1.2.2-2分段函数

1. 2.2

函数的表示方法 分段函数

第二课时

【教学目标】 1.根据要求求函数的解析式 2.了解分段函数及其简单应用 3.理解分段函数是一个函数,而不是几个函数 【教学重难点】 函数解析式的求法 【教学过程】 1、 分段函数 由实际生活中,上海至港、澳、台地区信函部分资费表 重量级别 20 克及 20 克以内 20 克以上至 100 克 100 克以 上至 250 克 250 克以 上至 500 克 资费(元) 1.50 4.00 8.50 16.70

引出问题:若设信函的重量 x (克)应支付的资费为 y 元,能否建立函数 y ? f ( x) 的 解析式?导出分段函数的概念。 通过分析课本第 46 页的例 4、例 5 进一步巩固分段函数概念,明确建立分段函数解析 式的一般步骤,学会分段函数图象的作法 可选例:1、动点 P 从单位正方形 ABCD 顶点 A 开始运动,沿正方形 ABCD 的运动路程为 自变量 x ,写出 P 点与 A 点距离 y 与 x 的函数关系式。 2、在矩形 ABCD 中,AB=4m,BC=6m,动点 P 以每秒 1m 的速度,从 A 点出发,沿 着矩形的边按 A→D→C→B 的顺序运动到 B,设点 P 从点 A 处出发经过 t 秒后,所构成的 △ABP 面积为 S m2,求函数 S ? f (t ) 的解析式。 3、以小组为单位构造一个分段函数,并画出该函数的图象。 2、典题 例 1 国内投寄信函(外埠) ,每封信函不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 而不超过 40g

付邮资 160 分,依次类推,每封 x g(0<x ? 100)的信函应付邮资为(单位:分) ,试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式,并画出这个函数的图像
王新敞
奎屯 新疆

解:这个函数的定义域集合是 0 ? x ? 100 ,函数的解析式为

1

?80, x ? (0,20], ?160, x ? (20,40], ? ? y ? ?240, x ? (40,60], ?320, x ? (60,80], ? ? ?400, x ? (80,100].

y
400 320 240

这个函数的图象是 5 条线段(不包括左端点) ,都 160 平行于 x 轴,如图所示. 80 这一种函数我们把它称为分段函数 80 20 40 60 变式练习 1 作函数 y=|x-2|(x+1)的图像 分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有 些困难,除去对其函数性质分析外,我们还应想到对已知解析式进行等价变形. 解:(1)当 x≥2 时,即 x-2≥0 时,
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100

x

1 9 y ? ( x ? 2)( x ? 1) ? x 2 ? x ? 2 ? ( x ? ) 2 ? 2 4
当 x<2 时,即 x-2<0 时,

1 9 y ? ?( x ? 2)( x ? 1) ? ? x 2 ? x ? 2 ? ?( x ? ) 2 ? . 2 4
2 ?? 1? 9 x ? ? ? ?? ?? 2 4 ? ∴y?? 2 1? 9 ?? ? x? ? ? ? ? 2? 4 ? ?

x?2
8 6

x?2
-10 -5

4

2

5

10

-2

这是分段函数,每段函数图象可根据二次函数图象作出

-4

?x ? ?x 例 2 画出函数 y=|x|= ?

x ? 0, x ? 0. 的图象.

-6

解:这个函数的图象是两条射线,分 别是第一象限和第二象限的角平分线,如图所示. 说明:①再次说明函数图象的多样性; ②从例 4 和例 5 看 到,有些函数在它的定义域中, y 对于自变量 x 的不同取值范围,对应法则不同,这样的 x x?0 函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数, 而不 y= 1 x<0 x 是几个函数. ③注意:并不是每一个函数都能作出它的图象,如

{

狄利克雷(Dirichlet)函数 D(x)= 就作不出它的图象. 变式练习 2 作出分段函数

?1,x是有理数, ? ?0,x是无理数 .

x

,我们

y ? x ?1 ? x ? 2

的图像

解:根据“零点分段法”去掉绝对值符号,即:

2

?? ( 2 x ? 1) ? 3 ? ? y ? x ?1 ? x ? 2 ? 2 x ? 1
= 作出图像如下

x ? ?2 ? 2 ? x ?1 x ?1

y

变式练习 3. 作出函数 y ?| x 2 ? 2x ? 3 | 的函数图像
6 5

x

解: y ? ?

?x ? 2x ? 3 2 ?? ( x ? 2 x ? 3)
2
2

x ? 2x ? 3 ? 0 x 2 ? 2x ? 3 ? 0
2
-6 -4 -2

4

3

2

1

2

4

6

8

-1

步骤: (1)作出函数 y= x ?2x?3 的图象 (2)将上述图象 x 轴下方部分以 x 轴为对称轴向 上翻折(上方部分不变) ,即得 y=| x ?2x?3|的图象
2
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-2

-3

-4

3、小结:本节课学习了分段函数及其简单应用,进一步学习了函数解析式的求法. 课后作业: (略) 【板书设计】 一、 分段函数 二、 典型例题 例 1: 例 2: 小结: 【作业布置】完成本节课学案预习下一节。

1.2.2 函数的表示方法 第二课时 分段函数

一 、预习目标 通过预习理解分段函数并能解决一些简单问题 二、预习内容
在同一直角坐标系中:做出函数 y ? 2 x ? 1( x ? (1,??)) 的图象和函数

y ? ? x 2 ? 4( x ? ?? ?,1?) 的图象。
思考:问题 1、所作出 R 上的图形是否可以作为某个函数的图象? 问题 2、是什么样的函数的图象?和以前见到的图像有何异同? 问题 3、如何表示这样的函数? 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

3

课内探究学案 一 、学习目标 1.根据要求求函数的解析式 2.了解分段函数及其简单应用 3.理解分段函数是一个函数,而不 是几个函数 学习重难点:函数解析式的求法 二 、 学习过程 1 、分段函数 由实际生活中,上海至港、澳、台地区信函部分资费表 重量级别 20 克及 20 克以内 20 克以上至 100 克 100 克以上至 250 克 250 克以上至 5 00 克 资费(元 ) 1.50 4.00 8.50 16.70

引出问题:若设信函的重量 x (克)应支付的资费为 y 元,能否建立函数 y ? f ( x) 的 解析式?导出分段函数的概念。 通过分析课本第 46 页的例 4、例 5 进一 步 巩固分段函数概念,明确建立分段函数解析 式的一般步骤,学会分段函数图象的作法 可选例:1、动点 P 从单位正方形 ABCD 顶点 A 开始运动,沿正方形 ABCD 的运动路程为 自变量 x ,写出 P 点与 A 点距离 y 与 x 的函数关系式。 2、在矩形 ABCD 中,AB=4m,BC=6m,动点 P 以每秒 1m 的速度,从 A 点出 发,沿着矩形的边按 A→D→C→B 的顺序运动到 B,设点 P 从点 A 处出发经过 t 秒后,所 构成的△ABP 面积为 S m2,求函数 S ? f (t ) 的解析式。 3、以小组为单位构造一个分段函数,并画出该函数的图象。 2、典题 例 1 国内投寄信函(外埠) ,每封信函不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 而不超过 40g

付邮资 160 分,依次类推,每封 x g(0<x ? 100)的信函应付邮资为(单位:分) ,试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式,并画出这个函数的图像 变式练习 1 作函数 y=|x-2|(x+1)的图像
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?x ? ?x 例 2 画出函数 y=|x|= ?
变式练习 2 作出分段函数

x ? 0, x ? 0. 的图象.

y ? x ?1 ? x ? 2
2

的图像

变式练习 3. 作出函数 y ?| x ? 2x ? 3 | 的 函数图像 三 、 当堂检测 教材第 47 页 练习 A、B

4

课后练习与提高 1.定义运算 ? : a ? b = ? F(x)的值域为( A.[-1,1] ) B. [?

?a, a ≤b, 设 F(x)=f(x) ? g(x),若 f(x)=sinx,g(x)=cosx,x∈R,则 ?b, a > b.

2 ,1] 2

C. [?1,

2 ] 2

D. [?1,?

2 ] 2
) D.2

2.已知 f ( x) ? ? A.-2

?cos?x, x ? 0, 4 4 则 f ( ) ? f (? ) 的值为( 3 3 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0,
B.-1 C.1

2 ? ?sin(?x ),?1 ? x ? 0, 3. 设 函 数 f ( x) ? ? x ?1 若 f(1)+f(a) = 2, 则 a 的 所 有 可 能 的 值 是 ? ?e , x ? 0,

__________. 4.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合.将 A、B 两点间的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,则 d= ________,其中 t∈[0,60]. 5.对定义域分别是 Df、Dg 的函数 y=f(x)、y=g(x),规定:函数 h(x)=

? f ( x ) ? g ( x), x ? D f 且x ? Dg , ? x ? D f 且x ? Dg , . ? f ( x ), ? g ( x), ? x ? D 且x ? D .
f g

(1)若函数 f ( x ) ?

1 ,g(x)=x2,写出函数 h(x)的解析式; x ?1

(2)求(1)中函数 h(x)的值域; (3)若 g(x)=f(x+α),其中 α 是常数,且 α∈[0,π],请设计一个定义域为 R 的函数 y=f(x) 及一个 α 的值,使得 h(x)=cos4x,并予以证明. 解答 1 解析:由已知得 F ( x) ? sin x ? cos x ? ? 即 F(x)=

?sin x, sin x ? cos x, ?cos x, sin x ? cos x,

3? ? ? sin x, x ? [? ? 2k? , ? 2k? ], ? ? 4 4 k ?Z ? ?cos x, x ? [ ? ? 2k? , 5? ? 2k? ], ? 4 4 ?
F(x)=sinx, 当 x ? [?

3? ? 2 ? 2k? , ? 2k? ] ,k ? Z 时,F(x)∈[-1, ]; 4 4 2

5

F(x)=cosx,当 x ? ( 答案:C

?
4

? 2k? ,

5? 2 ? 2k? ) ,k∈Z 时,F(x)∈(-1, ),故选 C. 4 2

3 解析:由已知可得,①当 a≥0 时,有 e0+ea-1=1+ea-1=2,∴ea-1=1.∴a-1=0.∴a=1.②当-1<a <0 时,有 1+sin(a2π)=2,∴sin(a2π)=1. ∴ a ? 2k ?
2

1 (k ? Z ) . 2
1 2 ,∴ a ? ? . 2 2

又-1<a<0,∴0<a2<1, ∴当 k=0 时,有 a ?
2

综上可知,a=1 或 ?

2 . 2

答案:1 或 ? 4

2 2

2? ?t t? 弧度 , 因此当 60 30 ?t ?t 2 2 2 t∈(0,30)时, ?AOB ? ,由余弦定理,得 d ? 5 ? 5 ? 2 ? 5 ? 5 cos 30 30 ?t ?t ? 50(1 ? cos ) ? 100 sin 2 , 30 60 ?t ?t d ? 10 sin ; 当 t∈(30,60) 时 , 在 △ AOB 中 , ?AOB ? 2? ? ,由余弦定理,得 60 30 ?t ?t ?t ?t d 2 ? 5 2 ? 5 2 ? 2 ? 5 ? 5 cos( 2? ? ) ? 50(1 ? cos ) ? 100 sin 2 , d ? 10 sin ,且当 30 30 60 60
解析 : 由题意 ,得当时间经过 t(s)时 , 秒针转过的角度的绝对值是

6

t=0 或 30 或 60 时,相应的 d(cm)与 t(s)间的关系仍满足 d ? 10 sin 综上所述, d ? 10 sin 答案: 10 sin

?t
60

.

?t
60

,其中 t∈[0,60].

?t
60

? x2 , x ? (??,1) ? (1,??), ? 5 解:(1) h( x) ? ? x ? 1 ?1, x ? 1. ?
(2)当 x≠1 时, h( x) ?

x2 1 ? x ?1? ? 2, x ?1 x ?1

若 x>1,则 h(x)≥4,当 x=2 时等号成立; 若 x<1,则 h(x)≤0,当 x=0 时等号成立. ∴函数 h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞). (3)解法一:令 f(x)=sin2x+cos2x, ? ? 则 g ( x) ? f ( x ? ? ) ? sin 2( x ?

?
4

,

?
4

) ? cos 2( x ?

?
4

) =cos2x-sin2x,

于是 h(x)=f(x)·f(x+α) =(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos4x. 解法二:令 f ( x) ? 1 ? 2 sin 2x , ? ? 则 g ( x) ? f ( x ? ? ) ? 1 ?

?
2

,

2 sin 2( x ?

?
2

) ? 1 ? 2 sin 2 x ,

于是 h(x)=f(x)·f(x+α)=( 1 ? 2 sin 2 x )( 1 ? 2 sin 2 x ) =1-2sin22x=cos4x.

7


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