
0 y5 1/4

2 b 15/2 7/2 3/2

1

0 x3 1 0 0 0 0

0 x4

0 x5 CB -24

x1 x2 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

YB y2

5/4 -15/2 1/4 -1/2 -1/4 3/2

-5/4 1

-5

y3
σ

1/2

15/2 0
-15/2 0 15/2 0

1
0 0

1/2 -3/2
-7/2 -3/2 7/2 3/2

-1/4 -1/2 1/4 1/2



X =(7/2,3/2,

15/2,0,0)

Y=(0, ?, ? , 0, 0 )

第二节

对偶问题的基本性质

对称性:对偶问题的对偶问题是原问题 弱对偶性:极大化原问题的任一可行解的目 标函数值,不大于其对偶问题任意可行解的 目标函数值。P56推论 无界性:原问题有可行解且z无界,对偶问题 无可行解。 T 对偶定理:若一个问题有最优解,则另一问 题也有最优解,且目标函数值相等。若原问 -1 题最优基为B,则其对偶问题最优解Y*=CBB 互补松弛性:
需要说明的是:这些性质同样适用于非对称形问题

对偶定理的证明
对 称 形 式
C CB CB XB Xs σ b B b
-1

max z = CX st. AX ≤ b X≥ 0
CB X1 B B
-1 -1

min w = Y b st. AY ≥ C Y≥ 0
CN X2
-1

T

T

T

0 Xs B I
-1 -1 -1

原问题为优解σ≤0,即:
CB-CBB B CN-CBB N -CBB
-1 -1 -1

B N

CB-CBB B CN-CBB N -CBB

≤0 ≤0 ≤0
-1

C - CBB A≤0 CBB
T
-1

-1

≥0
T

令Y = CBB ,则有:
则可以得到:

T

AY ≥ C Y ≥0

w = Y b = C BB b = z 等的。

T

-1

即此时原问题与对偶问题的解的值是相

互补松弛性:
对偶问题: min z= 15y1 + 24y2 + 5y3 6y2 + y3 ≥ st . 5y1 + 2y2 + y3 y1 , y 2 , y3 问题 的解
互补松弛性

原问题: max z= 2 x1 + x2 5x2 ≤ 15 y1 6x1 + 2x2 ≤ 24 y2 约束 y3 条件 st . x1 + x2 ≤ 5 x1,x2 ≥ 0 问题 的解
X =(7/2,3/2,15/2,0,0) Z = 17/2
* *

利润

2

≥ 1 ≥ 0

Y*=(0, ?, ? , 0, 0 )
Z = 17/2
*



?当原问题约束<bi,x3>0,则

yi=0 未充分利用。 ?Yi>0,原问题约束为等式。资 源得到充分利用。

5*3/2 = 15/2 < 15 6*7/2+2*3/2 = 24 = 24 7/2+3/2 = 5 = 5

第三节 影子价格
一、原问题是利润最大化的生产计划问题
总利润(元) 单位产品的利润(元/件) 产品产量(件)

max z ? s.t .

c1 x1 a11 x1 a21 x1 ?

? c2 x 2 ? ?a12 x2 ?

? c2 x 2 ?a1n xn ? xn?1 ? xn ? 2 ? ? xn ? m xn?1 xn ? 2 ? xn ? m ? b1 ? b2 ? ? bm ?0

?a22 x2 ? ?a2 n xn ? ? ? x2 ? xn

am1 x1 ?am 2 x2 ? ?amn xn x 消耗的资源(吨) 1

单位产品消耗的资源(吨/件)

剩余的资源(吨)

资源限量(吨)

二、对偶问题是资源定价问题
原始和对偶问题都取得最优解时,最大利润 max z=min y
总利润(元) 资源限量(吨)

min y ? s.t.

b1y1

?b2 y 2 ?

?bm y m

资源价格(元/吨)

a11y1 ? a21y 2 ? ? am1y m ? y m?1 a12 y1 ? a22 y 2 ? ? am 2 y m ? ? ? ? a1n y1 ? a2 n y 2 ? ? amn y m y1 y2 ? ym y m?1 ym?2 ? ? ym?2 ? ym?n

? c1 ? c2 ? ? y m? n ? cn ?0

对偶问题是资源定价问题,对偶问题的最优解w1、w2、...、 wm称为m种资源的影子价格(Shadow Price)

三、资源影子价格的性质
影子价格代表在资源最优利用条件下对单位第i种资源的估价。

市场价格是已知数,相对稳定。影子价格依赖于资源的利用 情况,是未知数。因企业生产任务、产品结构等的变化而变 化。

资源影子价格是一种边际价格
z ? ? ? b1y1 ? b2 y2 ? ? ? bi yi ? ? ? bm ym

z ? ?z ? b1y1 ? b2 y2 ? ? ? (bi ? ?bi )yi ? ? ? bm ym

?z ? ?b i w i
?z* 最大利润的增量 y* ? ? ? 第i种资源的边际利润 i ?bi 第i种资源的增量
■影子价格越大,说明增加这种资源越带来的z增加越多, 该资源是相对紧缺的。 ■影子价格越小,说明增加这种资源越带来的z增加越少, 该资源是相对不紧缺的。 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余,这种资源的影子 价格一定等于0

影子价格是一种机会成本
在纯市场经济下,当市场价格 >y*时,卖出该资源,否则当市场价 增加单位资源可以增加的利润 格<y*时,买进该资源。 max z ? c1 x1 ?c2 x2 ? ?c j x j ? ?cn xn

s.t.

a11 x1 a21 x1 ? am1 x1 x1

? a12 x2 ? ? a22 x2 ? ? ?

? a1j x j ? ? a2j x j ? ? ?

? a1n xn ? a2n xn ?

w ? b11 w ? b22

? ? bwm m ?0

? am2 x2 ? ? amj x j ? ? amn xn x2 ? xj ? xn

减少一件产品可以节省的资源 机会成本

a1 j y1 ? a2 j y2 ? ? ? aij yi ? ? ? amj ym

表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润

互补松弛性:
对偶问题: min z= 15y1 + 24y2 + 5y3 6y2 + y3 ≥ st . 5y1 + 2y2 + y3 y1 , y 2 , y3 问题 的解
互补松弛性

原问题: max z= 2 x1 + x2 5x2 ≤ 15 y1 6x1 + 2x2 ≤ 24 y2 约束 y3 条件 st . x1 + x2 ≤ 5 x1,x2 ≥ 0 问题 的解
X =(7/2,3/2,15/2,0,0) Z = 17/2
* *

利润

2

≥ 1 ≥ 0

Y*=(0, ?, ? , 0, 0 )
Z = 17/2
*



?当原问题约束<bi,x3>0,则

yi=0 未充分利用。 ?Yi>0,原问题约束为等式。资 源得到充分利用。

5*3/2 = 15/2 < 15 6*7/2+2*3/2 = 24 = 24 7/2+3/2 = 5 = 5

产品的差额成本(Reduced Cost)
隐含成本 差额成本 利润

min y ? s.t .

b1w1

?b2 w2 ?

?bm wm ? c1 ? ym ?2 ? y m ?1 ym ?2 ? ym ?n ? c2 ? ? y m ? n ? cn ?0

a11y1 ?a21y 2 ? ?am1y m ? y m ?1 a12 y1 ?a22 y 2 ? ?am 2 y m ? ? ? ? a1n y1 ?a2 n y 2 ? ?amn y m y1 y2 ? ym

ym ? j ? (y1a1 j ? y2a2 j ? ? ? ym amj ) ? c j ? YT a j ? c j ? ?? j
差额成本=机会成本 - 利润

第四节 对偶单纯形法
C CB CN 0

CB CB

XB Xs
σ

b B b
-1

X1 B B
0
-1

X2 B N
CN-CBB N
-1

Xs B I
-CBB
-1
-1

-1

-1

对于单纯形法叠代过程本质:1)确保z变大; 2)B b ≥0 由对偶理论知道,当原问题为最优解时,-σ≥0且为对偶问题的最优解,因此人们提出对 -1 偶单纯形法。叠代过程本质:1) σ ≤ 0; 2)逐步使B b ≥0

? ? min{ a | aij ? 0}
ij

?j



? ? min{ | aij ? 0}
xi0 aij

设原问题为

max z=CX
AX=b X≥0

又设B是一个基。不失一般性,令B=(P1,P2,…,Pm),它对应 的变量为 XB=(x1,x2,…,xm)

当非基变量都为0时,可以得到XB=B-1b.若B-1b中至少有一个 负分量,设(B-1b)I<0,并且在单纯形表的检验数行中得检验数 都为非正,即对偶问题保持可行解。

每次迭代是将基变量中的负分量xl取出,取替换非基变量中
的xk,经基变换,所有检验数仍保持非正,从原问题来看,经过每 次迭代,原问题由非可行解往可行解靠近,当原问题得到可行解

时,便得到了最优解。

对偶单纯形法的计算步骤:
(1)根据线性规划问题,列出初始单纯形表。检查b列的 数字,若都为非负,检验数都为非正,则得到了最优 解。停止计算。若检查b列的数字时,至少还有一个负 分量,检验数保持非正,那么进行下一步计算。 (2) 确定换出变量按

min ?b 'i | b 'i ? 0? ? b 'l
i

对应的基变量xl为换出变量。

(3) 确定换出变量
在单纯形表中检查xl所在行的各系数alj≥0,则无可行解。

停止计算。
若存在alj<0(j=1,2,…,n),计算

?? j ? ?k ? ? ? ? min ? | alj ? 0 ? ? j ? alj ? alk ? ?
按θ规则所对应的列的非基变量xk为换入变量,这样才能 保持得到的对偶问题解仍然为可行解。

例一
min z= 15 y1 + 24y2 + 5y3 6y2 + y3 ≥ 2 max z'= -15 y1 - 24y2 - 5y3 6y2 + y3 – y4 = 2

st .

5y1 + 2y2 + y3 y1 , y 2 , y3

≥ 1 ≥ 0

st .

5y1 + 2y2 + y3

– y5 = 1
=0

y1, y 2, y3, y 4, y5

C

-15 -24 -5

0

0

-M

-M

CB -M
-M

YB y6
y7 Σ

b 2
1

y1 0
5

y2 6
2

y3 1
1

y4 -1
0

y5 0
-1

y6 1
0 0

y7 0
1 0

θ

M-15 8M-24 2M-5 -M -M

min z= 15 y1 + 24y2 + 5y3 6y2 + y3 ≥ 2

max z'= -15 y1 - 24y2 - 5y3 6y2 + y3 – y4 = 2

st .

5y1 + 2y2 + y3 y1 , y 2 , y3
C -15 -24 -5 b -2 -1 y1 0 -5 y2 -6 -2 y3 -1 -1

≥ 1 ≥
0

st .

5y1 + 2y2 + y3

– y5 = 1
=0
0
y4

0
0 CB

y1, y 2, y3, y 4, y5
C
YB b 1/3 -1/3

-15 -24
y1 0 -5 y2 1

-5
y3

0
y5 0 1

CB 0 0

YB y4 y5

y4 y5 1 0 0 1

-24 y2 0 y5
σ

1/6 –1/6

0 -2/3 –1/3

σ

-15 -24 -5

0

0

-15
1/4 1/2 -5/4 15/2

0
1 0

-1
0 1

-4
-1/4

0
1/4

-24 y2 -5 y3
σ

1/2 -3/2

-15

0

0

-7/2

–3/2

对偶单纯形法优点
初始解可以是非可行解,当检验数都为负数时,就 可以进行基的变换,这时不需要加入人工变量,因 此可以简化计算。 当变量多余约束条件,对这样的线性规划问题,用 对偶单纯形法可以减少计算的工作量。因此对变量 较少而约束条件很多的线性规划问题,可以先将它 变为对偶问题,然后用对偶单纯形法求解。 在灵敏度分析中,有时需要用对偶单纯形法,可使问 题的处理简化。对偶单纯形法的局限性主要是对大 多数线性规划问题,很难找到一个初始可行基,因 而这方法很少单独使用。

第五节 灵敏度分析
灵敏度分析是指对系统或事物因周围条件变化显示出 来的敏感程度的分析。

当线性规划问题的系数发生变化时,最优解一般要发生 变化,主要有以下几种情况:

第五节 灵敏度分析
灵敏度分析是指对系统或事物因周围条件变化显示出来的 敏感程度的分析。 当线性规划问题的系数发生变化时,最优解一般要发生变 化,主要有以下几种情况: 原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解 对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解 结论或继续计算的步骤 表中的解仍然为最优解 用单纯形法继续迭代求最优解 用对偶单纯形法迭代求最优解 引进人工变量,编制新的单纯形表, 求最优解

下面就各种情况分别进行讨论。

一、目标函数中价值系数cj的变化分析
可以分别就cj时对应的非基变量和基变量两种情况来讨论。

(1) 若cj是非基变量xj的系数,这时他在计算表中所对 应的检验数是 ? j =c j - CB B-1Pj 当cj变化Δcj时,要保证最终表中这个检验数仍然小 于或等于零,即 σj’=cj+Δcj- CBB-1Pj≤0 那么cj+Δcj≤YPj,即Δcj的值必需小于或等于 YPj-cj,才可以满足原最优解条件,这可以确定Δcj的 变化范围了。
? j =c j ? ? aij yi
i ?1 m

?
? (2)若cr是基变量xr的系数。因cr∈CB,当cr变化Δcr 时,就引起CB的变化,这时 ? (CB+ΔCB)B-1A=CB B-1A+(0,…, Δcr,…,0) B-1A ? = CB B-1A+Δcr(ar1,ar2,…,arn) ? 可见当cr变化Δcr时,最终表中的检验数是 ? σj’=cj - CBB-1A-Δcjarj’,j=1,2,…,n

? ? ? ?
j

若要求原最优解不变,即必需满足σj’≤0。于是得到 当arj’<0,Δcr≤σj/a rj’ arj’>0,Δcr≥σj/a rj’ j=1,2,…,n Δcr可变化的范围是
j

max {?? j / a rj | a rj ? 0} ? ?c r ? min{?? j / a rj | a rj ? 0}
? 例题见书P64

二、资源数量bj变化的分析
资源数量变化是指系数br发生变化,即br’=br+Δbr.并假 设问题的其它系数都不变。这样使原问题的解变为 XB’=B-1(b+Δb) 这里Δb=(0,…,Δbr,0,…,0)T.只要XB’ ≥0, 最终表的检验数不变,则最优基不变,但最优解的值 发生了变化,所以XB’为新的最优解。

新的最优解的值可允许变化的范围用以下方法 确定。

B-1(b+Δb)= B-1b+ B-1Δb ? ? ? ? ?0 ? ? a1r ? ? ? ? 0 ? ? a1r ?br ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? -1b+ B-1 ? ?b ? ,B-1 ?b ? ? ? a ?b ? ? ?b ? a ? =B r ? ir ? ? r ? ? ir r ? ? r? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? a mr ?br ? ? ? ? a mr ? ?0 ? ? ? ? ?

这时在最终表中求得的b列的所有元素 bi ? air ?br ? 0, i ? 1,2,?, m , 由此得 air ?br ? ?bi , i ? 1,2,?, m 当 air ? 0时,?br ? ?bi / air ;
air ? 0时,?br ? ?bi / air ; 于是得到

max {?bi / air | air ? 0} ? ?br ? min{?bi / air | air ? 0}
i i

例题见P65

三、 技术系数aij的变化
分两种情况来讨论技术系数aij的变化。 例题见P70

四、增减约束条件
例题见P69


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