2014年4月全国100所名校单元测试示范卷数学(三)指数函数、对数函数、幂函数(理科)

2014 年 4 月全国 100 所名校单元测试示范卷数学(三) 指数函数、对数函数、幂函数(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.下列函数中,既是单调函数,又是奇函数的是( A.y=x5
?log 1 x ( x ? 1) ? 2.设函数 f(x)= ? 2 x ? ?3 ( x ≤ 1)

) C.y=log2x D.y=x-1

B.y=5x

f(f(16))的值是( A.9

) B.
1 16

C.81

D.

1 81

1 1 3 3.已知幂函数 y=f(x)的图象过点( , ),则 log3f( )的值为( 81 3 3



A.

1 2

B.-

1 2

C .2 ) C.[27,+∞) ) C.c<a<b )

D.-2

1 2 4.函数 y ? ( ) x ? 4 x ?1 的值域为( 3

A.(-∞,27]

B.(0,27]

D.(-27,27)

1 1 0.2 5.设 a ? log 1 6 , b ? ( ) , c ? 5 6 ,则( 6 5

A.a<b<c

B.c<b<a

D.b<a<c

6.函数 f(x)= log 1 (3 ? x ) 的单调递减区间是(
2

A.(-∞,2]

B.(2,3)

C.(-∞,3)

D.[3,+∞)

7.设函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的图象过点(2,10),其反函数的图象过点(4,1), 则 a-b 等于( A.5 ) B.3 C .2 D.-1

8.由于盐碱化严重,某地的耕地面积在最近 50 年内减少了 10%.如果按此规律,设 2012 年的耕地面积为 m,则 2017 年的耕地面积为(
1



A.(1-0.1250)m

1

B. 0.910 m

C.0.9250m

1

D.(1- 0.910 )m )

9. 已知函数 f (x) 是奇函数, 且当 x<0 时, f (x) = ln

1 , 则函数 f (x) 的大致图象为 ( 1? x

A.

B.

C.

D. )

1 1 x 10.已知函数 f(x)= ( ) ? x 5 ,那么函数 f(x)零点所在的区间可以是( 4

1 ,1) 4 1 11.定义一种运算(a,b)*(c,d)=ac+bd,若函数 f(x)=(1,log5x)*(( )x,log2), 3

A.(-1,0)

1 B.(0, ) 5

1 1 C.( , ) 5 4

D.(

x0 是方程 f(x)=0 的解,且 x1>x0,则 f(x1)的值( A.恒为正值 B.等于零 C.恒为负值

) D.不小于 0

12.若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么函数

?lg x( x ? 0) ? y=f(x)的图象与函数 g(x)= ? 1 的图象在(-12,12)内交点的个数为( ? ( x ? 0) ? ? x
A.18 B.20 C.21 D.22



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.函数 y= log 1 (1 ? x) 的定义域是
3

. .

14.log2 8 +lg20+lg5+6 log 6 2 +(-7.6)0=

15.定义区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1。已知函数 y=3|x|的定义域为[a,b],值域为 [3,9],则区间[a,b]的长度为
?log 3 x, ( x ? 0) 16.已知函数 f(x)= ? x ,且关于 x 的方程 f(x)+x+3a=0 有两个实数根,则实数 ?3 , x ≤ 0

a 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

2

17.设函数 f(x)=ln(x2-ax+2)的定义域为 A. (1)若 2∈A, ?2 ? A ,求实数 a 的范围; (2)若函数 y=f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围.

18.点( 2 ,2)在幂函数 f(x)的图象上,点(-2, (1)求 f(x)与 g(x)的解析式; (2)当 x 为何值时,有 f(x)>g(x).

1 )在幂函数 g(x)的图象上. 4

19.已知函数 f(x)=3+log2x,x∈[1,16],若函数 g(x)=[f(x)]2+2f(x2). (1)求函数 g(x)的定义域; (2)求函数 g(x)的最值.

3

20.若已知某火箭的起飞重量 M 是箭体(包括搭载的飞行器)的重量 m 和燃料重量 x 之和, 在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度 y 关于 x 的函数关系式为 y=k[ln(m+x)-ln( 2 m)]+5ln 2(其中 k≠0).当燃料重量为 ( e ?1) m 吨(e 为自然对数 的底数,e≈2.72)时,该火箭的最大速度为 5 千米/秒. (1)求火箭的最大速度 y(千米/秒)与燃料重量 x(吨)之间的关系式 y=f(x); (2)已知该火箭的起飞重量是 816 吨,则应装载多少吨燃料,才能使该火箭的最大飞行速度 达到 10 千米/秒,顺利地把卫星发送到预定的轨道?

21.对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)称为不等函数. ①对任意的 x∈[0,1],总有 f(x)≥0; ②当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时,总有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立. 已知函数 g(x)=x3 与 h(x)=2x-a 是定义在[0,1]上的函数. (1)试问函数 g(x)是否为不等函数?并说明理由; (2)若函数 h(x)是不等函数,求实数 a 组成的集合.

22.已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)+f(x)=0,且当 x∈(-1,0)时, f(x)=-
3x . 9x ? 1

(1)求函数 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,1)上的单调性; (3)当 λ 取何值时,方程 f(x)=λ 在(-1,1)上有实数解?

4

5

2014 年 4 月全国 100 所名校单元测试示范卷数学(三) 指数函数、对数函数、幂函数(理科)答案 1、解:对于 A.则为幂函数,幂指数大于 0,则为 R 上的增函数,且为奇函数,则 A 满足条 件; 对于 B.则为指数函数,不具奇偶性,则 B 不满足条件; 对于 C.则为底数大于 1 的对数函数,不具奇偶性,则 C 不满足条件; 对于 D.为幂函数,且为奇函数,在 x>0,x<0 上递减,则 D 不满足条件. 2、解:∵f(16)= log 1 16 =-4,
2

故选 A.

∴f(f(16))=f(-4)=3-4= 3、解:设幂函数为 y=xα,则 所以 log3f(

1 81

故选:D. 所以 α=
1 1 ,所以 y ? x 2 , 2

3 1 a ?( ) 3 3

1 )=log33-2=-2. 81

答案:D.

4、解:令 u=x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3,
1 因为 y=( )x 是减函数, 3

所以 0<y≤27. 故选:B

故函数的值域为(0,27]

1 1 0.2 5、解:∵a= log 1 6 < log 1 1 =0,0<b=( ) <1,c= 5 6 >50=1, 6 5 5

∴a<b<c.

故选:A.

?? log 1 (3 ? x), x ≤ 2 ? 2 6、解:因为 f(x)= ? , log (3 ? x ), 2 ? x ? 3 1 ? ? 2

而 f(x)=- log 1 (3 ? x) 在(-∞,2]上单调递减.
2

故选:A

? a 2 ? b ? 10 7、解:由题意知 ? , ?a ? b ? 4

解得 a=3 或 a=-2(舍),b=1,

∴a-b=2.

故:C.

8、解:设每年耕地减少的百分率为 a,则有(1-a)50=1-10%, 所以 a=1- 0.9 ,则从 2012 年起,过 x 年后耕地面积 y 与 x 的函数关系是 y=m(1-a)x= 0.9 50 m .
6
x 1 50

当 x=5 时,y= 0.9 m .

1 10

故选:B.

9、解:当 x>0 时,-x<0, 所以 f(-x)=ln
1 =-ln(1+x), 1? x

所以 f(x)=ln(1+x), 其图象是将 f(x)=ln x 的图象向左平移一个单位, 由于 f(x)是奇函数 其图象关于原点对称, 10、解:计算可得 f(-1)=( 故选 D.
1 1 -1 ) - ( ?1) 5 =4+1=5>0, 4

1 1 f(0)=( )0- 0 5 =1>0, 4

1 f(1)= -1<0, 4

1 1 1 1 1 4 f( )= ( ) ? ( ) 5 <0, 4 4 5 1 1 1 1 1 f( )=( ( ) 5 ? ( ) 5 >0, 5 4 5
1 1 ∴f( )?f( )<0, 4 5 1 1 ∴函数 f(x)在区间( , )有零点,故选 C. 5 4 1 1 1 1 11、解:由定义 f(x)=(1,log5x)*(( )x, log 2 )=( )x+log5x? log 2 3 2 3 2 1 x =( ) -log5x. 3

∵函数 f(x)是单调递减函数, ∴f(x1)<f(x0)=0. 12、解:因为 f(x+2)=f(x), 所以 f(x)的周期为 2, 在 x∈[-1,1]时,f(x)=x2, 故选:C.

?lg x( x ? 0) ? 画出函数 f(x)与 g(x)= ? 1 在(-12,12)内的图象, ? ( x ? 0) ? ? x

7

发现 f(x)=x2 在 x 轴右侧的图象与 g(x)=lg x 有 9 个交点, f(x)=x2 在 x 轴左侧的图象与 g(x)=- 一共有 20 个交点.
3

1 在(-12,0)内有 11 个交点, x

故选 B.

13、解:∵函数 y= log 1 (1 ? x) ,

?1 ? x ? 0 ? ∴ ?log (1 ? x) ≥ 0 ,即 0<1-x≤1,解得 0≤x<1; 1 ? ? 3
∴函数 y 的定义域是[0,1).
3

答案:[0,1).

14、解:原式= log 2 2 2 +lg(20× 5)+2+1
3 13 = +2+3= . 2 2

故答案为:

13 . 2

15 、 解 : 因 为 满足 值域 为 [3 , 9] 的 定 义 域为 [-2 , -1] 或 [1 , 2] ,所 以 区 间 [a , b] 长 度为 1. 故答案为:1.

?log 3 x, x ? 0 16、解:函数 f(x)= ? x ,令 g(x)=f(x)+x 作图象如下图 ?3 , x ≤ 0

∵关于 x 的方程 f(x)+x+3a=0 有两个实数根, ∴y=-3a 与 g(x)图象有两个交点, 据图回答:-3a≤1,即 a≥?
1 故答案为:[- ,+∞) 3 1 3

8

? 4 ? 2a ? 2 ? 0 17 、 解:(Ⅰ)由题意,得 ? ,(2 分) ? 4 ? 2a ? 2 ≤ 0
所以 a≤-3. 故实数 a 的范围为(-∞,-3].(4 分) (Ⅱ)由题意,得 x2+ax+2>0 在 R 上恒成立, 则△=a2-8<0,(6 分) 解得-2 2 <a<2 2 .(7 分) 故实数 a 的范围为(-2 2 ,2 2 ).(8 分) 18 、 解:(1)设 f(x)=xα,则由题意得 2=( 2 )α, ∴α=2,即 f(x)=x2, 再设 g(x)=xβ,则由题意得 即 g(x)=x-2. (2)在同一坐标系中作出 f(x)与 g(x)的图象, 如图所示.f(x)与 g(x)交于(-1,1)点和(1,1)点, 由图象可知:当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>g(x). 19 、 解:(1)要使函数 g(x)的解析式有意义,
? ? x ? ?1,16? 则? 2 ,解得 x∈[1,4], ? ? x ? ?1,16?
1 =(-2)β,β=-2, 4

故函数 g(x)的定义域为[1,4], (2)令 t=log2x,x∈[1,4], 则 t∈[0,2], y=g(x)=[f(x)]2+2f(x2)=(3+log2x)2+2(3+log2x2)=(log2x+5)2-10=(t+5)2-10, 由函数 y=(t+5)2-10 的图象是开口朝上且以直线 t=-5 为对称轴的抛物线, 故函数 y=(t+5)2-10 在[0,2]上单调递增, 故当 t=0 时,y=g(x)取最小值 15, 当 t=2,y=g(x)取最大值 39, 20、解:(1)依题意,把 x=( e -1)m,y=5 代入函数关系 y=k[ln(m+x)-ln( 2 m)]+5ln 2, 解得 k=10.所以所求的函数关系式为
9

y=10[ln(m+x)-ln( 2 m)]+5ln 2=ln(

m ? x 10 ) .6 分 m

(2)设应装载 x 吨燃料方能满足题意,此时 m=816-x,y=10, 代入函数关系式 y=ln(
m ? x 10 816 ) ,得 ln =1,解得 x≈516 吨, m 816 ? x

应装载 516 吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.12 分. 21、解:(1)当 x∈[0,1]时,总有 g(x)=x3≥0,满足①; 当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时,
3 3 2 3 3 g(x1+x2)=(x1+x2)3= x1 ≥ x1 =g(x1)+g(x2),满足②, ? x2 ? 3x12 ?x2+3x1? x2 ? x2

所以函数 g(x)是不等函数. (2)h(x)=2x-a(x∈[0,1])为增函数,h(x)≥h(0)=1-a≥0,所以 a≤1. 由 h(x1+x2)≥h(x1)+h(x2),得 2 x 1 + x 2 -a≥2 x 1 -a+2 x 2 -a, 即 a≥2 x 1 +2 x 2 -2 x 1 + x 2 =1-(2 x 1 -1)(2 x 2 -1). 因为 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1, 所以 0≤2 x 1 -1≤1,0≤2 x 2 -1≤1,x1 与 x2 不同时等于 1, 所以 0≤(2 x 1 -1)(2 x 2 -1)<1,所以 0<1-(2 x 1 -1)(2 x 2 -1)≤1. 当 x1=x2=0 时,[1-(2 x 1 -1)(2 x 2 -1)]max=1, 所以 a≥1. 综合上述,a∈{1}. 22、解:(1)因为 f(x)是 x∈R 上的奇函数,所以 f(0)=0. 设 x∈(0,1)时,-x∈(-1,0),
3? x 3x 所以 f(-x)== ? x =-=-f(x),所以 f(x)= x , 9 ?1 9 ?1

? 3x ?? 9 x ? 1 , x ? (?1, 0) ? ? 所以 f(x)= ?0, x ? 0 . ? 3x ? x , x ? (0,1) ?9 ?1 ?
(2)设 0<x1<x2<1, f(x1)-f(x2)=

(3x1 ? 3x2 ) ? (3x1 ? 2 x2 ? 3x2 ? 2 x1 ) (3x1 ? 3x2 )(1 ? 3x1 ? 2 x2 ) = , (9 x1 ? 1)(9 x2 ? 1) (9 x1 ? 1)(9 x2 ? 1)

因为 0<x1<x2<1,所以 3 x 1 <3 x 2 ,3 x 1 + x 2 >30=1, 所以 f(x1)-f(x2)>0,
10

所以 f(x)在(0,1)上为减函数. (3)因为 f(x)在(0,1)上为减函数, 所以
3 1 31 30 < f ( x )< ,即 f(x)∈( , ). 1 0 10 2 9 ?1 9 ?1

1 3 ,- ). 2 10 1 3 3 1 又 f(0)=0,当 λ∈(- ,- )∪( , )或 λ=0 时, 2 10 10 2

同理,f(x)在(-1,0)上时,f(x)∈(-

方程 f(x)=λ 在 x∈(-1,1)上有实数解.

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