椭圆的焦半径函数

椭圆的焦半径函数 【寻根】 椭圆的根在哪里?自然想到椭圆的定义:到两定点 F1,F2(|F1F2|=2c)距 离之和为定值 2a(2a>2c)的动点轨迹(图形). 这里,从椭圆的"根上"找到了两个参数 c 和 a. 第一个参数 c, 就确定了椭圆的位置; 再加上另一个参数 a, 就确定了椭圆的形状和大小. 比较它们的"身份"来,c 比 a 更"显贵". 遗憾的是,在椭圆的方程里,却看不到 c 的踪影,故有人开玩笑地说:椭圆方程有"忘本 "之嫌. 为了"正本",我们回到椭圆的焦点处,寻找 c,并寻找关于 c 的"题根". 一、 用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式 数学题的题根不等同数学教学的根基,数学教学的根基是数学概念,如椭圆教学的根基 是椭圆的定义.但是在具体数学解题时, 不一定每次都是从定义出发, 而是从由数学定义引出 来的某些已知结论(定理或公式)出发,如解答椭圆问题时,经常从椭圆的方程出发. 【例 1】 已知点 P(x,y)是椭圆上任意一点,F1(-c,0)和 F2(c,0)是椭圆的两个焦点. 求证:|PF1|=a+;|PF2|=a -. 【分析】 可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程"消 y"即可. 【解答】 由两点间距离公式,可知 |PF1|= (1) 从椭圆方程解出 (2) 代(2)于(1)并化简,得 |PF1|= (-a≤x≤a) 同理有 |PF2|= (-a≤x≤a) 【说明】 通过例 1,得出了椭圆的焦半径公式 r1=a+ex r2=a-ex (e=) 从公式看到,椭圆的焦半径的长度是点 P(x,y)横坐标的一次函数. r1 是 x 的增函数, r2 是 x 的减函数,它们都有最大值 a+c,最小值 a-c.从焦半径公式,还可得椭圆的对称性质 (关于 x,y 轴,关于原点). 二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径 用椭圆方程推导焦半径公式,虽然过程简便,但容易使人误解,以为焦半径公式的成立 是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性, 我们考虑从椭圆定义直接导出公式 来. 椭圆的焦半径公式, 是椭圆"坐标化"后的产物,按椭圆定义, 对焦半径直接用距离公式即 可. 【例 2】 P (x,y)是平面上的一点,P 到两定点 F1(-c,0) ,F2(c,0)的距离的和为 2a(a>c>0).试用 x,y 的解析式来表示 r1=|PF1|和 r2=|PF2|. 【分析】 问题是求 r1=f(x)和 r2=g(x).先可视 x 为参数列出关于 r1 和 r2 的方程 组,然后从中得出 r1 和 r2. 【解答】 依题意,有方程组

②-③得 代①于④并整理得 r1-r2= ⑤ 联立①,⑤得 【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出,对椭圆的方程有自己的独立 性.由于公式中含 c 而无 b,其基础性显然. 三、 焦半径公式与准线的关系 用椭圆的第二定义,也很容易推出椭圆的焦半径公式. 如图右,点 P(x,y)是以 F1(-c,0)为焦点,以 l1: x=-为准线的椭圆上任意一点.PD⊥l1 于 D.按椭圆 的第二定义,则有 即 r1=a+ex,同理有 r2=a-ex. 对中学生来讲, 椭圆的这个第二定义有很大的"人为性".准线缺乏定义的"客观性". 因此,把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性. 【例 3】 P(x,y)是以 F1(-c,0) ,F2(c,0)为焦点,以距离之和为 2a 的椭圆上任意一 点.直线 l 为 x=-,PD1⊥l 交 l 于 D1. 求证:. 【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF1|=a+ex. 对|PD1|用距离公式 |PD1|=x-=x+. 故有. 【说明】 此性质即是: 该椭圆上任意一点, 到定点 F1 -c,0) F2 c,0) 与定直线 l1:x=-(l2: ( ( ( ) x=)的距离之比为定值 e(0<e<1).

四、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程 现行教材在椭圆部分,只完成了"从曲线到方程"的单向推导,实际上这只完成了任务的 一半.而另一半,从"方程到曲线",却留给了学生(关于这一点,被许多学生所忽略了可逆推 导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根). 其实,有了焦半径公式,"证明椭圆方程为所求"的过程显得很简明. 【例 4】 设点 P(x,y)适合方程.求证:点 P(x,y)到两定点 F1(-c,0)和 F2(c, 0)的距离之和为 2a(c2=a2-b2). 【分析】 这题目是为了完成"从方程到曲线"的这一逆向过程.利用例 2 导出的焦点半径 公式,很快可推出结果. 【解答】 P(x,y)到 F1(-c,0)的距离设作 r1=|PF1|.由椭圆的焦点半径公式可知 r1=a+ex ① 同理还有 r2=a-ex ② ①+② 得 r1+r2=2a 即 |PF1|+|PF2|=2a. 即 P(x,y)到两定点 F1(-c,0)和 F2(c,0)的距离之和为 2a. 【说明】 椭圆方程是二元二次方程,而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此,围绕 着椭圆焦半径的问题,运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.

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