2.1.2求曲线的方程(一)(二)_图文

2.1.2 求曲线的方程

1

方程的曲线和曲线的方程: 一、
⑴曲线上的点的坐标都是方程的解;
⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; 就说这条曲线是这个方程的曲线, 这个方程是 这条曲线的方程.

二、坐标法

形成

解析几何

在平面上建立直角坐标系: 一一对应 ???? ? 坐标(x,y) 点 坐标化 曲线 ??? ? ? 曲线的方程
平面解析几何研究的主要问题是:
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
2

研究

一、直接法求曲线方程
例 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
即点M属于集合 P ? ?M || MA |?| MB |?

解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点 ,
由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 上式两边平方,并整理得

( x ? 3) 2 ? ( y ? 7) 2

3

x ? 2y ? 7 ? 0

下面我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程。

(1)由求方程的过程可知,垂直平分线上的每一点的 坐标都是方程①的解 (2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解,即

x1 ? 2 y1 ? 7 ? 0
| M 1 A |? ( x1 ? 1) ? ( y1 ? 1)
2 2

? x1 ? 7 ? 2 y1
? (8 ? 2 y1 ) ? ( y1 ? 1)
2 2

则点M1到A,B的距离分别是:

? 5( y ? 6 y1 ? 13)
2 1

| M 1 B |? ( x1 ? 3) 2 ? ( y1 ? 7) 2 ? (4 ? 2 y1 ) 2 ? ( y1 ? 7) 2
? 5( y12 ? 6 y1 ? 13)
所 以 : | M 1 A |?| M 1B | 即点M在线段AB的垂直平分线上。
4

由 (1)(2) 可知,方程①是线段 AB 的垂直平分线的方程。

二、用直接法求曲线的方程一般步骤:
①建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上 ----建系设点 任意一点M的坐标; ②写出适合条件P的点M的集合; ----写点集 ③用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0; ----列代数方程 ④化方程f(x,y)=0为最简形式; ----化简 ⑤证明化简后的方程的解为坐标的点都是 ----证明 曲线上的点.
一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可 以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明。另外,也 5 可以根据情况省略步骤(2),直接列出代数方程。

例 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
所以此例题可以简化为以下步骤:

解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点 ,
由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ?
上式两边平方,并整理得

( x ? 3) 2 ? ( y ? 7) 2

x ? 2y ? 7 ? 0
6

例 2 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F, 点 F 到 l 的距离是 2. 一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程.

y

.M
0

( x, y )

F(0, . 2)
l
B

x
7

课堂练习: 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.

练习:P37 T1,2,3

8

三、间接法求曲线方程
例3:已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶 点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心G 的轨迹方程。

9

练习、求抛物线y ? x 2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? 1(m ? R) 的顶 点的轨迹方程。

10

作业:
? 世纪金榜2.1.2

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