甘肃省西北师大附中2012届高三诊断考试数学理试题

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西北师大附中 2012 年高三第一次诊断考试试卷 数学(理科)
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) . 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) . 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次 的概率 Pn (k ) ? Cnk (1 ? P) n ? k
4 球的表面积公式 S ? 4? R2 , 球的体积公式 V ? ? R3 ,其中 R 表示球半径。 3 第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意。 ) 1. 若 z ? sin ? ? A.-7

3 4 ? ? (cos ? ? )i 是纯虚数,则 tan(? ? ) 的值为 5 5 4
B. ?

1 7

C.7

D. ?7 或 ?

1 7

2.抛物线 y ? ?2x2 的准线方程是 A. x ?

1 2

B. x ?

1 8

C. y ?

1 2

D. y ?

1 8
?1

3. 设函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3x ?1,则 f (x ) 的反函数 f
?1 A. f ( x) ? 1 ? 3

( x) 为
x ( x ? 0)

x ( x ? R)

?1 B. f ( x) ? 1 ?

3

?1 C. f ( x) ? 1 ? 3 x ( x ? R )

?1 D. f ( x) ? 1 ? 3 x ( x ? 0)

4. “cosα =

3 7 ”是“cos2α= ”的 5 25
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件 5. 过点(0,1)且与曲线 y ? A. x ? 2 y ? 2 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0

x ?1 2) 在点 (3, 处的切线垂直的直线的方程为 x ?1
B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 2 ? 0

2 2 2 6. 已知正项数列 ?an ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , 2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2) ,则 a6 等于

C. 2 2 D.4 ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? 7.△ ABC 外接圆的半径为 1 ,圆心为 O ,且 2OA ? AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | ,则 CA ? CB 等于
A.

A.16

B.8

3 2

B. 3

C. 3

D. 2 3

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1

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8.

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函 数 f ( x) ? c osx ? sin x , 把 y ? f (x) 的 图 象 按 向 量 a ? (? ,0) ( ? >0) 平 移 后 , 恰 好 得 到 函 数

y = f ? ( x )的图象,则 ? 的值可以为
A.

? 2
5 8

B.

3? 2

C.π

D.

3? 4
8 1

9. 停车场划出一排 12 个停车位置,今有 8 辆车需要停放,要求空车位连在一起,则不同的停车方法有 A. A5 A8 种
8 B. A12 种 8 1 C. A8 C8 种

D. A8 C9 种

10.已知偶函数 f ( x )对任意的 x? R 满足 f ( 2 + x ) = f ( 2 – x ),且当 ?2 ? x ? 0 时,f ( x ) = log2( 1 – x ), 则 f ( 2011 )的值是 A.2012 B.2 C.1 D.0

11.若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球表面积之比为 A. 3 :1 B . 4 :1 C . 5 :1 D. 6 :1

12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为 F1 , F2 ,且两条曲线在第一象限的交 点为 P, ?PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF1 ? 10 ,椭圆与双曲线的离心率分别为 e1 , e2 ,则

e1 ? e2 的取值范围是
A. (0, ??) B. ( , ??)

1 3

C. ( , ??)

1 5

D. ( , ??)

1 9

二、填空题(本大题共 4 小题.每小题 5 分.共 20 分。把答案填写在答题卷上)

?x-y+1≤0, ? y 13.若实数 x、y 满足?x>0, 则x的最小值是 ?y≤2, ?
14. 如果随机变量 ? ~ N (?,? 2 ), 则 P( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 0.682 ,

P( ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 0.9544 , P( ? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ) ? 0.9974 .
已知随机变量 x ~ N (3,1) ,则 P(4 ? x ? 5) ? ;

15. 在斜三棱柱 ABC ? A B1C1 中, 底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形, 点 A1 在平面 ABC 上的射影为 AC 1 的中点 D, AC=2, BB1 =3,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正切值为 16. 已知 P 是双曲线 .

x 2 y2 ? ? 1 (b ? 0) 上一点,F1、F2 是左右焦点,⊿P F1F2 的三边长成等差数列,且∠ 4 b2

F1 P F2=120°,则双曲线的离心率等于 三、解答题(本大题有 6 个小题;共 70 分.解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分) 若 f ( x) ? 3 cos
2

? x ? sin ? x cos ? x ?

标依次成公差为 ? 的等差数列. (1)求 ? 和 m 的值;

3 (? ? 0) 的图像与直线 y ? m(m ? 0) 相切, 并且切点横坐 2

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(2)在⊿ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边。若 ( 且 a=4,求⊿ABC 外接圆的面积。

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A , 是函数 f (x) 图象的一个对称中心, 0) 2

18.(本小题共 12 分) 甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或 打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p( p ? 束时比赛停止的概率为 (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)设 ? 表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? .

1 ) ,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结 2

5 . 9

19. (本小题满分 12 分) 已 矩 ABC 与 三 形 AED 所 的 面 相 直 M 、N 分 为 BE 、 AD 的 点 AB ? 1 , AD ? 2 , 知 形 在 平 互 垂 , 别 棱 中 , D 正 角 (1)证明:直线 AM // 平面 NEC; (2)求二面角 N ? CE ? D 的大小.
B C

M A N D

E

第 19 题图

20. (本小题满分 12 分)已知数列 {an },{bn } 满足:

a1 ? 3b1 ? 3, a2 ? 6, bn ?1 ? 2bn ? 2n , bn ? an ? nan ?1 (n ? 2, n ? N * ). b (I)探究数列 { n } 是等差数列还是等比数列,并由此求数列 {bn }的通项公式; 2n (II)求数列 {nan} 的前 n 项和 Sn .

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21. (本小题满分 12 分)已知抛物线 x2 ? 8 y 的焦点为 F ,其准线与 y 轴交于点 M ,过 M 作直线与抛 物线在第一象限的部分交于 A, B 两点,其中 B 在 A, M 之间。直线 AF 与抛物线的另一个交点为 C 。 (Ⅰ)求 x1 x2 的值,求证:点 B 与 C 关于 y 轴对称。 (Ⅱ)若 ?MAC 的内切圆半径 r ? 1 ,求 FA ? FB 的值。

??? ??? ? ?

22. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 ? ln x 。 x

1 (Ⅰ)若函数在区间 (a, a ? ) 上存在极值( a >0),求实数 a 的取值范围; 2 k (Ⅱ)如果当 x ? 1 ,不等式 f ( x) ? 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1 (Ⅲ)求证: [( n ? 1)! ]2 > (n ? 1) ? en?2 (n ? N ? ) 。

2012 年西北师大附中高三年级诊断考试试卷 理科数学 答案及参考评分标准
一、选择题: 题号 1 答案 A 2 D 3 A 4 A 5 C 6 D 7 C 8 B 9 D 10 C 11 C 12 B

12.【解析】如图,由题意知 r1 ? 10 , r2 ? 2c ,且

r1 ? r2 . e1 ? 2c ? 2c ? 2c ? c ; 2a双 r1-r2 10-2c 5 ? c

e2 ? 2c ? 2c ? 2c ? c . 2a椭 r1 ? r2 10 ? 2c 5 ? c

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?三角形两边之和大于第三边, ? 2c ? 10,? c ? 2c 5 2
r1

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y
P r2 F2

∴ e1 ? e2 ?

c 1 1 ? ? ,因此选 B。 2 25 25 ? c ?1 3 c2

2

F1 O

x

二、填空题: 13、2 14、0.1362 15、

2 10 5

16、

7 2

三、解答题(本大题有 6 个小题;共 70 分.解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)

3 ? = ? sin(2? x ? ) ??????3 分 2 3 由题意,函数 f (x ) 的周期为 ? ,且最大值为 m , 所以, ? ? 1 , m ? 1 ????????????5 分 A (2)∵( , 是函数 f (x ) 图象的一个对称中心 0) 2
解: (1) f ( x) ? 3 cos
2

? x ? sin ? x cos ? x ?

∴ sin(A ?

?

3

) ? 0 ,又因为 A 为⊿ABC 的内角,所以 A ?
a ? sin A 4 sin

?

3

?????????7 分

⊿ABC 中,设外接圆半径为 R, 则由正弦定理得: 2 R ?

?

?

8 3 4 3 ,即: R ? 3 3
????????????10 分

3 16? 则⊿ABC 的外接圆面积 S ? ?R 2 ? 3

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛停止,

5 1 2 ,解得 p ? 或 p ? . 9 3 3 1 2 又 p ? ,所以 p ? . ???????6 分 2 3 (Ⅱ)依题意知 ? 的所有可能取值为 2,4,6. 5 5 5 20 5 20 16 , P(? ? 6) ? 1 ? ? P(? ? 2) ? , P(? ? 4) ? (1 ? ) ? ? ? , 9 9 9 81 9 81 81 所以随机变量 ? 的分布列为:
故 p 2 ? (1 ? p)2 ?

?
P

2

4

6

20 16 81 81 5 20 16 266 所以 ? 的数学期望 E? ? 2 ? ? 4 ? .??????12 分 ? 6? ? 9 81 81 81
5 9
19. (本小题满分 12 分) 方法一: (1)证明:取 EC 的中点 F,连接 FM,FN,

1 1 BC , AN// BC , AN ? BC ?????????2 分 2 2 所以 FM// BC 且 FM ? BC ,所以四边形 AMFN为平行四边形, 所以 AM // NF , ?????????????4 分
则 FM// BC , FM ?

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因为 AM ? 平面 NEC, NF ? 平面 NEC, 所以直线 AM // 平面 NEC; ?????????????6 分 (2)解:由题设知面 ABCD? 面 ADE , CD ? AD,? CD ? 面ADE ? 又 ? CD ? 面CDE , ∴ 面 C D E 面A D E, 作 NH ? DE 于 H , 则 NH ? 面C D E , 作 HO ? EC于O ,连接 NO ,由三垂线定理可知 NO ? CE , ∴ ?HON就是二面角 N ? CE ? D 的平面角, 在 正 ?A D E 中 , 可 得 NH ? ?????????????9 分

3 5 3 , 在 Rt?E D C , 可 得 OH ? 中 , 故 在 Rt?N H O , 中 10 2
????????????11 分

tan ?HON ?

NH 15 ? , OH 3

所以二面角 N ? CE ? D 的大小为 arctan

15 3

??????????12 分

方法二:如图以 N 为坐标原点建立空间右手 直角坐标系,所以 A(0,?1,0), B(0,?1,1) D(0,1,0), B

z
C

N (0,0,0), E ( 3,0,0), C (0,1,1), M (
(1)取 EC 的中点 F ,所以 F (

3 1 1 ,? , ), ?1 分 2 2 2
A

M N E

F O H

3 1 1 , , ), 2 2 2

Dy

x

设平面 NEC的一个法向量为 n ? ( x, y,1) , 因为 NC ? (0,1,1) , NE ? ( 3,0,0) 所以 n ? NC ? y ? 1 ? 0 , n ? NE ? 因为 AM ? (

3 x ? 0 ; n ? (0,?1,1) ,???3 分
?????????5 分 ?????????7 分

3 1 1 , , ) , n ? AM ? 0 ,所以 n ? AM 2 2 2

因为 AM ? 平面 NEC,所以直线 AM // 平面 NEC

(2)设平面 DEC的一个法向量为 m ? (1, y, z ) ,因为 DC ? (0,0,1) , DE ? ( 3,?1,0) 所以 m ? DC ? z ? 0 , m ? DE ?

3 ? y ? 0 ;所以 m ? (1, 3,0) ?????9 分

cos ? n, m ??

n?m nm

?

? 3 2?2

??

6 4

????????????11 分

因为二面角 N ? CE ? D 的大小为锐角, 所以二面角 N ? CE ? D 的大小为 arccos 20. (本小题满分 12 分)
n 解: (I)由 bn ?1 ? 2bn ? 2 , 得

6 4

????????????12 分

bn?1 bn 1 ? n ?- , n +1 2 2 2 b n? n? 数列 { n } 是等差数列, bn =2 ?1 ? ? .--------------------------------------------4 分 n 2 ? 2?
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E _
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(II) bn ? an ? nan?1 ,得 ∴

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an -2n ?n, an?1 -2n?1

21 ∴ an ? n ? n ? 1??3? ? ? 2 ? n!? 2 -------------------------------------------8 分
n n

2 an -2n a -2n a -2n?1 a -2 ? n n?1 ? n?1 n?2 ? 2 1 ? n ? n ? 1??3 ? 2 a1 -21 an?1 -2 an?2 -2 a1 -2

n 2 2 ∴ nan ? n? !? n? ? ? n ? 1?!? n!? n?
n

n

S n ? ? 2!? 1!? ? ? 3!? 2!? ? ? ? ? n ? 1? !? n !? ? ?1?21 ? 2?2 2 ? ? n?2 n ? = ? n ? 1? !-1 ? ?1?21 ? 2?2 2 ? ? n?2 n ?

------------------10 分

n ?1 21 22 2n 记 S =1? ? 2? ? ? n? ,由错位相减法,可得 S = ? n ? 1? 2 ? 2

∴ Sn = ? n ? 1?!? ? n ? 1? 2

n ?1

?1

-----------------------------------------12 分

21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)F(0,2),M(0,-2) 设直线 AB : y ? k1x ? 2(k1 ? 0) , 直线 AC: y ? k2 x ? 2 设 A ( x1, y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,C ( x3 , y3 ) ,
2 2 将 y ? k1x ? 2(k1 ? 0) 代入 x2 ? 8 y 得: x ? 8k1 x ? 16 ? 0 ,由 ? ? 0 ? k1 ? 1 ? k1 ? 1

又 x1 ? x2 ? 8k1, x1x2 ? 16, 同理: x1 ? x3 ? 8k2 , x1x3 ? ?16, 由①② x1 x2 = ? x1 x3 , ? x2 ? ?x3

① ----------------------------------------------3 分 ②

由抛物线的对称性知:点 B 与 C 关于 y 轴对称-----------------------------------------------6 分 (Ⅱ)由 1 知 Y 轴平分角 AMC,故三角形 MAC 的内心必在 Y 轴上,设为 I (0, a ) 则 I 到边 AC,AM 的距离都 是 1,所以:

a?2 k ?1
2 1

?1,

a?2
2 k2 ? 1

?1



2 2 把 x3 ? ? x2 代入②: x1 ? x2 ? 8k2 ,所以 ( x1 ? x2 ) ? 64k2 ,

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 64k2 2 ,
2 2 结合①: ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 64k1 ? 64

k2 2 ? k12 ? 1 ,④

15 8 ??? ??? ? ? 所以 FA ? FB = x1x2 ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) = x1x2 ? (k1x1 ? 4)(k1x2 ? 4) 97 2 2 = (1 ? k1 ) x1 x2 ? 4k1 ( x1 ? x2 ) ? 16 = 32 ? 16k1 = ? ------------------------------- 12 分 4
③④联立, k1 ? 22. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)定义域 (0,??) 1 ? ln x ln x ? f ( x) ? ,? f ' ( x) ? ? 2 , x x f ?( x) >0, f (x) ? , ? 当 0< x <1,
x >1, f '(x) <0, f (x) ?

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?a<1 ? ? x ? 1 处 f (x) 取极大值,则 ? , 1 ?a ? 2 >1 ?

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1 < a <1。-------------------------------------------------------------------------------------------4 分 2 k ( x ? 1)(1 ? ln x) (Ⅱ) f ( x) ? 即 ? k , ( x ? 1) 恒成立, x ?1 x
解得

( x ? 1)(1 ? ln x) [( x ? 1)(1 ? ln x)]'? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x 则g '( x) ? ? x x2 x2 1 记 h( x) ? x ? ln x, 则h '( x) ? 1 ? ,? x ? 1,? h?( x) ? 0 x
令 g ( x) ?
? h( x)在[1,?? ] 单增,

?h(x) min? h(1) ? 1>0, ?h(x) >0 恒成立, h( x) ? g ' ( x) ? 2 >0,即 g(x) 在[1,+ ? ) ? 。 x ?g(x) min? g(1) ? 2,?k ? 2 。-------------8 分 2 1 ? ln x 2 (Ⅲ)由(Ⅱ) f ( x) ? ,即 ? x ?1 x x ?1 2 2 即 ln x ? 1 ? >1 ? x ?1 x 2 令 x ? n(n ? 1), 则ln[n(n ? 1)] > 1 ? n(n ? 1) 2 , ?ln(1? 2) > 1 ? 1? 2 2 , ln(2? 3) > 1 ? 2?3 2 。 ln[n(n ?1)]> 1 ? n(n ? 1) 1 2 >n ? 2 ?ln[1? 22 ? 32 ?n 2 ? (n ? 1)] > n ? 2 ? (1 ? )?n?2? n ?1 n ?1 ?1? 2 2 ? 32 ? ?? n 2 ? (n ? 1) > en?2
?[(n ? 1)!]2 > (n ? 1)e
n?1

(n ? N ? ) 。---------------------12 分

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