高中数学(人教A版)必修4:2-4-2同步试题(含详解)

高中数学(人教 A 版)必修 4 同步试题 1.若 a=(3,4),b=(5,12),则 a 与 b 夹角的余弦值为( 63 A. 65 33 C.- 65 解析 设 a 与 b 的夹角为 θ,依题意 cosθ= 答案 A 2.已知向量 a=(-2,1),b=(1,y),a⊥b,则 y 等于( A.-1 C.-2 答案 D 3.已知 A,B,C 是坐标平面上的三点,其坐标分别为 A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则 △ABC 的形状为( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 ) B.等腰三角形 D.以上均不正确 B.1 D.2 ) 33 B. 65 63 D.- 65 a· b 3×5+4×12 63 = = . |a||b| 65 5×13 ) → → → → → 解析 AB=(3,-1),AC=(-1,-3),BC=(-4,-2),∴|AB|= 10,|AC|= 10, → |BC|= 20. → → → → → 2 2 ∴|AB|=|AC|,且|AB| +|AC| =|BC|2=20. ∴△ABC 为等腰直角三角形,应选 C. 答案 C π 4.已知 a=(0,1),b=(3 3,x),向量 a 与 b 的夹角为 ,则 x 的值为( 3 A.± 3 C.± 9 π a· b x 解析 cos = = , 3 |a|· |b| 27+x2 ∴2x= 27+x2,且 x>0,∴3x2=27,∴x=3. 答案 D 5.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3),若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c=( ) B.± 3 D.3 ) 1 7 7? A.? ?9,3? 7 7? C.? ?3,9? 7 7? B.? ?-3,-9? 7 7? D.? ?-9,-3? 解析 不妨设 c=(m,n),则 a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1), 对于(c+a)∥b,则有-3(1+m)=2(2+n). 又 c⊥(a+b),则有 3m-n=0, 7 7 ∴m=- ,n=- . 9 3 答案 D 6.已知向量 a=(1,-2),b=(2,λ),且 a 与 b 夹角为锐角,则实数 λ 的取值范围是 ________. 2-2λ a· b 解析 a· b=2-2λ, |a|= 5, |b|= 4+λ2, 由 a 与 b 的夹角为锐角, 得 = >0, |a||b| 5· 4+λ2 即 2-2λ>0,∴λ<1. 当 =1 时,解得 λ=-4,此时 a 与 b 夹角为 0° ,不合题意. 5· 4+λ2 2-2λ ∴λ≠-4.故 λ 的取值范围是(-∞,-4)∪(-4,1). 答案 (-∞,-4)∪(-4,1) 7.已知向量 a=(x,y),b=(-1,2),且 a+b=(1,3),则|a-2b|等于________. 解析 a+b=(x-1,y+2)=(1,3), ∴x=2,y=1,∴a=(2,1). 又|a|= 5,|b|= 5,a· b=0, ∴|a-2b|2=|a|2-4a· b+4|b|2=25. ∴|a-2b|=5. 答案 5 8 .已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b· (a - b) = 0 ,则 |b|的取值范围是 ________.(用数字作答) 解析 由题意知|a|=1,设 a 与 b 的夹角为 θ,则 b· (a-b)=b· a-b2=0, ∴b2=b· a,∴|b|2=|a||b|cosθ. ∴|b|(|b|-cosθ)=0,∴|b|=0,或|b|=cosθ. ∵θ∈[0,π],∴|b|∈[0,1]. 答案 [0,1] 9.已知四点坐标:A(-1,3),B(1,1),C(4,4),D(3,5). 2 (1)求证:四边形 ABCD 是直角梯形; (2)求 cos∠DAB 的值. 解 → → → (1)证明:AB=(2,-2),DC=(1,-1),BC=(3,3), → → → → ∴AB=2DC,∴AB∥DC. → → 又∵AB· BC=2×3+(-2)×3=0, → → ∴AB⊥BC. → → 又∵|AB|≠|DC|,∴四边形 ABCD 为直角梯形. → → (2)∵AD=(4,2),AB=(2,-2), → ∴|AB|= 22+?-2?2=2 2, → |AD|= 42+22=2 5. → → 又∵AB· AD=2×4+(-2)×2=4, → → AB· AD 4 10 ∴cos∠DAB= = = . → → 2 2×2 5 10 |AB||AD| 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; 3 → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)· OC=0,求 t 的值. → → 解 (1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1), → → → → 则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4). → → → → ∴|AB+AC|=2 10,|AB-AC|=4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10. → → → (2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t). → → → 由(AB-tOC)· OC=0, 得(3+2t,5+t)· (-2,-1)=0,从而 5t=-11, 11 ∴t=- . 5 教师备课资源 1.已知 a=(2,-3),b=(1,-2),且 c⊥a,b· c=1,则 c 的坐标为( A.(3,-2) C.(-3,-2) B.(3,2) D.(-3,2) ) 解析 采用验证的方法知, c=(-3, -2)满足 c· a=-6+6=0, 所以 c⊥a, b· c=1×(- 3)+(-2)×(-2)=1.因此可选 C. 答案 C 2.下列 4 个说法: ①共线的单位向量是相等向量; ②若 a,b,c 满足 a+b=c 时,则以|a|,|b|,|c|为边一

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