高一下学期学生暑假作业(十九)

暑假作业(十九)
一. 选择题: 1.若平面 ? ∥平面 ? ,AB、CD 是夹在 ? 与 ? 之间的线段,AB⊥CD,且 AB=1,直线 AB 与平面 ? 所成 角为 60° ,那么线段 CD 的长度的取值范围是 A.[ 3 ,2 3 ] B.[
3 2

( C.(
3 2

)



?? )

, 3]

D.[ 3 ,

?? )

2.二面角 ? A. 2 a

?l??

为 60 ? ,A,B 是棱 l 上的两点,AC,BD 分别在半平面 ? , ? 内, A C ,则 C D 的长为 B.
5a

? l, BD ? l,

且 )

AB ? AC ? a, BD ? 2a

( C. a D.
3a

3.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,B1C 和 C1D 与底面 A1B1C1D1 所成的角分别为 60 ? 和 45 ? ,则异面直 线 B1C 和 C1D 所成的角的余弦值为 ( ) A.
2 6

B.

6 3

C.

6 4

D.

3 6

二. 填空题: 4.异面直线 a、b 互相垂直,直线 c 与 a 成 30° 角,则 c 与 b 所成的角的取值范围是



5.已知四面体 A ? BCD 中,? BCD ? 90 ? ,BC=CD=1,AB⊥面 BCD,? ADB ? 60 ? ,点 E、F 分别在 AC、 AD 上, 使面 BEF⊥面 ACD, EF∥CD, 且 则平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的正弦值为_________.

6.如图所示,在正方体 ABCD

? A1 B1 C 1 D 1 中,M

是 C1C 的中点,O 是底面 ABCD 的中

心,P 是 A1B1 上的任意点,则直线 MB 与 OP 所成的角为_____________.

三. 解答题: 7. 已知平面 α⊥平面 β, 交线为 AB, ? , C∈ D∈ ? ,AB ? AC ? BC ? 4 3 , 为 BC 的中点, E AC⊥BD, BD=8. ①求证:BD⊥平面 ? ; ②求证:平面 AED⊥平面 BCD;

③求二面角 B-AC-D 的正切值.

1

8.如图, ? ABC 是正三角形, AE 和 CD 都垂直于平面 ABC ,且 AE ? AB ? 2 a , CD ? a , F 是 BE 的中点. E (1)求证: DF // 平面 ABC ; (2)求异面直线 BE 和 CD 间的距离. D F A B C

9.已知 PA⊥菱形 ABCD,且 PA=AC=AB=a, E∈PD 且 PE∶ED=2∶1,F 为 PC 中点. P (1)求证 BF∥平面 ACE; (2)求点 F 到平面 ACE 的距离. F B C

E D

A

10. 如图,二面角 M—DC—N 是 α 度的二面角,A 为 M 上一定点,且 ΔADC 面积为 S,DC=a,过点 A 作直线 AB,使 AB⊥DC 且与半平面 N 成 30° 的角,求 α 变化时,ΔDBC 面积的最大值.

2

暑假作业(十九)
一. 选择题: 二. 填空题: D A
??

C
? ?

4. ? , ? ?3 2?

5.

7 7

6.

?
2

三. 解答题: 7. 解:① AB 是 AC 在平面 β 上的射影,由 AC⊥BD 得 AB⊥BD.∵ α⊥β.∴ DB⊥α. ② 由 AB=AC,且 E 是 BC 中点,得 AE⊥BC,又 AE⊥DB,故 AE⊥平面 BCD,因此可证得平面 AED⊥平面 BCD. ③ 设 F 是 AC 中点, BF, 由于△ABC 是正三角形, BF⊥AC. 连 DF. 故 又由 DB⊥平面 α, DF⊥AC, 则 ∠BFD 是二面角 B-AC-D 的平面角,在 Rt△BFD 中, tg ? BFD ?
BD BF ? 4 3



8. 证: (1)设 AB 中点为 G ,连 FG , CG , 则 FG // AE ,且 FG 面 ABC , AE // CD , CD ?
1 2

=

1 2

AE , AE 和 CD 都垂直于平

AE ,∴ FG // CD 且 FG ? CD ,∴ DF // CG , E

DF ? 平面 ABC , CG ? 平面 ABC ,∴ DF ∥平面 ABC .

(2)∵ G 是 AB 中点,∴ CG ⊥ AB ,又 AE ⊥平面 ABC , AB 是 A BE 在平面 ABC 内的射影,∴ CG ⊥ BE , ∴ DF ? BE ,又 CD ? 平面 ABC , G ∴ CD ? CG ,∴ CD ? DF ,∵ BE ? DF ? F , DC ? DF ? D ,∴ DF 是 BE 和 CD 的公垂线段, DF = CG =
3 2 AB ? 3 a , 即 BE 和 CD 间距离为

F

D C B

3a .

9. 解: (1)取 PE 中点 M,连接 MF、MB,则 MF∥EC,接 BD,交 AC 于 O,交 OE∥MB,∴平面 MBF∥ 平面 ACE,∴BF∥平面 ACE. P (2)连接 DF,交 EC 于点 N,连 ON,则∵BF∥平面 ACE,∴BF∥ON, ∵O 为 BD 中点,∴N 为 DF 中点,证 AC⊥FO 且 AC⊥BD,∴AC⊥平面 BDF, M F ∴平面 ACE⊥平面 BDF,且 ON 为两平面的交线,∴作 FH⊥ON, A 则 FH⊥平面 AEC, ∴FH 即为点 F 到平面 ACE 的距离。 B E O RtΔEOD 中,OF= ∴ΔNOF 为边长是
a 2 1

PA=

a

,DF= O F + D O =a,∴ON=NF=
3 4
1 2

2

2

a

, D a。

N

2

2

2

C

的正三角形, ∴FH=

a, 到平面 AEC 的距离为 ∴F

3 4

10.解:在 M 内作 AE⊥DC 于 E,则 AE 为 ΔADC 的高,则有

AE· DC= S ? ABC ,AE=

2S a

.由于 DC⊥AE,

DC⊥AB, 则有 DC⊥ΔAEB 所在的平面, ∴DC⊥BE, 则∠AEB 是二面角 M—DC—N 的平面角, 即∠AEB =α.又由于 DC⊥ΔAEB 所在平面,且 DC 在 N 上,所以平面 N⊥ΔAEB 所在平面.令 AF⊥BE 于 F,则有 AF⊥平面 N,于是,FB 是 AB 在平面 N 上的射影,所以∠ABE 是 AB 与 N 所成的角.∴∠ABE=30° ,在 ΔAEB 中,有
EB sin( ? ? 30 ? )



AE sin 30 ?

,∴EB=

4S a

sin(α+30°).据题意,有 α∈(0° ,180° ),当 α=60° 时,

3

有 EBmax=

4S a

,这时(SΔDBC)max=

1 2



4S a

=2S.

4


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