800192com:文科一轮学案4.3三角函数的图象与性质

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第四章

三角函数、解三角形

学案 4.3 三角函数的图象与性质
自主预习案
【双基梳理】 1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0),x∈R 振幅 A 周期 2π T= ω 频率 1 ω f= = T 2π 相位 ωx+φ 初相 φ
自主复习 夯实基础

2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示: x 0-φ ω 0 0 π -φ 2 ω π 2 A π-φ ω π 0 3π -φ 2 ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+ φ)

3.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象的步骤如下:

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.( π π π x- ?的图象是由 y=sin?x+ ?的图象向右平移 个单位得到的.( (2)y=sin? ? 4? ? 4? 2 ) )

(3) 由图象求解析式时,振幅 A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定 的.( ) ) )

(4)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期.(

T (5)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 .( 2

考点探究案
考点一 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
-1-

典例剖析 考点突破

第四章

三角函数、解三角形

π? 例 1 已知函数 y=2sin? ?2x+3?. (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π? (3)说明 y=2sin? ?2x+3?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到.

π 1 变式训练:(1)把函数 y=sin(x+ )图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),再将图象向右平 6 2 π 移 个单位长度,那么所得图象的一条对称轴方程为( 3 π A.x=- 2 π C.x= 8 π B.x=- 4 π D.x= 4 )

π (2)设函数 f(x)=cos ωx (ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,所得的图象与原图象重合, 3 则 ω 的最小值等于( 1 A. 3 )

B.3 C.6 D.9

考点二 由图象确定 y=Asin(ωx+φ)的解析式 π π? 例二:(1)将函数 f(x)=sin(2x+θ)? ?-2<θ<2?的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度后得到函数 g(x)的图 象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 P?0,

?

3? ,则 φ 的值可以是( 2?

)

5π 5π π π A. B. C. D. 3 6 2 6 (2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π)的部分图象如图所示, 则函数 f(x)的解析式为 .

-2-

第二章

函数与基本初等函数

变式训练: π π? 函数 f(x)=2sin(ωx+φ)? ?ω>0,-2<φ<2?的部分图象如图所示,则 φ= .

考点三:三角函数图象性质的应用 命题点 1 三角函数模型的应用 例 3 如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置 P(x,y).若初 始位置为 P0? 关系式为( 3 1? ,当秒针从 P0(注:此时 t=0)正常开始走时,那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数 2 ? ,2? )

π π? A.y=sin? ?30t+6? π π? C.y=sin? ?-30t+6?

π π? B.y=sin? ?-60t-6? π π? D.y=sin? ?-30t-3?

命题点 2 方程根(函数零点问题) π ? 例 4 已知关于 x 的方程 2sin2x- 3sin 2x+m-1=0 在? ?2,π?上有两个不同的实数根,则 m 的取值范 围是 答案 . (-2,-1)

引申探究 例 4 中,“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则 m 的取值范围是 .

命题点 3 图象性质综合应用 例 5 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数 y=f(x)图象的两相
-3-

第四章

三角函数、解三角形

π 邻对称轴间的距离为 . 2 π? (1)求 f? ?8?的值; π x+ ?的最大值及对应的 x 的值. (2)求函数 y=f(x)+f? ? 4? π π 2π 变式训练:设函数 f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,- <φ< )的图象关于直线 x= 对称,它的周期是 π,则下 2 2 3 列说法正确的是 .(填序号)

3 ①f(x)的图象过点(0, ); 2 π 2π ②f(x)在[ , ]上是减函数; 12 3 5π ③f(x)的一个对称中心是( ,0); 12 ④将 f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数 y=3sin ωx 的图象.

当堂达标 π? 1.y=2sin? ?2x-4?的振幅、频率和初相分别为( 1 π A.2, ,- π 4 1 π C.2, ,- π 8 1 π B.2, ,- 2π 4 1 π D.2, ,- 2π 8 ) )

π? 2.(2015· 山东)要得到函数 y=sin? ?4x-3?的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象( π π A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 12 12 π π C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3

π? 3.(2015· 湖南)将函数 f(x)=sin 2x 的图象向右平移 φ? ?0<φ<2?个单位后得到函数 g(x)的图象,若对满 π 足|f(x1)-g(x2)|=2 的 x1,x2,有|x1-x2|min= ,则 φ 等于( 3 5π A. 12 π C. 4 π B. 3 π D. 6 )

4.(教材改编)如图,某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b,则这段曲 线的函数解析式为 .

-4-

第二章

函数与基本初等函数

π 5.(2014· 安徽)若将函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的最 4 小正值是 .

巩固提高案
π? 1.函数 y=cos? ?2x-3?的部分图象可能是( )

日积月累 提高自我

π 2.将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能 8 取值为( )

3π π π A. B. C.0 D.- 4 4 4 π 3.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,且|φ|< )的部分图象如图所示,则函数 f(x)的一个单调递增区间是 2 ( )

7π 5π A.[- , ] 12 12 π 7π C.[- , ] 12 12

7π π B.[- ,- ] 12 12 π 5π D.[- , ] 12 12 )

π? ?2π? 4.若 f(x)=sin(2x+φ)+b,对任意实数 x 都有 f? ?x+3?=f(-x),f? 3 ?=-1,则实数 b 的值为( A.-2 或 0 B.0 或 1 C.± 1 D.± 2

π? π 5. 函数 f(x)=sin(2x+φ)? 则函数 f(x) ?|φ|<2?的图象向左平移6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数, π? 在? ?0,2?上的最小值为( A.- 3 2 1 B.- 2
-5-

)

第四章

三角函数、解三角形

1 C. 2

D.

3 2 .

π 4π 6. 设 ω>0, 函数 y=sin(ωx+ )+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合, 则 ω 的最小值是 3 3

π 2π? π 7.若函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0 且|φ|< )在区间? ?6, 3 ?上是单调递减函数,且函数从 1 减小到-1,则 2 π? f? ?4?= .

π 8.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )在一个周期内的图象如图所示.若方程 f(x)=m 在 2 区间[0,π]上有两个不同的实数 x1,x2,则 x1+x2 的值为 .

π x- ?,x∈R. 9.(2015· 天津)已知函数 f(x)=sin2x-sin2? ? 6? (1)求 f(x)的最小正周期; π π - , ?上的最大值和最小值. (2)求 f(x)在区间? ? 3 4? 10.设函数 f(x)= π 距离为 . 4 (1)求 ω 的值; 3π? (2)求 f(x)在区间? ?π, 2 ?上的最大值和最小值. 3 - 3sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且 y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的 2

-6-

第二章

函数与基本初等函数

学案 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
自主预习案
【双基梳理】 1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0),x∈R 振幅 A 周期 2π T= ω 频率 1 ω f= = T 2π 相位 ωx+φ 初相 φ
自主复习 夯实基础

2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示: x 0-φ ω 0 0 π -φ 2 ω π 2 A π-φ ω π 0 3π -φ 2 ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+ φ)

3.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象的步骤如下:

-7-

第四章

三角函数、解三角形

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.( × ) π π π x- ?的图象是由 y=sin?x+ ?的图象向右平移 个单位得到的.( √ ) (2)y=sin? 4 4 ? ? ? ? 2 (3) 由图象求解析式时,振幅 A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定 的.( √ ) )

(4)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期.( ×

T (5)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 .( √ ) 2

考点探究案
考点一 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

典例剖析 考点突破

π? 例 1 已知函数 y=2sin? ?2x+3?. (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π? (3)说明 y=2sin? ?2x+3?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 解 π? (1)y=2sin? ?2x+3?的振幅 A=2,

2π π 周期 T= =π,初相 φ= . 2 3 π? π (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin? ?2x+3?=2sin X. 3 列表如下: x X y=sin X - 0 0 π 6 π 12 π 2 1 π 3 π 0 7π 12 3π 2 -1 5π 6 2π 0

-8-

第二章

函数与基本初等函数

π 2x+ ? y=2sin? 3? ?

0

2

0

-2

0

描点画出图象,如图所示:

π? π (3)方法一 把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位长度,得到 y=sin? ?x+3?的图象; 3 π? π? 1 再把 y=sin? 得到 y=sin? ?x+3?的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变), ?2x+3?的图象; π? π? 最后把 y=sin? 即可得到 y=2sin? ?2x+3?上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变), ?2x+3?的图 象. 1 方法二 将 y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变),得到 y=sin 2x 的图象; 2 π? π ? π?? ? 再将 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度,得到 y=sin? ?2?x+6??=sin?2x+3?的图象; 6 π ?2x+π?的 2x+ ?的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变), 再将 y=sin? 即得到 y = 2sin 3 3? ? ? ? 图象. π 1 变式训练:(1)把函数 y=sin(x+ )图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),再将图象向右平 6 2 π 移 个单位长度,那么所得图象的一条对称轴方程为( 3 π A.x=- 2 π C.x= 8 π B.x=- 4 π D.x= 4 )

π (2)设函数 f(x)=cos ωx (ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,所得的图象与原图象重合, 3 则 ω 的最小值等于( 1 A. 3 答案 解析 )

B.3 C.6 D.9 (1)A (2)C π 1 π (1)将 y=sin(x+ )图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到函数 y=sin(2x+ ); 6 2 6

π π π π π 再将图象向右平移 个单位长度,得到函数 y=sin[2(x- )+ ]=sin(2x- ),故 x=- 是其图象的一条 3 3 6 2 2 对称轴方程.
-9-

第四章

三角函数、解三角形

π (2)由题意可知,nT= (n∈N+), 3 2π π ∴n· = (n∈N+), ω 3 ∴ω=6n (n∈N+),∴当 n=1 时,ω 取得最小值 6.

考点二 由图象确定 y=Asin(ωx+φ)的解析式 π π? 例二:(1)将函数 f(x)=sin(2x+θ)? ?-2<θ<2?的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度后得到函数 g(x)的图 象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 P?0,

?

3? ,则 φ 的值可以是( 2?

)

5π 5π π π A. B. C. D. 3 6 2 6 (2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π)的部分图象如图所示, 则函数 f(x)的解析式为 .

答案 解析

π (1)B (2)f(x)= 2sin(2x+ ) 3 (1)∵P?0,

?

3? 在 f(x)的图象上, 2?

∴f(0)=sin θ=

3 . 2

π π? ∵θ∈? ?-2,2?, π ∴θ= , 3 π? ∴f(x)=sin? ?2x+3?. π? ∴g(x)=sin? ?2?x-φ?+3?. ∵g(0)= 3 , 2

π 3 ? ∴sin? ?3-2φ?= 2 . 5 验证 φ= π 时, 6 π 3 ? ?π 5 ? ? 4 ? sin? ?3-2φ?=sin?3-3π?=sin?-3π?= 2 成立.
- 10 -

第二章

函数与基本初等函数

(2)由题图可知 A= 2, T 7π π π = - = , 4 12 3 4 所以 T=π,故 ω=2, 因此 f(x)= 2sin(2x+φ), 7 ? 又? ?12π,- 2?为最小值点, 7 3π ∴2× π+φ=2kπ+ ,k∈Z, 12 2 π ∴φ=2kπ+ ,k∈Z, 3 π 又|φ|<π,∴φ= . 3 π 故 f(x)= 2sin(2x+ ). 3 变式训练: π π? 函数 f(x)=2sin(ωx+φ)? ?ω>0,-2<φ<2?的部分图象如图所示,则 φ= .

π 答案 - 3 T 11 5 解析 ∵ = π- π, 2 12 12 ∴T=π. 2π 又 T= (ω>0), ω ∴ 2π =π, ω

∴ω=2. 5 由五点作图法可知当 x= π 时, 12 π ωx+φ= , 2 5 π 即 2× π+φ= , 12 2 π ∴φ=- . 3 (2)sin(-1 200° )cos 1 290° +cos(-1 020° )sin(-1 050° )=
- 11 -

.

第四章

三角函数、解三角形

考点三:三角函数图象性质的应用 命题点 1 三角函数模型的应用 例 3 如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置 P(x,y).若初 始位置为 P0? 关系式为( 3 1? ,当秒针从 P0(注:此时 t=0)正常开始走时,那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数 ? 2 ,2? )

π π? A.y=sin? ?30t+6? π π? C.y=sin? ?-30t+6? 答案 C

π π? B.y=sin? ?-60t-6? π π? D.y=sin? ?-30t-3?

2π? π 解析 由题意可得, 函数的初相位是 , 排除 B、 D.又函数周期是 60(秒)且秒针按顺时针旋转, 即 T=? ?ω? 6 =60,所以|ω|= π π ,即 ω=- . 30 30

命题点 2 方程根(函数零点问题) π ? 例 4 已知关于 x 的方程 2sin2x- 3sin 2x+m-1=0 在? ?2,π?上有两个不同的实数根,则 m 的取值范 围是 答案 . (-2,-1)

解析 方程 2sin2x- 3sin 2x+m-1=0 可转化为 m=1-2sin2x+ 3sin 2x =cos 2x+ 3sin 2x π? ?π ? =2sin? ?2x+6?,x∈?2,π?. 7 13 ? π 设 2x+ =t,则 t∈? ?6π, 6 π?, 6 ∴题目条件可转化为 7 13 ? m =sin t,t∈? ?6π, 6 π?,有两个不同的实数根. 2 7 13 ? m ∴y= 和 y=sin t,t∈? ?6π, 6 π?的图象有两个不同交点,如图: 2

- 12 -

第二章

函数与基本初等函数

m 1 由图象观察知, 的范围为(-1,- ), 2 2 故 m 的取值范围是(-2,-1). 引申探究 例 4 中,“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则 m 的取值范围是 答案 [-2,1) .

1 m -1, ?, 解析 由例 4 知, 的范围是? 2 ? ? 2 ∴-2≤m<1, ∴m 的取值范围是[-2,1).

命题点 3 图象性质综合应用 例 5 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数 y=f(x)图象的两相 π 邻对称轴间的距离为 . 2 π? (1)求 f? ?8?的值; π? (2)求函数 y=f(x)+f? ?x+4?的最大值及对应的 x 的值. 解 =2? (1)f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) 3 1 ? ? 2 sin?ωx+φ?-2cos?ωx+φ??

π? =2sin? ?ωx+φ-6?. 因为 f(x)是偶函数, π π 则 φ- = +kπ(k∈Z), 6 2 2π 所以 φ= +kπ(k∈Z), 3 2π 又因为 0<φ<π,所以 φ= , 3 π? 所以 f(x)=2sin? ?ωx+2?=2cos ωx. 2π π 由题意得 =2· , ω 2 所以 ω=2. 故 f(x)=2cos 2x.
- 13 -

第四章

三角函数、解三角形

π? π 因此 f? = 2cos = 2. 8 ? ? 4 π x+ ? (2)y=2cos 2x+2cos 2? ? 4? π 2x+ ? =2cos 2x+2cos? 2? ? =2cos 2x-2sin 2x π ? =2 2sin? ?4-2x? π? =-2 2sin? ?2x-4? π π 令 2x- =2kπ- (k∈Z)时,y 有最大值 2 2, 4 2 π 所以当 x=kπ- (k∈Z)时,y 有最大值 2 2 8 π π 2π 变式训练:设函数 f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,- <φ< )的图象关于直线 x= 对称,它的周期是 π,则下 2 2 3 列说法正确的是 .(填序号)

3 ①f(x)的图象过点(0, ); 2 π 2π ②f(x)在[ , ]上是减函数; 12 3 5π ③f(x)的一个对称中心是( ,0); 12 ④将 f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数 y=3sin ωx 的图象. 答案 ①③ 2π 解析 ∵周期为 π,∴ =π?ω=2, ω 2π 4π ∴f(x)=3sin(2x+φ),f( )=3sin( +φ), 3 3 4π 则 sin( +φ)=1 或-1. 3 π π 4π 5π 11 又 φ∈(- , ), +φ∈( , π), 2 2 3 6 6 ∴ 4π 3π π +φ= ?φ= , 3 2 6

π ∴f(x)=3sin(2x+ ). 6 3 ①:令 x=0?f(x)= ,正确. 2 π π 3π ②:令 2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 2 6 2 π 2π ?kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z. 6 3
- 14 -

第二章

函数与基本初等函数

π 2π 令 k=0? <x< , 6 3 π 2π 即 f(x)在( , )上单调递减, 6 3 π π 而在( , )上单调递增,错误. 12 6 5π ③:令 x= ?f(x)=3sin π=0,正确. 12 π ④:应平移 个单位长度,错误. 12

当堂达标 π? 1.y=2sin? ?2x-4?的振幅、频率和初相分别为( 1 π A.2, ,- π 4 1 π C.2, ,- π 8 答案 A π? 2.(2015· 山东)要得到函数 y=sin? ?4x-3?的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象( π π A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 12 12 π π C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 答案 B π? ? ? π ?? 解析 ∵y=sin? ?4x-3?=sin?4?x-12??, π? π ∴要得到函数 y=sin? ?4x-3?的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象向右平移12个单位. π? 3.(2015· 湖南)将函数 f(x)=sin 2x 的图象向右平移 φ? ?0<φ<2?个单位后得到函数 g(x)的图象,若对满 π 足|f(x1)-g(x2)|=2 的 x1,x2,有|x1-x2|min= ,则 φ 等于( 3 5π A. 12 π C. 4 答案 D 解析 因为 g(x)=sin 2(x-φ)=sin(2x-2φ), 所以|f(x1)-g(x2)|=|sin 2x1-sin(2x2-2φ)|=2. 因为-1≤sin 2x1≤1,-1≤sin(2x2-2φ)≤1, 所以 sin 2x1 和 sin(2x2-2φ)的值中,一个为 1,另一个为-1,不妨取 sin 2x1=1,sin(2x2-2φ)=-1,
- 15 -

)

1 π B.2, ,- 2π 4 1 π D.2, ,- 2π 8

)

)

π B. 3 π D. 6

第四章

三角函数、解三角形

π π 则 2x1=2k1π+ ,k1∈Z,2x2-2φ=2k2π- ,k2∈Z,2x1-2x2+2φ=2(k1-k2)π+π,(k1-k2)∈Z, 2 2 π ?k1-k2?π+ -φ?. 得|x1-x2|=? 2 ? ? π π π 因为 0<φ< ,所以 0< -φ< , 2 2 2 π π 故当 k1-k2=0 时,|x1-x2|min= -φ= , 2 3 π 则 φ= ,故选 D. 6 4.(教材改编)如图,某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b,则这段曲 线的函数解析式为 .

π 3π? 答案 y=10sin? ?8x+ 4 ?+20,x∈[6,14] 解析 从图中可以看出,从 6~14 时的是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期, 1 1 所以 A= ×(30-10)=10,b= ×(30+10)=20, 2 2 1 2π 又 × =14-6, 2 ω π 所以 ω= . 8 π 又 ×10+φ=2π, 8 3π 解得 φ= , 4 π 3π? 所以 y=10sin? ?8x+ 4 ?+20,x∈[6,14]. π 5.(2014· 安徽)若将函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的最 4 小正值是 答案 3π 8 .

π π π 解析 ∵函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移 φ 个单位得到 g(x)=sin[2(x-φ)+ ]=sin(2x+ -2φ), 4 4 4 π π 又∵g(x)是偶函数,∴ -2φ=kπ+ (k∈Z). 4 2 kπ π ∴φ=- - (k∈Z). 2 8
- 16 -

第二章

函数与基本初等函数

3π 当 k=-1 时,φ 取得最小正值 . 8

巩固提高案
π? 1.函数 y=cos? ?2x-3?的部分图象可能是( )

日积月累 提高自我

答案 D π? π 解析 ∵y=cos? ?2x-3?,∴当 2x-3=0, π π 即 x= 时,函数取得最大值 1,结合图象看,可使函数在 x= 时取得最大值的只有 D. 6 6 π 2.将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能 8 取值为( )

3π π π A. B. C.0 D.- 4 4 4 答案 B φ π? π? π ? 解析 把函数 y=sin(2x+φ)沿 x 轴向左平移 个单位后得到函数 y=sin 2? ?x+2+8?=sin?2x+φ+4?为偶 8 π 函数,则 φ 的一个可能取值是 . 4 π 3.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,且|φ|< )的部分图象如图所示,则函数 f(x)的一个单调递增区间是 2 ( )

7π 5π A.[- , ] 12 12 π 7π C.[- , ] 12 12 答案 D

7π π B.[- ,- ] 12 12 π 5π D.[- , ] 12 12

- 17 -

第四章

三角函数、解三角形

1 2 5 解析 由函数的图象可得 T= π- π, 4 3 12 ∴T=π,则 ω=2. 5 5 又图象过点( π,2),∴2sin(2× π+φ)=2, 12 12 π ∴φ=- +2kπ,k∈Z, 3 π ∵|φ|< , 2 π π ∴取 k=0,则 φ=- ,即得 f(x)=2sin(2x- ), 3 3 π 5π 其单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ],k∈Z,取 k=0,即得选项 D. 12 12 π 2π x+ ?=f(-x),f? ?=-1,则实数 b 的值为( 4.若 f(x)=sin(2x+φ)+b,对任意实数 x 都有 f? ? 3? ?3? A.-2 或 0 B.0 或 1 C.± 1 D.± 2 答案 A π? π π π π 解析 由 f? ?x+3?=f(-x)可得 f(x)的图象关于直线 x=6对称,∴2×6+φ=2+kπ,k∈Z.当直线 x=6经 π? π π 5 ?2 ? 过最高点时,φ= ;当直线 x= 经过最低点时,φ=- π.若 f(x)=sin? ?2x+6?+b,由 f?3π?=-1,得 b 6 6 6 5 ? ?2 ? =0;若 f(x)=sin? ?2x-6π?+b,由 f?3π?=-1,得 b=-2.所以 b=-2 或 b=0. π? π 5. 函数 f(x)=sin(2x+φ)? 则函数 f(x) ?|φ|<2?的图象向左平移6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数, π? 在? ?0,2?上的最小值为( A.- 1 C. 2 答案 A π? π 解析 由函数 f(x)的图象向左平移 个单位得 g(x)=sin? ?2x+φ+3?的图象, 6 π 因为是奇函数,所以 φ+ =kπ,k∈Z, 3 π π 又因为|φ|< ,所以 φ=- , 2 3 π? 所以 f(x)=sin? ?2x-3?. π? π ? π 2π? 又 x∈? ?0,2?,所以 2x-3∈?-3, 3 ?,
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)

)

3 2 D.

1 B.- 2 3 2

第二章

函数与基本初等函数

所以当 x=0 时,f(x)取得最小值为-

3 . 2 .

π 4π 6. 设 ω>0, 函数 y=sin(ωx+ )+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合, 则 ω 的最小值是 3 3 答案 3 2

4π 解析 由函数向右平移 个单位后与原图象重合, 3 得 ∴ 4π 是此函数周期的整数倍. 3 2π 4π 3 · k= ,∴ω= k(k∈Z), ω 3 2

3 又 ω>0,∴ωmin= . 2 π 2π? π 7.若函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0 且|φ|< )在区间? ?6, 3 ?上是单调递减函数,且函数从 1 减小到-1,则 2 π? f? ?4?= 答案 3 2 .

2π π? 解析 由题意可得,函数的周期为 2×? ? 3 -6?=π, 即 2π =π,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ). ω

π π π ? 由 sin? ?2×6+φ?=1,|φ|<2可得 φ=6, π 2x+ ?, ∴f(x)=sin? 6? ? π? π 3 ?π π? ∴f? ?4?=sin?2+6?=cos 6= 2 . π 8.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )在一个周期内的图象如图所示.若方程 f(x)=m 在 2 区间[0,π]上有两个不同的实数 x1,x2,则 x1+x2 的值为 .

答案

π 4 或 π 3 3

π 2 解析 由图象可知 y=m 和 y=f(x)图象的两个交点关于直线 x= 或 x= π 对称, 6 3 π 4 ∴x1+x2= 或 π. 3 3
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第四章

三角函数、解三角形

π x- ?,x∈R. 9.(2015· 天津)已知函数 f(x)=sin2x-sin2? ? 6? (1)求 f(x)的最小正周期; π π - , ?上的最大值和最小值. (2)求 f(x)在区间? ? 3 4?



?2x-π? 1 - cos 3? ? 1-cos 2x (1)由已知,有 f(x)= - 2 2

1 1 1 3 = ? cos 2x+ sin 2x?- cos 2x 2?2 2 ? 2 = π 3 1 1 2x- ?. sin 2x- cos 2x= sin? 6? 4 4 2 ?

2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π? 1 ? π π? ? π? (2)因为 f(x)在区间? ?-3,-6?上是减函数,在区间?-6,4?上是增函数,且 f?-3?=-4, π? 1 ?π? 3 f? ?-6?=-2,f?4?= 4 , π π? 3 所以 f(x)在区间? ?-3,4?上的最大值为 4 , 1 最小值为- . 2 10.设函数 f(x)= π 距离为 . 4 (1)求 ω 的值; 3π? (2)求 f(x)在区间? ?π, 2 ?上的最大值和最小值. 解 = = (1)f(x)= 3 - 3sin2ωx-sin ωxcos ωx 2 3 - 3sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且 y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的 2

1-cos 2ωx 1 3 - 3× - sin 2ωx 2 2 2 3 1 cos 2ωx- sin 2ωx 2 2

π? =-sin? ?2ωx-3?. 2π π 依题意知 =4× ,ω>0,所以 ω=1. 2ω 4 π? (2)由(1)知 f(x)=-sin? ?2x-3?. 3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 时, ≤2x- ≤ . 2 3 3 3

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第二章

函数与基本初等函数

所以-

π? 3 ≤sin? ?2x-3?≤1. 2 3 . 2

所以-1≤f(x)≤

3π? 3 故 f(x)在区间? ?π, 2 ?上的最大值和最小值分别为 2 ,-1.

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