2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线课件文_图文

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第八节 直线与圆锥曲线

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1.直线与圆锥曲线位置关系的判断 判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0 (A,B不同时为0)与圆锥曲线r的方程F(x,y)=0联立,消去y(也可以消去x)
? 得到一个关于变量x(或变量y)的方程,即联立 ???FAx(消x?, 去yB)y?y?(0或C, ?x)0,
后得ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).

(1)当a≠0时,若① Δ>0 ,则直线l与曲线r相交;若② Δ=0 ,则直线l 与曲线r相切;若③ Δ<0 ,则直线l与曲线r相离. (2)当a=0时,得到一个一次方程,则直线l与曲线r相交,且只有一个交点, 此时,若r为双曲线,则直线l与双曲线的④ 渐近线 平行;若r为抛物线, 则直线l与抛物线的⑤ 对称轴 平行或重合.

2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题 直线l:f(x,y)=0,圆锥曲线r:F(x,y)=0,l与r有两个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2),

? 则A、B两点的坐标是方程组?? ?

f F

(的x , y两) ?组0,解,方程组消元后化为
(x, y) ? 0

关于x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0),判别式Δ=b2-4ac,

应有Δ>0,所以x1,x2(或y1,y2)是方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的两个根.

? 由根与系数的关系得x1+x2=-?ba ,x1·x2=ac ????或y1?,以y2此?结?ba合,y1y2?ac???
弦长公式可整体代入求值.A、B两点间的距离|AB|=⑥ ?1 |?x1k-2x2| =
?1·??k(2其中(x1k? 为x直2)2线?4l的x1x斜2 率),也可以写成关于y的形式,

? 即|AB|=⑦

1?

1
k 2|y1-y2|

=?1·?? (k1k2≠0()y.特1?殊y2地)2?,如4y果1y2

直线l过抛物线的焦点,抛物线方程以y2=2px(p>0)为例,那么|AB|=

⑧ x1+x2+p .

3.弦AB的中点与直线AB斜率的关系
(1)已知AB是椭圆?ax 22 +b?y 22 =1(a>b>0)的一条弦,其中点M的坐标为(x0,y0).运
用点差法求直线AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),∵A,B都在椭圆上,

??



?? ?

?

x

2 1

a2

x

2 2

?? a 2

? ?

b两y 122 式? 1相, 减得?+?x=12 0?,

x

2 2

y

2 2

b2

?

1,

a2

y

2 1

?

y

2 2

b2

∴?(x1+??x2)=(x01,?x2) (y1 ?y2)(y1 ?y2)

a2

b2

? ? ? ? ∴ y 1 ?=y-2 =b -2 ( x1 ?,故x 2 k) AB=b- 2 x 0 .

b 2x0

x1 ? x 2 a 2 ( y1 ? y2 ) a 2 y 0

a 2y0

(2)已知AB是双曲线?x 2 -?y 2 =1(a>0,b>0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x
a2 b2

? 2,弦中点M(x0,y0),则与(1)同理可知kAB=

b a

2 2

x .0
y0

(3)已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦中

点M(x0,y0).

? 则

? ?

?

y

2 1

y

2 2

两?? 22式pp xx相12,, 减得?-?=2py(12x1-y x22 2),

∴(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),

∴?y 1 ?=y?2 =?2 p ,即kAp B=?. p

x1 ? x2 y1 ? y 2 y 0

y0

?

判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线l与抛物线y2=2px只有一个公共点,则l与抛物线相切.?(×) (2)若直线l与抛物线y2=2px相交,则一定有两个公共点.?(×) (3)直线y=kx(k≠0)与双曲线x2-y2=1一定相交.?(×) (4)若直线与双曲线相交,则一定有两个公共点.?(×) (5)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点.?(√) (6)直线与椭圆只有一个交点?直线与椭圆相切.?(√)
?

1.直线y=kx-k+1与椭圆?x 2 +?y 2 =1的位置关系为?( )
94
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 答案 A 由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),又(1,1)在椭圆内,故 直线与椭圆必相交.

2.直线y=?ba x+3与双曲线ax ?22 by-2?2 =1的交点个数是?(

)

A.1 B.2 C.1或2 D.0

答案 A 因为直线y=?b x+3与双曲线的渐近线y=b ?x平行,所以它与双

a

a

曲线只有1个交点.

3.双曲线C:?ax 22 -b?y 22 =1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则
直线l与双曲线C的左,右两支都相交的充要条件是?( )

A.k>-?b B.k<b ?

a

a

C.k>?b 或k<-b ? Db .-?<b k<?

a

a

a

a

答案 D 由双曲线的渐近线的几何意义知-?b <k<b ?.

a

a

4.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有 条.
答案 3 解析 ①当过点(0,1)的直线的斜率不存在时,方程为x=0,与抛物线y2=4x 仅有一个公共点,符合题意. ②当过点(0,1)的直线的斜率存在时,设为k,此时直线为y=kx+1,由

??
? ?

y y

?得k xk2?x12+, (2k-4)x+1=0,?(*)
2 ? 4x

当k=0时,方程(*)只有一解,即直线与抛物线只有一个公共点,符合题意,

当k≠0时,由Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,即直线y=x+1与抛物线相切,综上,

符合条件的直线有3条.

考点突破
考点一 直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用
典例1 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:?ax 22 +?by 22 =1(a>b>0)的左焦
点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上. (1)求椭圆C1的方程; (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程. 解析 (1)由题意得a2-b2=1,b=1,则a=?2,
∴椭圆C1的方程为?x 2 +y2=1.
2
(2)易得直线l的斜率存在且不为零,则可设l的方程为y=kx+b(k≠0).

??



? ?

x2 2

?消y 2去? y1 ,整理得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0,Δ1=16k2b2-8(b2-1)(2k2+

?? y ? k x ? b ,

1)=16k2+8-8b2=0,即b2=2k2+1.

? 由

? ?

y

2

消? 4去x ,y整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,

? y ? kx ? b,

Δ2=(2kb-4)2-4k2b2=16-16kb=0,即kb=1,?

? ∴

?b2 ?2k2 ?1,  ① ??kb?1.②

由②得b=?1 ,代入①得1?=2k2+1,即2k4+k2-1=0.

k

k2

令t=k2,则2t2+t-1=0,解得t1=?1 或t2=-1(舍),
2

? ? ?



? ?

k

?

2
或2

,

? ?k ? ? ?

2, 2

?? b ? 2 ?? b ? ? 2 .

∴l的方程为y=?2 x+?或2 y=-?x2 -?. 2

2

2

方法技巧 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交 点坐标,也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定,需注意利 用判别式的前提是二次项系数不为0. (2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到一 元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次 方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.

1-1 若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,那么k的取 值范围为?( )

? ? ?
A.? ?
?

15 , 3

B1 5.
3

?
? ?

? ? 0, ?

15 ?

3

? ?

? ? C.?? ?
?

1 3

5

,0

D?? .
?

? ?? ?

15 3

,

?

1

?
? ?

? 答案

D



? ?

x

2

消? y去2 ?y,6得, (1-k2)x2-4kx-10=0,

? y ? kx ? 2

∵直线与双曲线右支交于不同的两点,

?1 ? k 2 ? 0,

??
?

Δ

?

40

?

24k

2

?

0,



? ?

?1

4k ?k

2

?

0解, 得-?<k<-1.

1 3

5

? ?10 ?? 1 ? k 2

?

0,

考点二 弦长问题
典例2 (2016课标全国Ⅱ,21,12分)已知A是椭圆E:?x 2 +?y 2 =1的左顶点,
43
斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA. (1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,证明:?3<k<2. 解析 (1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为?? .
4
又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.

将x=y-2代入?x 2 +?y 2 =1得7y2-12y=0.
43

解得y=0或y=?1 2 ,所以y1=1?2 .

7

7

因此△AMN的面积S△AMN=2×?1 ×1 2?1×2 ?1 =4 ?4 .
2 7 7 49
(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入?x 2 +?y 2 =1得
43
(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.

? ? 由x1·(-2)=1

6 3

k?得2 4?kx1212=

,

2(3 ? 4k 2 ) 3 ? 4k2

? 故|AM|=|x1+2|?1=? k 2 .

12 1? k 2 3 ? 4k2

由题设,直线AN的方程为y=-?1 (x+2),
k

故同理可得|AN|=?12k. 1 ? k 2 3k 2 ? 4

由2|AM|=|AN|得?2=?,即4kk3-6k2+3k-8=0.
3 ? 4k2 3k 2 ? 4
设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f '(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t) 在(0,+∞)内单调递增. 又f(?3)=15?-326<0, f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点 k在(?3,2)内,所以?<3 k<2.

方法技巧 弦长的求解 (1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1), B(x2,y2)两个不同的点,则弦长|AB|=?(x1=? ?x2 |x)12-? x2(|=y1?y2)2 1 ? k 2
?1 ?|yk11-2 y2|(k≠0).
(3)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.

2-1 (2016贵州贵阳摸底)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆?ax 22 +?by 22 =1
(a>b>0)的离心率为?1 ,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当
2
直线AB的斜率为0时,AB=4.
(1)求椭圆的方程;
(2)若|AB|+|CD|=?4 8 ,求直线AB的方程.
7

解析 (1)由题意知e=?c =1 ?,2a=4.
a2
又a2=b2+c2,解得a=2,b=?3,c=1,
所以椭圆方程为?x 2 +?y 2 =1.
43
(2)①当两条弦中的一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的
斜率不存在,由题意知|AB|+|CD|=7,不满足条件. ②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x
-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线CD的方程为y=-?1 (x-1).
k

将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

? ? 则x1+x2= 3

8 ?

k,4x2k1·2 x2=

,4 k 2
3?

? 12 4k 2

所以|AB|=?k|x2 1?-x12|

? =?k·?2 ?=1

(.x1?x2)2?4x1x2

12(k 2 ? 1) 3 ? 4k2

?1
同理,|CD|=

2

? ??

1 k

2

=??1 ??? ,

12(k 2 ? 1)

3

?

4 k2

3k 2 ? 4

所以|AB|+|CD|=?1 2 ( k+2?? 1) 1 2 ( k 2 ? 1)

3 ? 4k 2 3k 2 ? 4

=?8=4?(k2,解?1得)2 k=±14 ,8 (3?4k2)(3k2 ?4) 7
所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

考点三 中点弦问题 典例3 (2016福建福州质检)抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x -y=0与抛物线C交于A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方 程为?( ) A.y=2x2 B.y2=2x C.x2=2y D.y2=-2x 答案 B

? 解析

设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为y2=2px(p>0),则

? ? ?

y y

2 1
2 2

两? 2式p 相x1 ,
? 2 px2,

减可得2p=?y 1 ?×y(2y1+y2)=kAB×2=2,可得p=1,
∴抛物线C的x 1 ?方x 程2 为y2=2x.

方法技巧 处理中点弦问题的常用方法 (1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,
式中含有x1+x2,y1+y2,?y 1 ?三y 2个未知量,这样就直接联系了中点和直线
x1 ? x2
的斜率,借用中点公式即可求得斜率. (2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程,将其转化为一元二 次方程后由根与系数的关系求解.


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