经济数学微积分函数的微分_图文

第七节 函数的微分
一、微分的定义

二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
五、小结 思考题

一、微分的定义(differential)
1.实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.

设边长由x0变到x0 ? ?x,

x0

?x

( ?x ) 2
?x

? 正方形面积 A ? x0 ,
? ?A ? ( x 0 ? ?x ) ? x
2 2 0 2

2

x 0 ?x
2 A ? x0

? 2 x 0 ? ?x ? ( ?x ) .
(1) ( 2)

x 0 ?x

x0

(1) : ?x的线性函数, 且为?A的主要部分; ( 2) : ?x的高阶无穷小, 当 ?x 很小时可忽略.

再例如, 设函数 y ? x 3在点 x0处的改变量

为?x时, 求函数的改变量 ?y .
?y ? ( x 0 ? ?x ) ? x
3 3 0 2 3

? 3 x ? ?x ? 3 x 0 ? ( ?x ) ? ( ?x ) .
(1)
2 0

( 2)

当 ?x 很小时, ( 2)是?x的高阶无穷小o( ?x ),
2 ? ?y ? 3 x 0 ? ?x .

既容易计算又是较好的近似值

问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?

2. 定义

设函数 y ? f ( x )在某区间内有定义 , x0及 x0 ? ?x在这区间内, 如果

?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? A ? ?x ? o( ?x ) 成立(其中A是与?x无关的常数 ), 则称函数 y ? f ( x )在点 x0可微 , 并且称A ? ?x为函数 y ? f ( x )在点 x0 相应于自变量增量 ?x的微分, 记作 dy
x ? x0 或 df

( x0 ), 即dy

x ? x0

? A ? ?x .

微分 dy叫做函数增量 ?y的线性主部. (微分的实质)

由定义知:
(1) dy是自变量的改变量 ?x的线性函数;
( 2) ?y ? dy ? o( ?x )是比?x高阶无穷小;

( 3) 当A ? 0时, dy与?y是等价无穷小 ;

?y o( ?x ) ? ? 1 ( ?x ? 0). ? 1? dy A ? ?x
(4) A是与?x无关的常数, 但与f ( x )和x0 有关; (5) 当?x 很小时, ?y ? dy (线性主部).

3. 可微(differentiable)的条件 定理

函数 f ( x )在点 x0可微的充要条件是函

数 f ( x )在点 x0处可导, 且 A ? f ?( x0 ).
证 (1) 必要性 ? f ( x )在点x0可微,
? ?y ? A ? ?x ? o( ?x ),

?y o( ? x ) ? ? A? , ?x ?x

?y o( ?x ) 则 lim ? A ? lim ? A. ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ? x

即函数 f ( x )在点 x0可导, 且A ? f ?( x0 ).

(2) 充分性 ?函数f ( x )在点x0 可导,

?y ? lim ? f ?( x 0 ), ?x ? 0 ? x

?y 即 ? f ?( x 0 ) ? ? , ?x
? ? ? 0 ( ?x ? 0),

从而 ?y ? f ?( x0 ) ? ?x ? ? ? ( ?x ), ? f ?( x0 ) ? ?x ? o( ?x ),

?函数 f ( x )在点 x0可微, 且 f ?( x0 ) ? A.

? 可导 ? 可微.

A ? f ?( x 0 ).

函数 y ? f ( x )在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy ? f ?( x )?x .

例1 求函数 y ? x 3 当 x ? 2, ?x ? 0.02时的微分. 解 ? dy ? ( x 3 )??x ? 3 x 2 ?x .
? dy x ? 2
?x ? 0.02

? 3 x 2 ?x x ? 2

? 0.24.

?x ? 0.02

通常把自变量x的增量?x称为自变量的微分, 记作 dx , 即dx ? ?x .
? dy ? f ?( x )dx .

dy ? f ?( x ). dx

即函数的微分dy与自变量的微分 dx之商等于 该函数的导数. 导数也叫 " 微商".

二、微分的几何意义
几何意义:(如图)
( geometrical meaning of the differential ) y
T N P
o( ? x )

当?y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标
y ? f ( x)


M

dy ?y

?x

o 对应的增量. 当 ?x 很小时, 在点M的附近,

?

x0

x0 ? ?x

x

切线段 MP可近似代替曲线段 MN .

三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则
dy ? f ?( x )dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
d( C ) ? 0 d(sin x ) ? cos xdx d( x ? ) ? ?x ? ?1dx d(cos x ) ? ? sin xdx

d(tan x ) ? sec2 xdx d(cot x ) ? ? csc2 xdx d(sec x ) ? sec x tan xdx d(csc x ) ? ? csc x cot xdx

d(a x ) ? a x ln adx 1 d(log a x ) ? dx x ln a 1 d(arcsin x ) ? dx 2 1? x 1 d(arctan x ) ? dx 2 1? x

d( e x ) ? e x dx 1 d(ln x ) ? dx x 1 d(arccos x ) ? ? dx 2 1? x 1 d( arc cot x ) ? ? dx 2 1? x

2. 函数和、差、积、商的微分法则 d( u ? v ) ? du ? dv d(Cu) ? Cdu u vdu ? udv d( uv ) ? vdu ? udv d( ) ? v v2

3. 复合函数的微分法则
设函数y ? f ( u)及u ? g( x )都可导 , 则复合函数 y ? f [ g( x )] 的微分为 : ? ? dy ? y? x dx ? f ( u) g ( x )dx

又因为g?( x )dx ? du,
所以复合函数 y ? f [ g( x )] 的微分公式也可写成

? du ; dy ? f ?( u)du 或 dy ? yu
( 对于函数y ? f ( u),当u是自变量时, dy ? f ?( u)du ) 结论: 无论 u是自变量还是中间变量 , 函数
y ? f ( u)的微分形式总是
微分形式的不变性

dy ? f ?( u)du

例2 设 y ? ln( x ? e ), 求dy .

x2


例3 解

? y? ?

1 ? 2 xe x?e

x2

x2

,

? dy ?

1 ? 2 xe x?e

x2

x2

dx .

设 y ? e1? 3 x cos x , 求dy. dy ? cos x ? d(e1? 3 x ) ? e1? 3 x ? d(cos x )

? (e

1? 3 x

1? 3 x ? ) ? ?3e , (cos x )? ? ? sin x.

? dy ? cos x ? ( ?3e1? 3 x )dx ? e1? 3 x ? ( ? sin x )dx ? ? e1? 3 x ( 3 cos x ? sin x )dx .

例4 设 y ? sin(2 x ? 1), 求dy. 解 ? y ? sin u, u ? 2 x ? 1.
? dy ? cos udu ? cos( 2 x ? 1)d( 2 x ? 1)

? cos( 2 x ? 1) ? 2dx ? 2 cos( 2 x ? 1)dx .

例5

设 y ? e ?ax sin bx, 求dy . dy ? e ?ax ? cos bxd(bx) ? sin bx ? e ?axd( ? ax) ? e ?ax ? cos bx ? bdx ? sinbx ? e ?ax ? ( ?a )dx ? e ?ax (b cos bx ? a sin bx)dx .



例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.

(1) d( ) ? cos ?tdt;
? cos ?tdt ? 1 1

( 2) d(sin x 2 ) ? ( )d( x ).
1

解 (1) ? d(sin ?t ) ? ? cos ?tdt ,
?
d(sin?t ) ? d( sin?t );

?

? d( sin?t ? C ) ? cos ?tdt .

?

d(sin x 2 ) 2 x cos x 2dx ( 2) ? ? ? 4 x x cos x 2 , 1 d( x ) dx 2 x ? d(sin x 2 ) ? (4 x x cos x 2 )d( x ).

四、微分在近似计算中的应用
若y ? f ( x )在 点x0处 的 导 数 f ?( x0 ) ? 0, 且 ?x 很 小 时 ,

?y x ? x0 ? dy x ? x0 ? f ?( x0 ) ? ?x .
1. 求f ( x )在点x ? x0附近的近似值 ;

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ? ?x. 2.求f ( x )在点x ? 0附近的近似值 ;
? f ( x ) ? f (0) ? f ?(0) ? x .

?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ??x.
( ?x 很小时 )

令 x0 ? 0, ?x ? x . ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ? ?x,

例7 计算cos 60o 30?的近似值. 解

设f ( x ) ? cos x, ? f ?( x ) ? ? sin x , ( x为弧度) ? ? ? x 0 ? , ?x ? , 3 360

? 1 ? f( )? , 3 2

? 3 f ?( ) ? ? . 3 2 ? ? ? ? ? o ? cos 60 30? ? cos( ? ) ? cos ? sin ? 3 360 3 3 360

1 3 ? ? 0.4924. ? ? ? 2 2 360

例8

半径10厘米的金属圆片加热后 , 半径伸长了

0.05厘米,问面积增大了多少? 2 设 A ? ? r , r ? 10厘米, ?r ? 0.05厘米. 解
2 ? ? ( 厘米 ). ? ?A ? dA ? 2πr ? ?r ? 2? ? 10 ? 0.05

常用近似公式 ( x 很小时)

1 (1) 1 ? x ? 1 ? x; ( 2) sin x ? x ( x为弧度); n ( 3) tan x ? x ( x为弧度); (4) e x ? 1 ? x; (5) ln(1 ? x ) ? x . 1 ?1 1 n 证明 (1) 设 f ( x ) ? n 1 ? x , f ?( x ) ? (1 ? x ) , n 1 f (0) ? 1, f ?(0) ? . n x ? ? f ( x ) ? f ( 0) ? f ( 0) x ? 1 ? . n
n

例9 计算下列各数的近似值.

(1) 3 998.5;
解 (1)
3

( 2) e ?0.03 .

998.5 ? 3 1000 ? 1.5
1.5 ? 1000(1 ? ) ? 103 1 ? 0.0015 1000 1 ? 10(1 ? ? 0.0015) ? 9.995. 3
3

( 2) e ?0.03 ? 1 ? 0.03 ? 0.97.

五、小结

思考题
导数的概念

★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题

函数的增量问题

微分的概念

求导数与微分的方法,叫做微分法.

研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学.
★ 导数与微分的联系: 可导 ? 可微.

★ 导数与微分的区别:
1. 函数 f ( x ) 在点x0 处的导数是一个定数 f ?( x0 ), 而微分 dy ? f ?( x0 )( x ? x0 ) 是x ? x0的线性函数, 它 的定义域是R, 实际上, 它是无穷小.

? lim dy ? lim f ?( x0 )( x ? x0 ) ? 0. x? x x? x
0 0

2. 从几何意义上来看 , f ?( x0 ) 是曲线 y ? f ( x ) 在 点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率, 而微分 dy ? f ?( x0 ) ( x ? x0 )是曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切 线方程在点 x0 的纵坐标增量.



近似计算的基本公式

当 ?x 很小时,

?y x ? x0 ? dy x ? x0 ? f ?( x 0 ) ? ?x .

f ( x ) ? f ( x 0 ) ? f ?( x 0 ) ? ( x ? x 0 ),
当x ? 0时, f ( x ) ? f (0) ? f ?(0) ? x .

思考题
因为一元函数 y ? f ( x ) 在x 0 的可微性与 可导性是等价的,所以有人说“微分就是导 数,导数就是微分”,这说法对吗?

思考题解答
说法不对.
从概念上讲,微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的,导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限,它们是完全不同的概念.

思考题
某家有一机械挂钟, 钟摆的周期为1秒. 在冬 季, 摆长缩短了0.01厘米, 这只钟每天大约快多 少? l 单摆的周期公式为: T ? 2π ( l为摆长, g 单位 : cm , g取980 cm s 2 )
l dT π 解:由T ? 2π , 可得 ? g dl gl π 当 ?l ?? l时 , ?T ? dT ? ?l gl

据题设, 摆的周期是1秒, 由此可知摆的原长为
g (cm ). 现摆长的改变量 ?l ? ?0.01cm , 于是周期 2 ( 2π) 的改变量为

2π2 ? T ? dT ? ? ( ? 0.01 ) ? ? ( ? 0.01 ) ? ? 0.0002 ( s ) g g g? ( 2 π )2 π

也就是说, 由于摆长缩短了0.01cm, 钟摆的周 期便相应缩短了大约0.0002秒, 即每秒约快0.0002 秒, 从而每天约快0.0002 ? 24 ? 60 ? 60 ? 17.289( s) .

练 习 题 一
一、 填空题: 1. 已知函数 f ( x ) ? x 2 在点 x 处的自变量的增量为 0.2, 对应的函数增量的线性全部是 dy =0.8,那么自变量 x 的始值为__________. 2. 微分的几何意义是__________. 3. 若 y ? f ( x )是可微函数,则当 ?x ? 0 时, ?y ? dy 是关于 ?x 的________无穷小. 4. d __________ __ ? sin ?xdx . 5. d __________ __ ? e 2 xdx . 6. d __________ __ ? sec2 3 xdx . 7. y ? x 2 e 2 x ,dy ? e 2 xd ______? x 2d ______.
2x x e 8. d(arctan ) ? _________de 2

? ________dx .

二、 求下列函数的微分: x 1. y ? ; 2 x ?1 2. y ? [ln( 1 ? x )]2 ; 3. y ? arcsin 1 ? x 2 ; 1 ? x2 4. y ? arctan ; 2 1? x 5. y ? e ??3 x cos 3 x ,求dy x ? π ; 6.求由方程 cos( xy ) ? x 2 y 2 所确定的 y 微分.
3

练习题一答案
一、1.-2; 2.曲线的切线上点的纵坐标的相应增量; 1 3.高阶; 4. cos?x ? C ;

?

5.

1 ?2 x e ? C; 2

7. x 2 , e 2 x ; 二、1. ( x 2 ? 1) 2. 2 ln(1 ? x ) dx ; x ?1
? 3 2 dx ;

1 6. tan 3 x ? C ; 3 2 2e x 2 2e 2 x 8. . , 4x 4x 2? e 2?e

? dx , ?1 ? x ? 0 2 ? 3. ; ? 1? x dy ? ? ? ? dx ,0 ? x ? 1 ? ? 1 ? x2

2x dx ; 4 1? x 5. 3dx ;
4. 6.
y . dx x

练 习 题 二
一、 填空题: 1. 利 用 公 式 f ( x ) ? f ( x 0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ) 计 算 f ( x )时,要求______很小. 2. 当 x ? 0 时 , 由 公 式 ?y ? dy 可 近 似 计 算 ln( 1 ? x ) ? _______; tan x ? ________,由此得 tan 45? ? _______ ; ln 1.002 ? ________. 二、 利用微 分计算当 x 由45? 变 到 45?10? 时 ,函数 y ? cos x 的增量的近似值(1? ? 0.017453弧度).
,

三、 已知单摆的振动周期T ? 2?

l ,其中g ? 980 厘 g

米/秒 2, l 为摆长(单位为厘米) ,设原摆长为 20 T 增大 0.05 秒,摆长约需加长多 厘米,为使周期 少?

四、 求近似值: 1. tan 136? ;2. arcsin 0.5002; 3. 3 996 . 五、设 A ? 0 ,且 B ?? A n ,证明 B n 10 n 1000 的近似值 . A ? B ? A? ,并计算 n ?1 nA 六、已知测量球的直径D 有 1%的相对误差,问用公式

? 3 V ? D 计算球的体积时,相对误差有多大? 6
R =200 七、 某厂生产 (教材 2-18 图) 所示的扇形板, 半径 55? 产品检验时,一般用测量 ? 为 毫米,要求中心角 L ? ,如果测量弦长 弦长L 的办法来间接测量中心角 ? L =0.1 毫米,问由此而引起的中心角测量 时的误差 误差 ? ? 是多少?

练习题二答案
一、1. x ? x 0 ; 2. x , x , 0.01309 , 0.002 . 2 二、 ? ? ?0.0021. 2160 三、约需加长 2.23 厘米. o 30 47? ; 3、9.9867. 四、1、-0.96509; 2、 五、1.9953. 六、3%. 七、? ? ? 0.00056(弧度)=1? 55?? .

自相关函数与偏自相关函数的函数值:

相关函数具有明显的拖尾性;
偏自相关函数值在k>2以后,

| rk* |? 2

22 ? 0.426

可认为:偏自相关函数是截尾的。再次验证了一 阶差分后的GDP满足AR(2)随机过程。

k 1 2 3 4 5 6

表 9.2.2 中国 GDP 一阶差分序列的样本自相关函数与偏自相关函数 rk rk rk k k rk* rk* 0.859 0.622 0.378 0.191 0.087 0.036 0.859 -0.441 -0.065 0.066 0.077 -0.051 7 8 9 10 11 12 -0.034 -0.112 -0.175 -0.228 -0.282 -0.32 -0.252 0.012 0.04 -0.117 -0.192 -0.02 13 14 15 16 17 18 -0.361 -0.363 -0.308 -0.216 -0.128 -0.059

rk*
-0.086 0.076 0.043 -0.022 -0.048 -0.002

设序列GDPD1的模型形式为:
GDPD 1t ? ? 1GDPD 1t ?1 ? ? 2 GDPD 1t ? 2 ? ? t

有如下Yule Walker 方程:
?1 ? ? 1 ?? ? ? ?? ? 0.859 ?? ? ? ? 2? ? 0.859 ? ? 1 ? ?
?1

? 0.859 ? ? ? 0.622 ? ? ? ?

解为:

?1 ? 1.239, ? ?2 ? ?0.442 ?

用OLS法回归的结果为:
GDPD 1t ? 1.593 GDPD 1t ?1 ? 0.653 GDPD 1t ?2 ? ? t
(7.91) r2=0.8469 R2=0.8385 (-3.60) DW=1.15

? 有时,在用回归法时,也可加入常数项。
? 本例中加入常数项的回归为:
GDPD 1t ? 909.59 ? 1.495 GDPD 1t ?1 ? 0.678 GDPD 1t ?2 ? ? t
(1.99) (7.74) (-3.58)

r2 =0.8758

R2 =0.8612

DW.=1.22

? 模型检验
下表列出三模型的残差项的自相关系数及QLB 检验值。 模型1与模型3的残差项接近于一白噪声,但 模型2存在4阶滞后相关问题,Q统计量的检验也 得出模型2拒绝所有自相关系数为零的假设。因此: 模型1与3可作为描述中国支出法GDP一阶差分 序列的随机生成过程。

表 9.2.3 模型残差项的自相关系数及 Q 检验值 模型 1 K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Resid-ACF 0.382 0.014 -0.132 -0.341 -0.170 0.253 0.144 0.057 -0.019 -0.146 -0.233 -0.049 Q 3.3846 3.3893 3.8427 7.0391 7.8910 9.9097 10.613 10.730 10.745 11.685 14.329 14.461 模型 2 Resid-ACF 0.258 -0.139 -0.246 -0.529 -0.300 0.271 0.158 0.116 0.097 -0.036 -0.136 0.064 Q 1.5377 2.0077 3.5677 11.267 13.908 16.207 17.051 17.541 17.914 17.969 18.878 19.104 模型 3 Resid-ACF 0.257 -0.040 -0.059 -0.328 -0.151 0.345 0.155 0.076 0.011 -0.123 -0.230 -0.012 Q 1.5263 1.5646 1.6554 4.6210 5.2864 9.0331 9.8458 10.059 10.064 10.728 13.319 13.328

? 用建立的AR(2)模型对中国支出法GDP进行外推 预测。
模型1可作如下展开:
GDPt ? GDPt ?1 ? ? 1 (GDPt ?1 ? GDPt ? 2 ) ? ? 2 (GDPt ? 2 ? GDPt ?3 )
GDPt ? (1 ? ? 1 )GDPt ?1 ? (? 2 ? ? 1 )GDPt ? 2 ? ? 2 GDPt ?3

于是,当已知t-1、t-2、t-3期的GDP时, 就可对第t期的GDP作出外推预测。

模型3的预测式与此相类似,只不过多出一项 常数项。
对2001年中国支出法GDP的预测结果(亿元) 预测值 实际值 误差

模型1 95469
模型3 97160

95933
95933

-0.48%
1.28%

例9.2.4 中国人均居民消费的ARMA(p,q)模型 由于中国人均居民消费(CPC)与人均国内 生产总值(GDPPC)这两时间序列是非平稳的, 因此不宜直接建立它们的因果关系回归方程。 但它们都是 I(2) 时间序列,因此可以建立 它们的ARIMA(p,d,q)模型。

下面只建立中国人均居民消费(CPC)的 随机时间序列模型。 中国人均居民消费(CPC)经过二次差 分后的新序列记为CPCD2,其自相关函数、 偏自相关函数及Q统计量的值列于下表:

表 9.2.4 k 1 2 3 4 5 6 ACF 0.125 -0.294 -0.034 -0.213 -0.258 0.131

CPCD2 序列的自相关函数、偏自相关函数与 Q 统计量值 PACF 0.125 -0.314 0.060 -0.350 -0.193 0.017 Q 0.269 1.882 1.906 2.919 4.576 5.057 k 7 8 9 10 11 12 ACF 0.196 -0.218 -0.010 0.102 -0.071 0.006 PACF 0.014 -0.335 0.024 -0.147 0.001 -0.119 Q 6.286 8.067 8.072 8.650 9.025 9.029

在5%的显著性水平下,通过Q统计量容易验证 该序列本身就接近于一白噪声,因此可考虑采用 零阶MA(0)模型: CPCD2t ? ? t 由于k=2时,|r2|=|-0.29|> 1 / 14 因此,也可考虑采用下面的MA模型:
CPCD2t ? ? t ? ?2? t ?2

当然,还可观察到自相关函数在滞后4、5、 8时有大于0.2的函数值,因此,可考虑在模型 中增加MA(4)、MA(5)、MA(8)。不同模型的回归 结果列于表9.2.5。
可以看出:在纯MA模型中,模型4具有较好的 性质,但由于MA(5)的t检验偏小,因此可选取模 型 3。

表 9.2.5 模型 1 2 3 4 5 6 7 a 24.57 32.4 (3.62) 14.07 (8.75) 11.73 (17.81) 11.79 (14.93) 14.95 (5.16) 214.25 (63.83) MA(2) -0.89 (-7.43) -0.72 (-3.07) -1.09 (-3.38) -1.07 (-3.10) -0.66 (-2.14) -2.53 (-2.25)

中国居民人均消费水平的 ARMA 模型 MA(5) MA(8) AR(1) R2 0 0.42 SSR 93137.4 53699.9 28128.8 17480.8 17402.7 22924.2 8943.7 AIC 8.94 8.54 8.03 7.7 7.84 7.97 7.06

MA(4)

-1.71 (-5.08) -1.99 (-4.61) -1.91 (-2.56) -1.27 (-1.77) -2.45 (-2.53) -1.3 (-1.58) -1.25 (-1.42)

0.7 0.82 -0.34 (-0.15) -1.99 (-1.29) -6.52 (-2.23) 1.39 (98.26) 0.81 0.75 0.99

最后,给出通过模型3的外推预测。 模型3的展开式为:
?2 CPC t ? ?CPC t ? ?CPC t ?1 ? (CPC t ? CPC t ?1 ) ? (CPC t ?1 ? CPC t ? 2 ) ? CPC t ? 2CPC t ?1 ? CPC t ? 2 ? 14 .07 ? ? t ? 0.72 ? t ? 2 ? 1.71? t ? 4

即,
CPC t ? 2CPC t ?1 ? CPC t ? 2 ? 14 .07 ? ? t ? 0.72? t ? 2 ? 1.71? t ? 4

由于?t表示预测期的随机扰动项,它未知, 可假设为0,于是t期的预测式为:
?t ?2 ?1.71 ?t ?4 CPCt ? 2CPCt ?1 ? CPCt ?2 ? 14.07 ? 0.72? ?

?t ? 2 ? ?t ? 4 为模型3中滞后2期与滞后4期的相应残 ?
差项的估计值。

表9.2.6列出了采用模型3对中国居民人均居 民消费水平的2期外推预测。

为了对照,表中也同时列出了采用§2.10的 模型的预测结果。

表 9.2.6 实际值

中国居民人均消费水平 2 期外推预测比较(单位:元) ARMA模型 预测值 相对误差(%) 7.6 14.6 3048 3407 2822 2977 因果关系模型 预测值 相对误差(%) -0.4 0.2

1997 1998

2834 2972

§9.3 协整与误差修正模型
一、长期均衡关系与协整

二、协整检验
三、误差修正模型

一、长期均衡关系与协整

1. 问题的提出
? 经典回归模型 ( classical regression model ) 是建立在稳定数据变量基础上的,对于非稳 定变量,不能使用经典回归模型,否则会出 现虚假回归等诸多问题。 ? 由于许多经济变量是非稳定的,这就给经典 的回归分析方法带来了很大限制。

? 但是,如果变量之间有着长期的稳定关系,即 它们之间是协整的(cointegration),则是可以 使用经典回归模型方法建立回归模型的。 ? 例如,中国居民人均消费水平与人均 GDP 变量 的例子中 , 因果关系回归模型要比 ARMA 模 型有更好的预测功能,其原因在于,从经济理 论上说,人均GDP决定着居民人均消费水平, 而且它们之间有着长期的稳定关系,即它们之 间是协整的。

2. 长期均衡 ? 经济理论指出,某些经济变量间确实存在着
长期均衡关系,这种均衡关系意味着经济系统 不存在破坏均衡的内在机制,如果变量在某时 期受到干扰后偏离其长期均衡点,则均衡机制 将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状 态。 假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述:

Yt ? ?0 ? ?1 X t ? ?t
式中:?t是随机扰动项。

该均衡关系意味着:给定X的一个值,Y相应 的均衡值也随之确定为??0+?1X。
? 在t-1期末,存在下述三种情形之一:

(1)Y等于它的均衡值:Yt-1= ?0+?1Xt ;

(2)Y小于它的均衡值:Yt-1< ?0+?1Xt ;
(3)Y大于它的均衡值:Yt-1> ?0+?1Xt ;

在时期 t ,假设 X 有一个变化量 ? Xt ,如果 变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长 期均衡关系,则Y的相应变化量由式给出:

?Yt ? ?1?X t ? vt 式中,vt=?t-?t-1。

? 实际情况往往并非如此
如果 t-1 期末,发生了上述第二种情况, 即Y的值小于其均衡值,则Y的变化往往会比 第一种情形下Y的变化?Yt大一些; 反之,如果Y的值大于其均衡值,则Y的 变化往往会小于第一种情形下的?Yt 。

可见,如果Yt=?0+?1Xt+?t正确地提示了X 与Y间的长期稳定的“均衡关系”,则意味着Y 对其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。 因此,一个重要的假设就是:随机扰动项?t 必须是平稳序列。 显然,如果?t有随机性趋势(上升或下降), 则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累 积下来而不能被消除。

式Yt=?0+?1Xt+?t中的随机扰动项也被称为 非均衡误差(disequilibrium error),它是变量 X与Y的一个线性组合:
?t ? Yt ? ?0 ? ?1 X t
(*)

因此,如果Yt=?0+?1Xt+?t式所示的X与Y 间的长期均衡关系正确的话,(*)式表述的非 均衡误差应是一平稳时间序列,并且具有零期 望值,即是具有0均值的I(0)序列。

从这里已看到,非稳定的时间序列,它们的 线性组合也可能成为平稳的。 假设Yt=?0+?1Xt+?t式中的X与Y是I(1) 序列,如果该式所表述的它们间的长期均衡 关系成立的话,则意味着由非均衡误差(*) 式给出的线性组合是I(0)序列。这时我们称变 量X与Y是协整的(cointegrated)。

3.协整
如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整,存在 向量: ?=(?1,?2,…,?k),使得: Zt= ?XT ~ I(d-b)

其中,b>0,X=(X1t,X2t,…,Xkt)T,则认为序列 {X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)阶协整,记为Xt~CI(d,b), ?为协整向量(cointegrated vector)。

在中国居民人均消费与人均GDP的例中, 该两序列都是2阶单整序列,而且可以证明它们 有一个线性组合构成的新序列为0阶单整序列, 于是认为该两序列是(2,2)阶协整。 由此可见:如果两个变量都是单整变量,只 有当它们的单整阶数相同时,才可能协整;如果 它们的单整阶数不相同,就不可能协整。

三个以上的变量,如果具有不同的单整阶 数,有可能经过线性组合构成低阶单整变量。 例如,如果存在:
Wt ~ I (1),Vt ~ I (2),Ut ~ I (2)

并且,

Pt ? aVt ? bUt ~ I (1) Qt ? cWt ? eP t ~ I (0)

那么认为:

Vt ,U t ~ CI (2,1) Wt , P ,1) t ~ CI (1

从协整的定义可以看出:

(d,d)阶协整是一类非常重要的协整关系,它 的经济意义在于:两个变量,虽然它们具有各自的 长期波动规律,但是如果它们是( d,d )阶协整的, 则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。

例如:前面提到的中国CPC和GDPPC,它们各自 都是2阶单整,并且将会看到,它们是(2,2)阶协整, 说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系,从 计量经济学模型的意义上讲,建立如下居民人均消 费函数模型:

CPCt ? ?0 ? ?1GDPPC t ? ?t

变量选择是合理的,随机误差项一定是 “白噪声”(即均值为0,方差不变的稳定随机 序列),模型参数有合理的经济解释。 这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的, 但却可以用经典的回归分析方法建立回归模型 的原因。

?

从这里,我们已经初步认识到:检验变量 之间的协整关系,在建立计量经济学模型中是 非常重要的。 而且,从变量之间是否具有协整关系出发 选择模型的变量,其数据基础是牢固的,其统 计性质是优良的。

二、协整检验

1.两变量的Engle-Granger检验
为了检验两变量 Yt,Xt 是否为协整, Engle 和 Granger 于 1987 年提出两步检验法,也称为 EG检验。 第一步,用OLS方法估计方程: Yt=?0+?1Xt+?t 并计算非均衡误差,得到:
? ?? ?0 ? ? ?1 X t Y t ? ? ? Y ?Y e
t t t


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