2015高考数学二轮专题复习32:函数与导数解答题(含解析)

高考专题训练(三十二) 函数与导数(解答题) 1.(2014· 皖南八校联考)已知函数 f(x)=ex(ax2-2x+2),其中 a>0. (1)若曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线与直线 x+e2y-1=0 垂直, 求实数 a 的值; (2)讨论 f(x)的单调性. 解 f′(x)=ex[ax2+ (2a-2)x](a>0).新 ? ? 课 标 第 一 网 ? 1? 5 ?- 2?=-1,解得 a= . (1)由题意得 f′(2)· e 8 2-2a (2)令 f′(x)=0,得 x1=0,x2= a . ①当 0<a<1 时,f(x)的增区间为(-∞,0),? ? ? 2-2a? ?0, ?; a ? ? ?2-2a a ,+∞?,减区间为 ? ? ②当 a=1 时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增; ③当 a>1 时, f(x) 的增区间为 ?-∞, ? ?2-2a ? ? ?. , 0 ? a ? ? 2-2a? ? , (0 ,+ ∞) ,减区间为 a ? 2.(2014· 云南二模)已知 f(x)=ex(x3+mx2-2x+2). (1)假设 m=-2,求 f(x)的极大值与极小值; (2)是否存在实数 m,使 f(x)在[-2,-1]上单调递增?如果存在,求实 数 m 的取值范围;如果不存在,请说明理由. 解 (1)当 m=-2 时, f(x)=ex(x3-2x2-2x+2)的定义域为(-∞, +∞). [来 源:学。科。网 Z。 X。X。 K] ∵f′(x)=ex(x3-2x2-2x+2)+ex(3x2-4x-2) =xex(x2+x-6)=(x+3)x(x-2)ex, ∴当 x∈(-∞,-3)或 x∈(0,2)时,f′(x)<0; 当 x∈(-3,0)或 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0; f′(-3)=f′(0)=f′(2)=0, ∴f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,0)上单调递增,在(0,2)上单调 递减,在(2,+∞)上单调递增, ∴当 x=-3 或 x=2 时,f(x)取得极小值; 当 x=0 时,f (x)取得极大值, ∴f(x)极小值=f(-3)=-37e-3,f(x)极小值=f(2)=-2e2,f(x)极大值=f(0)=2. (2)f′(x)=ex(x3+mx2-2x+ 2)+ex(3x2+2mx-2)=xex[x2+(m+3)x+2m -2]. ∵f(x)在[-2,-1]上单调递增, ∴当 x∈[-2,-1]时,f′(x)≥0. 又当 x∈[-2,-1]时,xex<0, ∴当 x∈[-2,-1]时,x2+(m+3)x+2m-2≤0, ??-2?2-2?m+3?+2m-2≤0, ? ∴? 2 ??-1? -?m+3?+2m-2≤0, ? 解得 m≤4, ∴当 m∈(-∞,4]时,f(x)在[-2,-1]上单调递增. 3.(文)(2014· 山西四校联考)已知函数 f(x)=ax2+x-xlnx. (1)若 a=0,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(1)=2,且在定义域内 f(x)≥bx2+2x 恒成立,求实数 b 的取值范 围. 解 (1)当 a=0 时,f(x)=x-xlnx,函数定义域为(0,+∞). f′(x)=-lnx,由-lnx=0, 得 x=1. 当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)在(0,1)上是增函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)上是减函数. (2)由 f(1)=2,得 a+1=2, ∴a=1, ∴f(x)=x2+x-xlnx, 由 f(x)≥bx2+2x, 得(1-b)x-1≥lnx. ∵x>0, 1 lnx ∴b≤1-x- x 恒成立. x.k.b.1 1 lnx lnx 令 g(x)=1-x- x ,可得 g′(x)= x2 , ∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴g(x)min=g(1)=0, ∴b 的取值范围是(-∞ ,0]. 3.(理)(文)4. (2014· 广州调研)已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5),且 f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 6x+y+1 =0 平行. (1)求 f(x)的解析式; 37 (2)是否存在 t∈N*,使得方程 f(x)+ x =0 在区间(t, t+1)内有两个不 相等的实数根?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由. 解 (1)∵f(x)是二次函数, 不等式 f(x)<0 的解集是(0,5), ∴可设 f(x)=ax(x-5),a>0. ∴f′(x)=2ax-5a. ∵函数 f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 6x+y+1=0 平行, ∴f′(1)=-6.∴2a-5a=-6,解得 a=2. w w w .x k b 1.c o m ∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x. 37 (2)由(1)知,方程 f(x)+ x =0 等价于方程 2x3-10x2+37=0. 设 h(x)=2x3-10x2+37, 则 h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10). 10? 10? ? ? 当 x∈?0, 3 ?时,h′(x)<0,函数 h(x)在?0, 3 ?上单调递减; ? ? ? ? ? ?10 ? ?10 ? 当 x∈? 3 ,+∞?时,h′(x)>0,函数 h(x)在? 3 ,+∞?上单调递增. ? ? ? ?10? 1 ∵h(3)=1>0,h? 3 ?=-27<0,h(4)=5>0, ? ? 10? ?10 ? ? ? ,4?内各有一个实数根, ∴方程 h(x)=0 在区间?3, 3 ?, 在区间(0,3), 3 ? ? ? ? (4,+∞)内没有实数根. 37 ∴存在唯一的正整数 t=3,使得方程 f(x)+ x =0 在区间(t,t+1)内有 且只有两个不相等的实数根. 4.(理)(文)5. (2014· 辽

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