一道几何习题的解析与拓广

9 0 ≥  
雌  媾 

解题 技巧 与方 法 

以苏 科 版 八 年 级数 学 ( 下) P 1 0 9习题 第 5题 为 例 , 谈 谈 相 
似= 二 _ 角 形 在 实 际 问 题 巾 的应 用 .  
C N 

=  

AB  ’   2   4  
,  
.  

=  

解 得  =6 0
5  
, …   ’ 一 

3 7 一 ,  
,  

真题: 如图, 在 AA B C中 , AD 是 高 , 矩形 P Q MN 的 顶 点  P , N分别存 A B, A C上 , Q M 在边 日 C上 . 若B C=。 , A D =h , 且  P N=2 P Q, 求矩形 P Q MN 的 长 和宽 ( 用n , h的代 数 式 表示 ) .  
A 

正 方形 的边 长 为  6 0
. 

C  

C  

A   B   D  M  C 

D  N 

E 

B 

A   D  N 

E 

B 

解 析 设 
A ABC, . 。 .   P N
=  

长 为  , 则 刚 为  , ‘ . ‘ 矩形 P Q MN, 且 
2 X 一=  
_

( 2 ) 如 图( 2 ) , 设I I , 正 方 形 边 长 为  , 则 G F=2 x , 同( 1 ) 得 

A D   l L B C   . 。 . E D:P Q =x , . 。 AE =h—x , ‘ . ‘ P N, f   B C,   . △A P N  
,   ,

解得  =  

,  



?
? ?

矩形 长P N一 2 a   h  
C t   十 二凡  ,

宽P Q  

0 十  I t ?  

A C G F — A C A B   .   =   ,   罟, . ? . i 1 、 正 方 形 的 边 长 为  
_ . . 

= 争, 解 得   =  

点 评 本 题 是 一 道 利 用 相 似 三 角 形 性 质 来 解 决 的 几 何 应  l _ f J 问题 . 解 决 这 类 问 题 主 要 是 灵 活 运 用 好 相 似 三 角形 找 出 线 
段 问 的 比例关 系 , 正 确列 方 程 求 解 .   拓广 如 图, 在 R t △A B C中,   C=9 0 。 , A C=3 , B C=4 .  

( 3 ) 如 图( 3 ) , 同( 1 ) ( 2 ) 得 AC G F   △C AB,  
= 一 ,  

‘ ‘   C N  一   AB ’   2 . 4  
?

3 x 解 得  = 6 0 】 一 5  ’ 用  。   ^一   6 1  ’ ,  
=  




小 正 方 形 的 边长 为  6 0


  .

如 罔( 1 ) 四边形 D E F G 为 △A B C 的 内接 正 方 形 , 求 正 方 
形 的边 长 :  

( 4 ) 小 正方 形 的 边 长 为 
C 

.  
C  

如 罔( 2 ) AA B C 内有 并 排 的 两 个 相 等 的 正 方 形 , 它 们 组  成 的 矩 形 内 接 于 △AB C . 求 正方 形 的边 长 :   如 图( 3 ) AA B C 内有 并 排 的 三 个 相 等 的 正 方 形 , 它 们 组  成 的矩 形 内 接 于 AA B C , 求 正方 形 的边 长 ;   如 图( 4 ) △AB C 内有 并 排 的 r t 个 相等 的正方形 , 它 们 组  成 的矩 形 内 接 于 △AB C , 请 直接 写 出正 方 形 的 边 长 :  
解析 ( 1 ) 如 图( 1 ) 过点 C作 C Nj _   于 点 Ⅳ, 交 G F于 

A  D   N  

E  

B 

A  D 

E  B  

( 3 )  

( 4 )  

点评

第( 4 ) 小 题 学 生探 索 难 度 较 大 , 第( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 题蚪 】  

点 M, 设 G D 为  , 由题 意 得 G F=  , MN=  , 在 R t △A B C中 ,  
AC=3 . BC:4. 则 AB=5, CⅣ=2 . 4 .  



同样 方 法 可 求 出小 正 方 形 的边 长 . 不 过 在 计 算 过 程 中要 注 意  计 算的准确 性 、 技巧性 . 不 能有错误 , 否则探索 第 ( 4 ) 题 有 困  难. 对( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 题 的答案进行 观察 , 找 出答 案 的 规 律 , 利 用 

四边 形 G D E F是 正方 形  . AC G F 一 △C A B,  

此规律直接写出第( 4 ) 小 题 的 结论 就 显 得 很 容 易 了.  
( 上接 9 1页 )  

审题 , 只刖“ 8×1 0=8 0 ” 人就完 成了 , 我让学生上 台板演 , 对  的 学 生 和 写 错 的 学 生 都 点 名 上 台 写 写 ,让 学 生 观 察 比较 , 写  完 后 让 对 的 学 生 说 说 你 是 怎 样 的 理解 的 , 学 生 说 这 幅 图 共 给 
了两个条件 : 一个 方 阵有 8行 和重 组 行 有 1 0人 , 还 有 一 个 条  件 是  个 方 阵 ,第 一 步 求 一 个 方 阵 有 多 少 人 ? “ 8×1 0=8 0 ”   人. 第 二 步 求  个 方 阵 有 多 少 人 ? “ 8   X   3= 2 4 0 ” 人, 再 让 第 二  名学 生 说 为 什 么 只有 一 步 “ 8   X   1 0=8 0 ” 人 就算 完 了 呢 ?学 生  说 这 幅 图 只有 两 个 条 件 , 不会 找第三个条件 , 我 让 做 错 的 学  生 观 察 做 对 学 生 的 练 习 ,听做 对学 生 的 汇报 . 全 班 根 据 图 意  用 文 字 说  条 件 和 问 题 ,形 成 文 字 应 用 题 . 在讲 评 时 着 重 用 

思维能力更活跃. 我 点 名 让 中 差 生 都 练 说 一 遍 后 ,用 挑 战 性  的语 气 对 他 们 说 有 没有 信 心 做 好 类 似 的应 用 题 呢?他们 都 大  声 地说 : “ 有” . 我这是有意 制造气氛 , 激发他们 的学习兴趣 ,   接 着又出示例 2 , 题 目与例 1内 容 相 似 , 让 中差生独立 完成 ,   我 发现 他 们 认 真 圈 圈 画 画关 键 词 ,找 条 件 写 小 标 题 , 比例 1   的正确率高多了. 一 节 课 是 否 有 效 ,要 看 你 的 巾差 生 是 否 掌 
握 和 运 用 才 是有 效 .  

总之 , 在教学 中, 我 们 只要 以学 生 的 发 展 为 本 , 精 心 设 计 
有 效 的数 学 教 学 活 动 , 我 们 的 数学 课 堂 就一 定 能 迎 来 一 缕 灿  烂 的 阳光 .  

小标题讲解. 教学生用小标题解题 , 使 学 生 的审 题 能 力 更 强 ,  
数 学 举 习与 研 究 2 0 1 1   1 8  


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