湖北武汉部分重点中学2012—2013学年度高一下学期期中考试数学理试题(word版)

湖北武汉部分重点中学 2012—2013 学年度下学期期中考试

高一数学理试题
命题人:洪山高中 孔凡祥 审题人:武汉中学 方玉林
考试时间:2013 年 4 月 19 日下午 2:00-4:00 本卷满分 150 分

★祝考试顺利★
注意事项: 1.答卷前考生务必将自己的姓名、考号、班级、学校填写在答题卡相应的位置上. 2.选择题作答:每小题选出答案后,将答案序号填在答题卡对应题号下面.答在试题卷、草稿纸上无效. 3.填空题和解答题作答:直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效,答在对应区 域外或填错答题区域均无效.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. a b 1.已知 a ? b, c ? d ,则下列不等式: (1) a ? c ? b ? d ; (2) a ? c ? b ? d ; (3) ac ? bd ; (4) ? c d
中恒成立的个数是( ) A.1 B.2 C.3
2 2

D.4
2

2.在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 ( ) D.6

) D.不能确定

3.已知 x ? 2 ,则函数 y ? A.5 B .4

x2 ? 4x ? 8 的最小值是 x?2
C.8

4. 已知数列 {a n } (a n ? R) ,若 2a n ? a n ?1 ? a n ?1 (n ? N * , n ? 2),则下列不等式中一定成立是(
2 A. a 2 a 4 ? a 3 2 B. a 2 a 4 ? a 3
2 C. a 2 a 4 ? a 3 2 D. a 2 a 4 ? a 3



5.边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为 A.60° B.30° C.120° D.150° 6. ?ABC 中, ?A ? 60?, a ? 5, b ? 4, 则此三角形解的情况是 (

(

)

)

A. 一个解 B. 两个解 C. 无解 D. 不能确定 7.某加工厂拟用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工 时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元.乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时 可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天只能完成至多 70 箱原料的加工, 每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱高
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1

8. E, F 是等腰直角 ?ABC 斜边 AB 上的两个三等分点,则 tan ?ECF ? ( )

A.

16 27

B.

2 3

C.

3 4

D.

3 3

9.设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则 A. (0, ??) B. (0,

sin B 的取值范围是( ) sin A
5 ?1 5 ?1 , ) 2 2

5 ?1 ) 2

C. (

5 ?1 , ??) 2

D. (

10.若等差数列 {an } 满足:

a11 ? ?1 ,且其前 n 项和 S n 有最大值.则当数列 ? S n ? 的前 n 项和取最大值时, a12
C. 22 D. 23

n 的值为( )
A. 20 B. 21

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡相应位置上.
11. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 3 ? 1 ,则 an =
n



12.函数 f ( x) ?

x(8 ? 3x) 的最大值为



13.已知两个等比数列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,且满足

S n 2n ? 1 a ? ,则 7 ? Tn 3n ? 1 b7



14.已知 ?ABC ? 60? , P 为 ?ABC 内一定点,且 P 点到边 AB, BC 的距离分别为 1,2.则 P 点到顶点

B 的距离为



a 2 ? b2 的最小值为 . a ?b 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.已知 a ? b ,且 ab ? 3 ,则 16(本小题满分 12 分) 若不等式 ax ? 5x ? 2 ? 0 的解集是 M .
2

(1)若 2 ? M ,求实数 a 的取值范围; (2)若 M ? x

?

1 ? x ? 2 ,求不等式 ax2 ? 5x ? a2 ? 1 ? 0 的解集. 2

?


2

17. (本小题满分 12 分) 如图,要计算东湖岸边两景点 B 与 C 的距离,由于地形的限制,需要在岸上选 取 A 和 D 两点,现测得 AD ? CD , AD ? 10 km , AB ? 14 km , ?BDA ? 60? , ?CBD ? 15? ,试求 两景点 B 与 C 的距离.

18(本小题满分 12 分) 已知 ? an ? 是等差数列,其前 n 项和为 S n ;数列 ?bn ? 满足 bn ? 2 ? 又 a1 ? b1 ? 1, a4 ? b4 ? ?20, S4 ? b4 ? 43 . (1)求数列 ? an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn .

2 bn +1 (n ? N*) , bn

3

19(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足

(2b ? 3c) cos A ? 3a cos C . (1)求角 A 的大小;
③c ?

(2)现给出三个条件:① a ? 2 ;② B ? 45? ;

3b . 试从中选出两个可以确定 ?ABC 的条件, 写出你的选项, 并以此为依据求出 ?ABC 的面积 (只

需写出一个选定方案即可) .

20(本小题满分 13 分) 某单位决定投资 3200 元建一仓库(长方体状) ,高度恒定,它的后墙利用旧墙, 地面利用原地面均不花钱,正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,屋顶每平方 米造价 20 元. (1)仓库面积 S 的最大允许值是多少? (2)为使面积 S 达到最大而实际投入又不超过预算,正面铁栅应设计为多长?

4

21. (本小题满分 14 分) 在数列 ? an ? 中,对于任意 n ? N* ,等式:

a1 +2a2 ? 22 a3 ? ? ? 2n ?1 an ? (n ? 2n ? 2n ? 1)t 恒成立,其中常数 t ? 0 .
(1)求 a1 , a2 的值; (3) 如果关于 n 的不等式 取值范围. (2)求证:数列 {2 n } 为等比数列;
a

m 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? 0 的解集为 {n | n ? 3, n ? N*} ,试求实数 t 、m 的 a1 a2 a4 a8 a2n

5

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.
题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D 5 C 6 A 7 B 8 C 9 D 10 C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11. an ? ?

?4(n ? 1) ?2 ? 3 (n ? 2)
n ?1



12.

4 3 ; 3

13.

32 ; 729

2 21 ; 15. 2 6 3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.
14. 16(本小题满分 12 分) 解: (1)∵ 2 ? M ,∴ a ? 2 ? 5 ? 2 ? 2 ? 0 ,∴ a ? ?2
2

………5 分

(2)∵ M ? x

?

1 1 ? x ? 2 ,∴ , 2 是方程 ax2 ? 5x ? 2 ? 0 的两个根, 2 2

?

5 ?1 ?2?? ? ?2 a 且 a ? 0 ,∴由韦达定理得 ? ∴ a ? ?2 ?1 ? 2 ? ? 2 ? a ?2
2 2 2

………8 分

∴不等式 ax ? 5x ? a ? 1 ? 0 即为: ?2x ? 5x ? 3 ? 0 其解集为 x ? 3 ? x ?

?

1 . 2

?

………12 分

17(本小题满分 12 分) 解:在 ?ABD 中,设 BD ? x , 则 BA2 ? BD 2 ? AD 2 ? 2BD ? AD ? cos ?BDA , 即 14 2 ? x 2 ? 10 2 ? 2 ? 10 x ? cos60 ? , 整理得: x 2 ? 10 x ? 96 ? 0 , 解之: x1 ? 16 , x 2 ? ?6 (舍去) ,………………6 分 由正弦定理,得:

BC BD , ? sin ?CDB sin ?BCD 16 ∴ BC ? ? sin 30 ? ? 8 2 . sin135 ?

………12 分
6

18(本小题满分 12 分) 解: (1)由 bn ? 2 ?
2 bn +1 可得 ?bn ? 为等比数列.设数列 ? an ? 的公差为 d ,数列 ?bn ? 的公比为 q , (n ? N*) bn

3 ? ?1 ? 3d ? q ? ?20 由题意得 ? , 3 ? ? 4 ? 6d ? q ? 43

解之得: ?

?d ? 2 n ?1 ,从而 an ? 2n ? 1, bn ? (?3) .………5 分 ? q ? ?3
0 1 2 n ?1

(2) Tn ? 1? (?3) ? 3 ? (?3) ? 5 ? (?3) ? ? ? (2n ? 1) ? (?3)
1 2 3


n

①×(?3) 得: ?3Tn ? 1? (?3) ? 3 ? (?3) ? 5 ? (?3) ? ? ? (2n ? 1) ? (?3) ①-②得: 4Tn ? 1? (?3) ? 2 ? (?3) ? 2 ? (?3) ? ? ? 2 ? (?3)
0 1 2 n ?1



? (2n ? 1) ? (?3) n

? 2 ? (?3)0 ? 2 ? (?3)1 ? 2 ? (?3) 2 ? ? ? 2 ? (?3) n ?1 ? (2n ? 1) ? (?3) n ? 1

? 2?

1 ? (?3)n (4n ? 1) ? (?3) n ? 1 ………11 分 ? (2n ? 1) ? (?3) n ? 1 ? ? 1 ? (?3) 2

?Tn ? ?

(4n ? 1) ? (?3)n ? 1 8

………12 分

19(本小题满分 12 分) 解: (1)由 (2b ? 3c) cos A ? 3a cos C 代入正弦定理得:

2sin B cos A ? 3 sin C cos A ? 3 sin A cos C ,
即: 2sin B cos A ? 3 sin ? A ? C ? ? 3 sin B ,又 sin B ? 0 ,

? cos A ?

3 .又? 0? ? A ? 180?,? A ? 30? . 2

………6 分

(2)方案 1:选①②. 由正弦定理

a b a 得: b ? ? ? sin B ? 2 2 . sin A sin B sin A
2? 6 , 4
………12 分

又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

1 ? S ? ab sin C ? 3 ? 1 . 2
方案 2:选①③. 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得: 22 ? b2 ?
2 2 2

? 3b? ? 2b ?
2

3b cos30?

∴ b ? 2 ,从而 c ? 2 3

7

1 1 1 ? S ? bc sin A ? ? 2 ? 2 3 ? ? 3 . 2 2 2
(选②③,这样的三角形不存在) 20(本小题满分 13 分) 解: (1)设铁栅长 x 米,侧墙宽 y 米,

………12 分

则由题意得: x ? 40 ? 2 y ? 45 ? xy ? 20 ? 3200 ,………………… 3 分 即 4x ? 9 y ? 2xy ? 320 ① (以上两处的“ ? ”号写成“ ? ”号不扣分) ②,

由于 4x ? 9 y ? 2 4x ? 9 y ? 12 xy

由①②可得 xy ? 6 xy ? 160 ? 0 ,? xy ? 10 ? xy ? 100 , 所以 S 的最大允许值为 100 平分米.………………… 8 分 (2)由(1)得当面积 S 达到最大而实际投入又不超过预算时, 有: 4x ? 9 y 且 xy ? 100 ,从而 x ? 15 . 即正面铁栅应设计为 15 米长.………………… 12 分 21(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) 因为 a1 +2a2 ? 2 a3 ? ? ? 2
2 n ?1

an ? (n ? 2n ? 2n ? 1)t ,
2

所以 a1 ? (2 ? 2 ? 1)t , a1 +2a2 ? (2 ? 2 ? 2 ? 1)t ,
1 1
2

解得 a1 ? t , a2 ? 2t .
2

………………………… 3 分
n ?1

(Ⅱ)当 n ? 2 时,由 a1 +2a2 ? 2 a3 ? ? ? 2 得 a1 +2a2 ? 2 a3 ? ? ? 2
2 n?2

an ? (n ? 2n ? 2n ? 1)t ,

① ②

an ?1 ? [(n ? 1) ? 2n?1 ? 2n?1 ? 1]t ,

将①,②两式相减,得 2

n ?1

an ? (n ? 2n ? 2n ? 1)t ? [(n ? 1) ? 2n?1 ? 2n?1 ? 1]t ,
………………… 5 分 …………………… 6 分

化简,得 an ? nt ,其中 n ? 2 .
* 因为 a1 ? t ,所以 an ? nt ,其中 n ? N .

因为

2an ? 2an ?an?1 ? 2t (n ? 2) 为常数, 2an?1
a

所以数列 {2 n } 为等比数列. (Ⅲ)
n

…………………… 8 分 ……………………… 9 分

由(Ⅱ)得 a2n ? 2 t ,

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ? 1 (1 ? 1 ) , 所以 ? ? ??? ? ? ??? n ? ? 1 a2 a4 a8 a2n 2t 4t 2 t t t 2n 1? 2
8

m 1 1 ? (1 ? n ) ? 0 ,………10 分 t t 2 m 1 1 1 (1) 当 t ? 0 时,不等式 ? (1 ? n ) ? 0 ? m ? n ? 1 , t t 2 2 1 * 由题意知,不等式 m ? n ? 1 的解集为 {n | n ? 3, n ? N } , 2 1 因为函数 y ? ( ) x ? 1 在 R 上单调递减, 2 1 1 所以只要求 m ? 3 ? 1 且 m ? 2 ? 1 即可, 2 2 7 3 解得 ? ? m ? ? ; …………………… 12 分 8 4 m 1 1 1 (2)当 t ? 0 时,不等式 ? (1 ? n ) ? 0 ? m ? n ? 1 , t t 2 2 1 * 由题意,要求不等式 m ? n ? 1 的解集为 {n | n ? 3, n ? N } , 2 1 1 因为 3 ? 1 ? 2 ? 1 , 2 2 所以如果 n ? 3 时不等式成立,那么 n ? 2 时不等式也成立,
又因为 a1 ? t ,所以原不等式可化简为 这与题意不符,舍去. 综上所述: t ? 0 , ?

7 3 ?m?? . 8 4

………………………… 14 分

9


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