高二数学数列解答题2_图文

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数列解答题
1、设各项均为正数的等比数列 {an }中, a1 ? a3 ? 10, a3 ? a5 ? 40. 设 bn ? log2 an . (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 c1 ? 1, cn?1 ? cn ? ( 3 ) 设 Tn ?
1 1 ? ? b1 b2 bn , 求证 : cn ? 3; an ? 1 , 是 否 存 在 关 于 n 的 整 式 g ( n) , 使 bn

T1 ? T2 ?

? Tn?1 ? g (n) 对一切不小于 2 的整数 n 都成立?若存

在,求出 g (n) ,若不存在,说明理由。 2、设数列{an}的各项都是正数,且对任意 n∈N*,都有 a13+a23+ a33+……+an3=sn2,其中 sn为数列的前 n 项和. (Ⅰ)求证:an2=2sn―an; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)设 bn=3n+(―1)n-1?·2an(?为非零整数,n∈N*),试确定?的 值,使得对任意的 n∈N*,都有 bn+1>bn成立. 解:(Ⅰ)由已知,当 n=1 时,a13=s12又∵a1>0∴a1=1…………1 分 当 n≥2 时,a13+a23+a33+……+an3=sn2…………① a 1 3 + a 2 3 + a 3 3 +……+ a n-1 3 =s n-1 2 ………… ②………………2 分 ①―②得:an3=(sn―sn-1)(sn+sn-1)=an(sn+sn-1)∵an>0∴ an2=sn+sn-1 又 sn-1=sn―an∴an2=2sn―an…………3 分
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当 n=1 时,a1=1 也适合上式∴an2=2sn―an…………4 分 (Ⅱ)由 (1) 知, an2=2sn―an………③当 n≥2 时, an-12=2sn-1― an-1……④ ③ ― ④ 得 : a n 2 ― a n-1 2 =2 ( s n ― s n-1 ) + a n-1 ― a n =a n + an-1…………6 分 ∵ a n + a n-1 >0 ∴ a n ― a n-1 =1 ∴数列 {a n } 是等差数列,∴ a n =n…………8 分 ( Ⅲ ) ∵ a n =n ∴ b n =3 n + ( ― 1) n-1 ?·2 n . 要使 b n+1 >b n 恒成立,则 b n+1 ― b n =3 n+1 + ( ― 1) n ?·2 n+1 ― 3 n ― ( ― 1) n-1 ?·2 n =2 × 3 n ― 3 3?(―1)n-1·2n>0 恒成立,即(―1)n-1?<( )n-1恒成立…………9 2 分, 3 3 (1)当 n 为奇数时,即?<( )n-1恒成立,又( )n-1的最小值为 1, 2 2 ∴?<1;…………10 分 3 3 (2) 当 n 为偶数时, 即?>―( )n-1恒成立, 又―( )n-1的最大值为― 2 2 3 3 ,∴?>― ……11 分 2 2 3 即― <?<1,又?为非零整数,∴?=―1 能使得对任意的 n∈N*,都有 2 bn+1>bn成立.…12 分 3、已知各项均为正数的数列 ?an ?的首项 a1 ? 1 ,且 log2 an?1 ? log2 an ? 1 , 数列 ?bn ? an ?是等差数列,首项为 1 ,公差为 2,其中 n ? N ? . (1)求数列 ?an ?的通项公式;
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(2)求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n . 解: (1)由题可得: 等比数列。 ∴ an ? 2n?1 .……………………………………6 分 (2)由题知: bn ? an ? 2n ? 1, ? bn ? 2n?1 ? 2n ? 1, ∴ S n ? ?1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 n?1 ? ? 4、已知 f ( x) ? ?
4? 1 x2

a n?1 ? 2 ,∴数列 ?an ?是以 1 为首项,2 为公比的 an

?1 ? 2n ? 1?n ? 2 n ? n 2 ? 1 .…………12 分
2
1 在曲线 ) an?1

数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 Pn (an ,?

y ? f ( x) 上 (n ? N * ) 且 a1 ? 1, an ? 0 .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求证: S n ? 1 解: (1) ? ∴
1 a n ?1
1 a n ?1

2

4n ? 1 ? 1, n ? N * .
1 an
2

? f (a n ) ? ? 4 ?

且a n ? 0

? 4?

1 an
2



1 an?1
2

?

1 an
2

? 4(n ? N *)

∴数列 { 2 } 是等差数列, 首项 2 公 a1 a n ,

1

1

差 d=4∴

1 an
2

2 ? 1 ? 4(n ? 1) ∴ a n ?

1 4n ? 3

∵ an ? 0 ∴ an ? (2) a n ? ∴ an ?
2 2 4n ? 3

1 (n ? N *) 4n ? 3

1 4n ? 3
? 2 4n ? 3 ? 4n ? 1
? 4 n ? 1 ? 4n ? 3 2

∴ S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ( 5 ? 1) ? ( 9 ? 5 )
? 1 1 ? ( 4n ? 1 ? 4n ? 3) ? 4n ? 1 ? 1 2 2

1 2

5 、设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对一切 n ? N * ,点 ? ? n,
?
f ( x) ? x ? an 的图象上. 2x
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Sn ? ? 都在函数 n ?

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(Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 的值,猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明; (Ⅱ)将数列 {an } 依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为( a1 ) , ( a2 ,a3 ) , ( a4 ,a5 ,a6 ) , ( a7 ,a8 ,a9 ,a10 ) ; ( a11 ) , ( a12 ,a13 ) , ( a14 , a15 , a16 ) , ( a17 , a18 , a19 , a20 ) ; ( a21 ) ,…,分别计算 各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成 的数列为 {bn } ,求 b5 ? b100 的值; 思路点拨: (本题将函数与数列知识交汇在一起,考查了观察、归纳、 猜想、用数学归纳法证明的方法,考查了等差数列、等差数列的 求和公式,考查了同学们观察问题、解决问题的能力。 (1)将点
an ? Sn ? ? n, ? 代入函数 f ( x ) ? x ? 2 x 中,通过整理得到 Sn 与 an 的关系,则 ? n ?

(2)通过观察发现 b100 是第 25 组中第 4 个括号内各 a1 , a2 , a3 可求; 数之和,各组第 4 个括号中各数之和构成首项为 68、公差为 80 构成等差数列,利用等差数列求和公式可求. b100 。 解: (Ⅰ)因为点 ? ? n,
?
an Sn ? ? 在函数 f ( x ) ? x ? 2 x 的图象上, n ?

Sn a 1 ? n ? n ,所以 S n ? n 2 ? an .------------------------1 分 n 2n 2 1 令 n ? 1 ,得 a1 ? 1 ? a1 ,所以 a1 ? 2 ; 2 1 令 n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? 4 ? a2 ,所以 a2 ? 4 ; 2 1 令 n ? 3 ,得 a1 ? a2 ? a3 ? 9 ? a3 ,所以 a3 ? 6 . 2



由此猜想: an ? 2n .…………………………………………4 分 用数学归纳法证明如下: ①当 n ? 1 时,有上面的求解知,猜想成立.-------------5 分
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②假设 n ? k (k ? 1) 时猜想成立,即 ak ? 2k 成立, 则当 n ? k ? 1 时,注意到 Sn ? n 2 ? an (n ? N * ) , 故 Sk ?1 ? (k ? 1) 2 ? ak ?1 , S k ? k 2 ? ak . 两式相减,得 ak ?1 ? 2k ? 1 ? ak ?1 ? ak ,所以 ak ?1 ? 4k ? 2 ? ak . 由归纳假设得, ak ? 2k , 故 ak ?1 ? 4k ? 2 ? ak ? 4k ? 2 ? 2k ? 2(k ? 1) . 这说明 n ? k ? 1 时,猜想也成立. 由 ① ② 知 , 对 一 切
n? N*

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2



an ? 2n



立.……………………………………8 分 (Ⅱ)因为 an ? 2n ( n ? N * ) ,所以数列 ?an ? 依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为(2) , (4,6) , (8,10,12) , (14,16,18, 20) ; (22) , (24, 26) , (28, 30, 32) , (34, 36, 38, 40) ; (42) , …. 每 一次循环记为一组.由于每一个循环含有 4 个括号,故 b100 是第 25 组中第 4 个括号内各数之和.由分组规律知,由各组第 4 个 括号中所有第 1 个数组成的数列是等差数列,且公差为 20.同 理,由各组第 4 个括号中所有第 2 个数、所有第 3 个数、所有第 4 个数分别组成的数列也都是等差数列,且公差均为 20.故各组 第 4 个括号中各数之和构成等差数列,且公差为 80.注意到第 一组中第 4 个括号内各数之和是 68, 所 以
b100 ? 68 ? 24 ? 80 ? 1988





b5

=22







b5 ? b100 =2010.………………14 分

归纳总结:由已知求出数列的前几项,做出猜想,然后利用数学归纳
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法证明, 是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列 通项公式问题的方法。证明的关键是根据已知条件和假设寻找 a k 与
ak ?1 或 Sk 与 S k ?1 间的关系,使命题得证。

a1 ? , 6、 已知数列 {an } 满足,

1 3(an?1 ? an ) 1 ? an ?1 , 且 an?1 ? an ? 0 . ( n ?N*) ? 2 1 ? an ?1 an ?1 ? an

(I)求数列 {an } 的通项公式;
2 2 (II)若 {bn } = an ?1 ? an , 试问数列 {bn } 中是否存在三项能按某种顺序构

成等差数列? 若存在,求出满足条件的等差数列,若不存在;说明理由. 解: (I)由 a1 ? , an?1 ? an ? 0 知, 当 n 为偶数时, an ? 0 ;当 n 为奇数时, an ? 0 ;……………2 分 由
3(an?1 ? an ) 1 ? an?1 2 2 2 2 2 ,得 3(an ? ?1 ? an ) ? 1 ? an?1 ,即 4an?1 ? 3an ? 1, 1 ? an?1 an?1 ? an
1 2

2 2 所以 4(an ?1 ? 1) ? 3(an ? 1) , 2 即数列 {an ?1} 是以 a12 ? 1 ? ? 为首项, 为公比的等比数列

3 4

3 4

3 3? 所以, a ? 1 ? ? ? ? ? 4? 4?
2 n
n

n?1

?3? ?3? 2 ? ?? ? , an ? 1? ? ? , ? 4? ?4?

n

n

3? * 故 an ? (?1) n?1 1 ? ? ? ? ( n ?N )…………………5 分 ?4?

(II)由(I)知 bn ? a

2 n?1

?3? ? a ? 1? ? ? ? 4?
2 n

n?1

1 ?3? ?3? ?1 ? ? ? ? ? ? ? , 4 ? 4? ? 4?

n

n

则对于任意的 n ? N? , bn ? bn?1 .………………7 分 假设数列 {bn } 中存在三项 br,bs,bt ( r ? s ? t )成等差数列, 则 br ? bs ? bt ,即只能有 2bs ? br ? bt 成立,
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1 3? 1?3? 1?3? ?3? ?3? ?3? 所以 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………9 分 4? 4? 4? 4? 4? 4? ?4? ?4? ?4?

s

r

t

s

r

t

所以, 2 ? 3s ? 4t ?s ? 3r ? 4t ?r ? 3t , 因为 r ? s ? t ,所以 t ? s ? 0,t ? r ? 0 , 所以 2 ? 3s ? 4t ?s 是偶数, 3r ? 4t ?r ? 3t 是奇数,而偶数与奇数不可能相等, 因此数列 {bn } 中任意三项不可能成等差数列.…………………12 分 7、已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 3 , an?1 ? (Ⅰ)证明数列 ?
3an ? 2 , n? N * . an

(Ⅱ)设 bn ? an (an?1 ? 2) ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn ? 2 ; (Ⅲ)设 cn ? n2 (an ? 2) ,求 cn cn ?1 的最大值.

? an ? 1 ? ? 为等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; a ? 2 ? n ?

3an ? 2 ?1 an ?1 ? 1 an 2(an ? 1) ? ? 证明: (Ⅰ)∵ ,------------2 分 an ?1 ? 2 3an ? 2 ? 2 an ? 2 an

又 ∴

? a ?1 ? a1 ? 1 ? 2 ? 0 ,∴ ? n ? 等比数列,且公比为 2 ,----------3 分 a1 ? 2 ? an ? 2 ?

an ? 1 2n ?1 ? 1 ;------------4 分 ? 2n ,解得 an ? n 2 ?1 an ? 2

(Ⅱ) bn ? an (an?1 ? 2) ?

2n ?1 ? 1 2n? 2 ? 1 1 ( n ?1 ? 2) ? n ,------------5 分 n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 1 ∴当 n ? 2 时, bn ? n ? n?1 n?1 ? n?1 ------------6 分 2 ?1 2 ? 2 ?1 2 1 1 1 Sn ? b1 ? b ? ? 2 ? ? n ?1 2 b ? 3 ? bn ? 1 ? 2 2 2 1 1 [1 ? ( )n ?1 ] 1 2 ? 2 ? ( ) n ?1 ? 2 ------------8 分 ?1? 2 1 2 1? 2 n2 n2 (n ? 1)2 2 (Ⅲ) cn ? n (an ? 2) ? n ----------9 分 ? cncn ?1 ? n 2 ?1 (2 ? 1)(2n ?1 ? 1)


cn ?1cn ? 2 cn ? 2 (n ? 2)2 2n ? 1 ? ? n?2 ? 2 ? 1 ------------10 分 cncn ?1 cn 2 ?1 n

? [(n ? 2)2 ? 4n2 ]2n ? (n ? 2)2 ? n2 ------------11 分 ? (3n ? 2)(2 ? n)2n ? 4n ? 4 ? n ? 1
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cn ?1cn ? 2 cn ? 2 (n ? 2)2 2n ? 1 ? ? n?2 ? 2 ? 1 ? n ? 2 ------------12 分 cncn ?1 cn 2 ?1 n

所以: c1c2 ? c2c3 ? c3c4 ? 故 (cncn ?1 )max ? c2c3 ?
12 .-------14 分 7

8、已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,a2=4,S5=35. (Ⅰ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? ea ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn
n

解: (Ⅰ)设数列 {an } 的首项为 a1,公差为 d.
?a1 ? d ? 4 ?a ? 1 则? ∴ ? 1 ,5 分 ? 5(5 ? 1) 5a1 ? d ? 35 ?d ? 3 ? ? 2

∴ an ? 3n ? 2 . ∴前 n 项和 Sn ? (Ⅱ)∵ an ? 3n ? 2 , ∴ bn ? e3n?2 且 b1=e.8 分 当 n≥2 时,
bn e3n?2 ? 3( n?1)?2 ? e3 为定值 bn?1 e
n(1 ? 3n ? 2) n(3n ? 1) ? .7 分 2 2

∴数列 {bn } 构成首项为 e,公比为 e3 的等比数列
e(1 ? e3n ) e3n ?1 ? e ? 3 ∴ Tn ? .13 分 1 ? e3 e ?1

数列 {bn } 的前 n 项的和是 Tn ?

e3n?1 ? e . e3 ? 1

9、已知等差数列{an}的公差大于 0,且 a3 , a5 是方程 x 2 ? 14x ? 45 ? 0 的 两根,数列{ bn }的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 1 ? bn (1)求数列{ an }、{ bn }的通项公式;
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1 2

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(2)记 cn ? an bn ,求证: cn?1 ? cn .(n ? N*)

方法二:数学归纳法 (1) 当 n=1 时,左边=1,右边=1,不等式成立。 (2) 假设 n=k 结论成立,即:
? 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? ? 2k ? 1 a1 a2 ak 1 3 2k ? 1 8分 1 1 a1 a2 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 2k ? 1 ? ak ?1 1 3 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

7分

那么当 n=k+1 时,? ? ? ? ?
? 2k ? 1 ?

2 2 ? 2k ? 1 ? ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 ? 2k ? 1

? 2k ? 1 ? 2(k ? 1) ? 1

所以当 n=k+1 时,结论成立。

11 分 综合以上(1) (2)不等式对于任意的 n ? N ? 成立。 12 分 (其它证法以例给分)
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10、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 2 , n ? an?1 ? Sn ? n ? n ?1? 。 (1)令 bn ? ( ) n ? S n ,是否存在正整数 m ,使得对一切正整数 n ,总有
bn ? m ,若存在,求出 m 的最小值;若不存在,说明理由。
2 3

(2)令 Cn ?

4 n (n ? N ? ) , ?Cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 3 n ? N ? 。 2 an

解: (1)令 n ? 1 , 1? a2 ? a1 ? 1? 2 ,即 a2 ? a1 ? 2 由? ?
?n ? an ?1 ? Sn ? n ? n ? 1? ? ?? n ? 1? ? an ? Sn ?1 ? n ? n ? 1?

? n ? an?1 ? ? n ?1? an ? an ? 2n ? an?1 ? an ? 2 ? n ? 2?

∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an ?1 ? an ? 2 ? n ? N * ? , 即数列 ?an ? 是以 2 为首项、 2 为公差的等差数列,∴
an ? 2n …………………2 分

∴ Sn ? n(n ? 1) , bn ? ( ) n ? Sn ? ( ) n ? n(n ? 1)
? bn ?1 2 2 ? ( )(1 ? ) ? 1,解得 n≤ bn 3 n

2 3

2 3

4,………………………………………………4 分 ∴ b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? b6 ? b7 ? …… ? bn ? …… ∴ b4 ? b5 ?
320 320 最大,∴m≥ ,∴m 的最小值为 81 81

4.……………………………6 分 (2)∵ Cn ?
4 n 4 n n ? ? 2 2 2 an (2n) n
n n k 1 ? ? 2 ak k ?1 k3

?Tn ? c1 ? c2 ? ……cn ? ?
k ?1

? 1? ?
k ?2

n

n 1 2 ? 1? ? (k ? 1)k (k ? 1) (k ? 1)(k ? 1) ? (k ? 1) ? (k ? 1) k ?2

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? 1? ?
k ?2

n

n 2 k ?1 ? k ?1 ? 1? ? ………………9 (k ? 1)(k ? 1) ? ( k ? 1 ? k ? 1) (k ? 1)(k ? 1) k ?2

分.
? 1? ? (
k ?2 n

1 1 2 1 1 2 ? ) ? 1 ? (1 ? ? ? ) ? 2? ? 3. 2 2 k ?1 k ?1 n n ?1

∴ Tn ? 3…………………………………………………………………… 12 分. 另解?Tn ? c1 ? c2 ? ……cn ? ?
k ?1 n n k 1 ? ? 2 ak k ?1 k3

? 1? ?
k ?2 n

n

1 (k ? 1)k (k ? 1)
n 1 2 1 2 …………9 分. ? ? 1? ? ? (k ? 1)(k ? 1) 2 k (k ? 1)(k ? 1) k ? 1 ? k ? 1 k ?2

? 1? ?
k ?2

? 1? ? (
k ?2

n

1 1 2 1 1 2 ? ) ? 1 ? (1 ? ? ? ) ? 2? ? 3. 2 2 k ?1 k ?1 n n ?1

∴ Tn ? 3。 ……………………………………………………………12 分. 11、已知数列{an}满足:a1=a2=a3=2,an+1=a1a2…an-1(n≥3),记
2 bn?2 ? a12 ? a2 ? 2 ? an ? a1a2

an (n≥3).

(1)求证数列{bn}为等差数列,并求其通项公式; (2)设 cn ? 1 ?
1 1 ? 2 2 bn bn ?1

,数列{

cn

}的前 n 项和为 Sn,求证:n<Sn<n+1.
2 ? an ? a1a2

解:(1)方法一当 n≥3 时,因 bn?2 ? a12 ? a22 ? 故

an ①, an an?1

2 bn?1 ? a12 ? a2 ?

2 2 ? an ? an ?1 ? a1a2

②.……………………………………2 分 ②-①,得 bn-1-bn-2= an2?1 ? a1a2 数,
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2 an (an ?1 ? 1) = an ?1 ? (an ?1 ? 1)(an ?1 ? 1) =1,为常

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{bn}









列.…………………………………………………………5 分 因 b1=
2 2 a12 ? a2 ? a3 ? a1a2 a3

=4





bn=n+3.……………………………………8 分 方法二当 n≥3 时,a1a2…an=1+an+1,a1a2…anan+1=1+an+2, 将 上 两 式 相 除 并 变 分 形 , 得

2 an ?1 ? an ? 2 ? an ?1 ? 1 .……………………………………2

于是,当 n∈N*时,
2 bn ? a12 ? a2 ? 2 ? an ? 2 ? a1a2

an?2

2 2 ? a12 ? a2 ? a3 ? (a5 ? a4 ? 1) ?

? (an?3 ? an?2 ? 1) ? a1a2

an?2

2 2 ? a12 ? a2 ? a3 ? (an?3 ? a4 ? n ? 1) ? (1 ? an?3 )

? 10 ? n ? a4 .

又 a4=a1a2a3-1=7,故 bn=n+3(n∈N*). 所 以 数 列 {bn} 为 等 差 数 列 , 且

bn=n+3.………………………………………………8 分 (2)方法一因 cn 12 分 故
cn ?
(n ? 3)(n ? 4) ? 1 1 1 1 ?1? . ?1? ? (n ? 3)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4) n?3 n?4 ?1? 1 1 ((n ? 3)(n ? 4) ? 1) 2 ? ? 2 2 ( n ? 3) ( n ? 4) (n ? 3) 2 (n ? 4) 2

,…………………

所以 Sn ? (1? 1 ? 1 ) ? (1? 1 ? 1 )?
4 5 5 6

? (1 ?

1 1 1 1 ,……… 15 ? )? n ? ? 4 n?4 n? 3 n? 4

分 即 n < Sn <

n+1.……………………………………………………………………… 16 分
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cn ? 1 ?

1 1 ? ?1 2 (n ? 3) ( n ? 4) 2





cn

>1



Sn ? n .……………………10
cn ? 1 ?



1 1 1 1 ? ?1? ? (n ? 3) 2 (n ? 4) 2 (n ? 2)(n ? 3) (n ? 3)(n ? 4)

=1? 故
Sn ? (

1 1 ? n?2 n?4

<1?

1 < (1 ? 1 )2 , n?2 n?2

cn
1 n 1? n?2

<

1?

1 n?2







.…………………………………… 16 分 )?n ?1

12、已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为 其前 n 项和,且满足
2 an ? S2n?1 , n ? N* .数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 an ? an ?1

, Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和.

(Ⅰ)求 a1 、 d 和 Tn ; (Ⅱ)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的 取值范围; (Ⅲ)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 ,Tm ,Tn 成等比数列? 若存在,求出所有 m, n 的值;若不存在,请说明理由.
2 解:(Ⅰ)解法一:在 an ? S2n?1 中,令 n ? 1 , n ? 2 ,

2 2 ? ? ?a1 ? S1 , ?a1 ? a1 , 得? 2 即? ……………………(2 分) 2 ? ( a ? d ) ? 3 a ? 3 d , ? a ? S , 1 ? 1 3 ? 2

解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,…………(3 分)
? an ? 2n ? 1 .
bn ?
?Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
? 1 1 n ? )? .……(5 分) 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 (1 ? ? ? ? 2 3 3 5

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解法二:? ?an ? 是等差数列,?
? S 2 n ?1 ?

a1 ? a 2 n ?1 ? an 2

a1 ? a 2 n ?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)an .……(2 分) 2

2 2 由 an ? S2n?1 ,得 an ? (2n ? 1)an ,

又 an ? 0 ,? an ? 2n ? 1,则 a1 ? 1, d ? 2 .……(3 分) ( Tn 求法同法一) (Ⅱ)①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等 式? ?
2n ?
(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成立.……(6 分) n n

8 ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得. n

? 此时 ? 需满 足 ? ? 25 .……(7 分)

②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式
(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 恒成立.……(8 分) n n 8 8 2n ? 是随 n 的增大而增大,? n ? 1 时 2 n ? 取得最小值 ?6 . n n

??

? 此时 ? 需满足 ? ? ?21 .……(9 分)

综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21 .……(10 分) (Ⅲ) T1 ? , Tm ?
1 3 m n , Tn ? , 2m ? 1 2n ? 1

若 T1 , Tm , Tn 成等比数列, 则( (11 分) (法一)由

m2 n m 2 1 n ) ? ( ), ? 即 2 . … 2m ? 1 3 2n ? 1 4m ?4 m ? 1 6 n 3?

m2 n ? , 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3

可得 ?

3 n

?2m2 ? 4m ? 1 ? 0, m2

即 ?2m2 ? 4m ? 1 ? 0 ,

……(12 分)

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? 1?

6 6 .……(13 分) ? m ? 1? 2 2

又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 .
n ? 12 时, 因此, 当且仅当 m ? 2 , 数列 ?Tn ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列. ……

(14 分)
m2 1 n 1 1 ? ,即 2m2 ? 4m ? 1 ? 0 , (法二)因为 ? ? ,故 2 4m ? 4m ? 1 6 6n ? 3 6 ? 3 6 n
? 1?
6 6 , (以下同上) .……(13 分) ? m ? 1? 2 2
2

13、已知各项均为正数的等比数列 {an } 的公比为 q ,且 0 ? q ? 1 。 (1)在数列 {an } 中是否存在三项,使其成等差数列?说明理由; (2)若 a1 ? 1 ,且对任意正整数 k , ak ? (ak ?1 ? ak ?2 ) 仍是该数列中的某一 项。 (ⅰ)求公比 q ; (ⅱ)若 bn ? ? loga ( 2 ? 1) ,Sn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ,Tn ? S1 ? S2 ? ??? ? Sn ,试用 S2011
n?1

表示 T2011 . ⑴由条件知: an ? a1qn ?1 , 0 ? q ? 1 , a1 ? 0 ,
2

所以数列 ?an ? 是递减数列,若有 ak , am , an (k ? m ? n) 成等差数列, 则中项不可能是 ak (最大) ,也不可能是 an (最小) ,……………2 分 若 2am ? ak ? an ? 2q m?k ? 1 ? q n?k , (*) 由 2qm?k ≤ 2q ? 1 , 1 ? q h ? k ? 1,知(*)式不成立, 故 ak , am , an 不可能成等差数列.……………………………4 分
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1 2 5? ⑵ (i) 方法一: ak ? ak ?1 ? ak ? 2 ? a1q k ?1 (1 ? q ? q 2 ) ? a1q k ?1 ? ?? (q ? ) ? ? ,… 6 ? 2 4?

分 由 ? (q ? ) 2 ? ? ( ,1) 知, ak ? ak ?1 ? ak ?2 ? ak ? ak ?1 ? , 且 ak ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ? 2 ? ak ?3 ? …,…………………………8 分 所以 ak ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ?1 ,即 q 2 ? 2q ? 1 ? 0 , 所以 q ? 2 ? 1,…………………………………………………10 分 方法二:设 ak ? ak ?1 ? ak ?2 ? am ,则 1 ? q ? q2 ? qm?k ,……………6 分 由1 ? q ? q2 ? ? ?
1 ? ,1? 知 m ? k ? 1 ,即 m ? k ? 1 ,………………8 ?4 ?

1 2

5 4

1 4



以下同方法一.……………………………………………………10 分 (ii) bn ? ,…………………………………………………………12 分 方法一: S n ? 1 ? ? ? ? ? ,
1 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ? ? ? ) 2 2 3 2 3 n n ?1 n ? 2 n ? (n ? 1) ?n? ? ??? 2 3 n 1 1 1 1 2 3 n ?1 ? n(1 ? ? ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? ? ) 2 3 n 2 3 4 n 1 1 1 1 ? nS n ? [(1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? )] 2 3 4 n 1 1 1 ? nS n ? [( n ? 1) ? ( ? ? ? ? )] 2 3 n 1 1 1 ? nS n ? [n ? (1 ? ? ? ? ? )] 2 3 n 1 2 1 3 1 n
1 n

? nSn ? n ? Sn
? (n ? 1)Sn ? n ,

所以 T2011 ? 2012S2011 ? 2011 .………………………………16 分 方法二: Sn ?1 ? 1 ? ? ? ? ? ?
1 2 1 3 1 n 1 1 ? Sn ? n ?1 n ?1

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所以 (n ? 1)Sn?1 ? (n ? 1)Sn ? 1 ,所以 (n ? 1)Sn?1 ? nSn ? Sn ? 1 ,
2S2 ? S1 ? S1 ? 1 ,

3S3 ? 2S2 ? S2 ? 1 ,

……
(n ? 1)Sn ?1 ? nSn ? Sn ? 1 ,

累加得 (n ? 1)Sn ?1 ? S1 ? Tn ? n , 所以 Tn ? (n ? 1)Sn?1 ? 1 ? n ? (n ? 1)Sn ? n ? (n ? 1)(Sn ? bn ) ? 1 ? n
? (n ? 1)(Sn ? 1 ) ? 1 ? n ? (n ? 1) Sn ? n , n ?1

所以 T2011 ? 2012S 2011? 2011. ……………………………………… 16 分 1、解:设数列的公比为 q(q>0)

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