2016-2017学年秋学期高二期末统测数学(理)试卷(附答案)

2016-2017 学年秋学期高二期末统测数学(理)试卷(附答 案)
肇庆市中小学教学质量评估 2016—2017 学年第一学期统一检测题 高二数学(理科) 本试卷共 4 页,22 小题,满分 10 分 考试用时 120 分钟 注意事项: 1 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县 (市、区)、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔在准考证号填涂区将考号涂黑. 2 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答 案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂 其它答案,答案 不能写在试卷或草稿纸上. 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答 题卷各题目指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原的答案, 然后再在答题区内写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题分,满分 60 分 在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 (1)命题“ , ”的否定是 (A) , (B) ,

() , (D) , (2)过点 且与直线 垂直的直线是 (A) (B) () (D) (3)双曲线 的离心率是 (A) (B) () (D) (4)图 1 是一个组合体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的体积是 (A) (B) () (D) ()“ ”是“ ”的 (A)充分而不必要条 (B)必要而不充分条 ()充要条 (D)既不充分也不必要条 (6)直线 与圆 相交于 A、B 两点,且 ,则实数 的值是 (A) 或 (B) 或 () 或 (D) 或 (7)如图 2,将无盖正方体纸盒展开,直线 AB,D 在原正方体中的位置关系是 (A)平行 (B)相交成 60° ()相交且垂直 (D)异面直线 (8)已知椭圆 过点 ,则此椭圆上任意一点 到两焦点的距离的和 是 (A)4 (B)8 ()12 (D)16

(9)一个几何体的三视图如图 3 所示(单位:), 则该几何体的表面积是 (A)4 (B) () (D)24 (10)已知过点 的直线 与圆 有两个交点时,其斜率 的取值范围是 (A) (B) () (D) (11) 是空间两条不同直线, 是两个不同平面.有以下四个命题: ①若 , 且 ,则 ; ②若 , 且 ,则 ; ③若 , 且 ,则 ; ④若 , 且 ,则 其中真命题的序号是 (A)①② (B)②③ () ③④ (D)①④ (12)已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点,已知点 ,则 的值是 (A) (B) () (D) 二 、填空题:本大题共 4 小题,每小题分,满分 20 分 (13)已知直线 ,若 ,则 的值等于 ▲ (14)如图 4,在圆 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD, D 为垂足,当点 P 在圆上运动时,则线段 PD 的中点的轨迹方程为 ▲

(1)某四面体的三视图如图所示,则此四面体的四个面中面积最 大的面的面积等于 ▲
(16)有一球内接圆锥,底面圆周和顶点均在球面上,其底面积为 , 已知球的半径 ,则此圆锥的体积为 ▲
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分 解答须写出字说明、证 明过程和演算步骤
(17)(本小题满分 11 分) 已知斜率 且过点 的直线 与直线 相交于点 (Ⅰ)求以点为圆心且过点 的圆的标准方程; (Ⅱ)求过点 且与圆相切的直线方程
(18)(本小题满分 11 分) 如图 6,已知正方体 , 分别是 、 、 、 的中点 (Ⅰ)求证: 四点共面; (Ⅱ)求证:
(19)(本小题满分 12 分) 已知 分别是双曲线 的左右焦点,点 P 是双曲线上任一点,且 ,

顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为 L (Ⅰ)求双曲线的渐近线方程和抛物线 L 的标准方程; (Ⅱ)过抛物线 L 的准线与 x 轴的交点作直线,交抛物线于、N 两
点,问直线的斜率等于多少时,以线段 N 为直径的圆经过抛物线 L 的焦点?
(20)(本小题满分 12 分) 如图 7,在四棱锥 中,平面 平面 ,是等腰直角三角形,是直角,, (Ⅰ)求直线 PB 与平面 PD 所成角的正弦值; (Ⅱ)求平面 PD 与平面 PAB 所成二面角的平面角的余弦值
(21)(本小题满分 12 分) 如图 8,直角梯形 中, , 且 的面积等于 面积的 .梯形 所在平 面外有一点 ,满足 平面 , . (Ⅰ)求证:平面 平面 ; (Ⅱ)侧棱 上是否存在点 ,使得 平面 ? 若存在,指出点 的位置并证明;若不存在,请说明理由;
(22)(本小题 满分 12 分) 已知椭圆 G 的中心在平面直角坐标系的原点,离心率 ,右焦点与 圆: 的圆心重合

(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)设 、 是椭圆 G 的左焦点和右焦点,过 的直线 与椭圆 G 相交于 A、B 两点,请问 的内切圆的面积是否存在最大值?若存在, 求出这个最大值及直线 的方程,若不存在,请说明理由 2016—2017 学年第一学期统一检测题 高二数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 12346789101112 答案 DADAABBBD (12)解析:将 代入 中得 , , 所以
二、填空题 (13) (14) (1) ( 16) 或 (答 1 个得 3 分,答 2 个得分) (1)解析:由三视图知该几何体为棱锥 S﹣ABD,其中 S⊥平面 ABD;四面体 S﹣ABD 的四个面中 SBD 面的面积最大,三角形 SBD 是边长为 的等边三角形,所以此四面体的四个面中面积最大的为 .

(16)解析:由 得圆锥底面半径为 ,如图设 , 则 ,圆锥的高 或 所以,圆锥的体积为 或
三、解答题 (17)(本小题满分 11 分) 解:(Ⅰ)依题意得,直线 的方程为 ,即 (2 分) 由 ,解得 即点的坐标为 (4 分) 设圆的半径为 ,则 (分) 所以,圆的标准方程为 (6 分) (Ⅱ)①因为圆过点 B(4,-2),所以直线 x=4 为过点 N(4,2) 且与圆相切的直线 (8 分) ②设过点 且与圆相切的直线方程的斜率为 , 则直线方程为 (9 分) 由 ,得 ,即 是圆的一条切线方程 (10 分) 综上,过点 且与圆: 相切的直线方程为 和 (11 分)

(18)(本小题满分 11 分) 证明:(Ⅰ)如图,连结 A (1 分) ∵ 分别是 、 的中点,∴ (2 分) ∵ 分别是 、 的中点,∴ (3 分) ∴ (4 分) ∴ 四点共面。 (分) (Ⅱ)连结 BD ∵ 是正方体,∴ (7 分) ∵ , 平面 ,∴ 平面 (9 分) 又∵ ,∴ 平面 , (10 分) 又∵ 平面 ,∴ (11 分)
(19)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由双曲线的定义可知, ,即 (1 分) ∴双曲线的标准方程为 (2 分) ∴双曲线的渐近线方程 (3 分) 双曲线的右顶点坐标为 ,即抛物线 L 的焦点坐标为 , ∴抛物线 L 的标准方程为 , (分) (Ⅱ)抛物线 的准线与对称轴的交点为 (6 分) 设直线 N 的斜率为,则其方程为 (7 分) 由 ,得

∵直线 N 与抛物线交于、N 两点, ∴ ,解得 (8 分) 设 ,抛物线焦点为 F(1,0), ∵以线段 N 为直径的圆经过抛物线焦点,∴F⊥NF (9 分) ∴ ,即 (10 分) 又 , , 且 同号, ∴ 解得 ,∴ (11 分) 即直线的斜率等于 时,以线段 N 为直径的圆经过抛物线的焦点 (12 分)
(20)(本小题满分 12 分) 解:取 AD 的中点,连结 P,, ∵ 是等腰直角三角形, 是直角,∴ ∵平面 平面 ,∴ 平面 ∴ , ,又∵ ,∴ 即 两两垂直 (2 分) 以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 由条知, , 故 各点的坐标分别为: , , ,所以, , , (4 分) (Ⅰ)设平面 PD 的法向量为 ,则 ,即

令 ,则 ,故 是平面 PD 的一个法向量 (6 分) 设直线 PB 与平面 PD 所成角为 ,则 ,即直线 PB 与平面 PD 所成 角的正弦值为 (8 分) (Ⅱ)设平面 PAB 的法向量为 ,则 ,即 令 ,则 ,故 是平面 PAB 的一个法向量 (10 分) 设平面 PD 与平面 PAB 所成角的二面角的平面角为 ,则 ,所以平 面 PD 与平面 PAB 所成二面角的平面角的余弦值 0 (12 分)
(21)(本小题满分 12 分) 证明:(Ⅰ)∵ 平面 ,∴ . (1 分) 又 的面积等于 面积的 , ∴ . (2 分) 在底面 中,∵ , , ∴ ,∴ . (4 分) 又∵ ,∴ 平面 . (分) 又 平面 , ∴平面 ⊥平面 (6 分) (Ⅱ)取 的中点 ,使得 平面 (7 分) 证明如下: 取 的中点是 ,连结 , , , 则 ,且 . (8 分) 由已知 ,∴ . (9 分) 又 ,∴ ,且

∴四边形 为平行四边形, (10 分) ∴ . (11 分) ∵ 平面 , 平面 ,∴ 平面 . (12 分)
(22)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)圆: 的圆心为 (1 分) 设椭圆 G 的方程 , 则 ,得 (2 分) ∴ , (3 分) ∴椭圆 G 的方程 (4 分) (Ⅱ)如图,设 内切圆的半径为 ,与直线 的切点为,则三角形 的 面积等于 的面积+ 的面积+ 的面积 即 当 最大时, 也最大, 内切 圆的面积也最大 (分) 设 、 ( ), 则 (6 分) 由 ,得 , 解得 , (7 分) ∴ (8 分) 令 ,则 ,且 , 有 (9 分) 令 ,因为 在 上单调递增,有 (10 分) ∴ 即当 , 时, 有最大值 ,得 ,这时所求内切圆的面积为 (11

分) ∴存在直线 , 的内切圆的面积最大值为 (12 分)


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