高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与通项公式学案含解析新人教A版

2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时 数列的概念与通项公式 数列的概念 [提出问题] 观察下列示例,回答后面问题 1 1 1 1 1 (1)正整数 1,2,3,4,5,6 的倒数依次是 1, , , , , . 2 3 4 5 6 (2)-2 的 1 次幂、2 次幂、3 次幂、4 次幂依次是-2,4,-8,16. (3)人们在 1740 年发现了一颗彗星,并推算出这颗彗星每隔 83 年出现一次,那么从发 现那次算起,这颗彗星出现的年份依次为:1740,1823,1906,1989,2072,?. (4)“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的意思为:一尺长的木棒,每日取其一半,永 1 1 1 1 1 远也取不完. 如果将“一尺之棰”视为 1 份, 那么每日剩下的部分依次为: , , , , , ?. 2 4 8 16 32 问题:观察上面 4 个例子,它们都涉及了一些数,这些数的呈现有什么特点? 提示:按照一定的顺序排列. [导入新知] 数列的概念 (1)定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列. (2)项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.a1 称为数列{an}的第 1 项(或称为首项), a2 称为第 2 项,?,an 称为第 n 项. (3)数列的表示:数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,?,an,?,简记为{an}. [化解疑难] 1.数列的定义中要把握两个关键词:“一定顺序”与“一列数”.也就是说构成数列 的元素是“数”,并且这些数是按照“一定顺序”排列着的,即确定的数在确定的位置. 2.项 an 与序号 n 是不同的,数列的项是这个数列中的一个确定的数,而序号是指项在 数列中的位次. 3.{an}与 an 是不同概念:{an}表示数列 a1,a2,a3,?,an,?;而 an 表示数列{an}中 的第 n 项. 数列的分类 [提出问题] 问题: 观察“知识点一”中的 4 个例子中对应的数列, 它们的项数分别是多少?这些数 列中从第 2 项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的? 1 提示:数列(1)中有 6 项,数列(2)中有 4 项,数列(3)(4)中有无穷多项;数列(1)中每 一项都小于它的前一项,数列(2)中的项大小不确定,数列(3)中每一项都大于它的前一项, 数列(4)中每一项都小于它的前一项. [导入新知] 数列的分类 分类标准 按项的个 数 名称 有穷数列 无穷数列 递增数列 按项的变 化趋势 递减数列 常数列 摆动数列 [化解疑难] 在写数列时,对于有穷数列,要把末项写出.例如,数列 1,2,3,4,?,100.表示有穷 数列.但是如果把数列写成 1,2,3,4,?,100,?就表示无穷数列. 数列的通项公式 [提出问题] 问题:仍然观察“知识点一”中的 4 个例子,你能否发现这些数列中,每一项与这一项 的项数之间存在着某种关系?这种关系是否可以表示为一个公式? 提示:每一项与这一项的项数间存在一定的关系,有些可用公式表示,有些不能用公式 表示. [导入新知] 数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示, 那么就把这个公式 叫做这个数列的通项公式. 项数有限的数列 项数无限的数列 从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列 从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列 各项相等的数列 从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的 前一项的数列 含义 [化解疑难] 1.数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N 或它的有限子集{1,2,3,?,n}为定义 域的函数解析式. 2.同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式. * 2 数列的概念及分类 [例 1] 已知下列数列: (1)0,0,0,0,0,0; (2)0,-1,2,-3,4,-5,?; 1 2 n-1 (3)0, , ,?, ,?; 2 3 n (4)1,0.2,0.2 0.2 ,?; (5)0,-1,0,?,cos π ,?. 2 其中,有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是 ________,常数列是________,摆动数列是________.(填序号) [解析] (1)是常数列且是有穷数列; (2)是无穷摆动数列; (3)是无穷递增数列?因为 (4)是无穷递减数列; (5)是无穷摆动数列. [答案] (1) (2)(3)(4)(5) [类题通法] 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列, 只需观察数列是有限项还是无限项. 若数列 含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列.而判断数列的单调性,则需要从第 2 项起,观 察每一项与它的前一项的大小关系,若满足 an<an+1,则是递增数列;若满足 an>an+1,则是 递减数列;若满足 an=an+1,则是常数列;若 an 与 an+1 的大小不确定时,则是摆动数列. [活学活用] 给出下列数列: (1)2009 ~ 2016 年 某 市 普 通 高 中 生 人 数 ( 单 位 : 万 人 ) 构 成 数 列 82,93,105,119,129,130,132,135. (2)无穷多个 3构成数列 3, 3, 3, 3,?. (3)-2 的 1 次幂, 2 次幂, 3 次幂, 4 次幂, 5 次幂??构成数列-2,4, -8,16, -32, ?. (4) 2精确到 1,0.1,0.01,0.001,?的不足近似值与过剩近似值分别构成数列 1,1.4,1.41,1.414,?; 2,1.5,1.42,1.415,?. 分别指出其中哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列. 解:有穷数列:82,93,105,119,129,130,132,135. (3) (4) (1) (2)(5) 2, 3 n ? ? n-1 1 =1- ? ; n n? ? 3 无穷数列: 3, 3, 3, 3,?; -

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