【三维设计】高中数学 第一部分 第三章 §3 3.1 基本不等式课件 北师大版必修5_图文

第 三 章 不 等 式 §3 基 本 不 等 式 3. 1 基 本 不 等 式 理解教材新知 考点一 把握热点考向 考点二 应用创新演练 §3 基本不等式 3.1 基本不等式 如图是在北京召开的第24届国际数 学家大会的会标.将其抽象成如图形 式.设直角三角形的长为a、b(a≠b), 那么正方形的边长为 a2+b2. 问题1:根据抽象的图形,你能从中得到一个 什么样的不等关系? 提示:正方形ABCD的面积大于4个直角三角 形的面积和,即a2+b2>2ab. 问题2:当直角三角形变为等腰直角三角形时, 可以得到什么结论? 提示:a2+b2=2ab. 问题3:在a>0,b>0时,用 a 、 b 分别代替 a、b,可以得到什么结论? a+b 提示: ≥ ab. 2 1.基本不等式 a+b (1)形式: ≥ ab . 2 (2)成立的前提条件:a≥0 ,b≥0 . (3)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时等号成立. 2.算术平均数和几何平均数 (1)定义: a+b 叫作正实数 a,b 的算术平均数. 2 ab 叫作正实数 a,b 的几何平均数. (2)关系: 两个正实数的算术平均数 不小于 它们的几何平均数. 对于两个不等式 a+b ①a +b ≥2ab,② ≥ ab 2 2 2 (1)两个不等式成立的条件不同.不等式①中a,b 都是实数;不等式②要求a,b都是非负数. (2)“当且仅当a=b时,等号成立”的含义 a+b 两个不等式a +b ≥2ab和 ≥ 2 2 2 ab 中都带有 “=”,当且仅当a=b时,“等号成立”其含义是“a= a+b b?a +b =2ab”或“a=b≥0? = ab”. 2 2 2 [例1] 已知a、b、c为正数, b+c-a c+a-b a+b-c 求证: a + b + c ≥3. [思路点拨] 解答本题可以把左边拆开再重新组合 后,使用基本不等式证明. b c c a a b [精解详析] 左边=a+a-1+b+b-1+c+c -1 b a c a c b =(a+b)+(a+c )+(b+ c)-3. ∵a,b,c为正数, b a ∴a+b≥2(当且仅当a=b时等号成立); c a a+c ≥2(当且仅当a=c时等号成立); c b b+c ≥2(当且仅当b=c时等号成立). b a c a c b 从而(a+b)+(a + c )+(b+ c )≥6(当且仅当a=b=c时取 等号). b a c a c b ∴(a+b)+(a+c )+(b+ c)-3≥3. b+c-a c+a-b a+b-c 即 a + b + c ≥3. [一点通] 将所要证明的不等式分解变形,重新组 合后再用基本不等式,体现了“配凑”的数学方法,其 中要注意等号是否成立,尤其是多个基本不等式相加(乘) 或多次连续使用基本不等式. 1.已知a,b∈(0,+∞),则下列各式中不一定成立 的是 A.a+b≥2 ab a2+b2 C. ≥2 ab ab b a B.a+b≥2 2ab D. ≥ ab a+ b ( ) a+b 解析:由 ≥ ab得a+b≥2 ab,∴A成立; 2 b a ∵a+b≥2 ba a· b=2,∴B成立; a2+b2 2ab ∵ ≥ =2 ab,∴C成立; ab ab 2ab 2ab ∵ ≤ = ab,∴D不一定成立. a+b 2 ab 答案:D 2.已知a,b,c是两两不等的实数,则p=a2+b2+c2 与q=ab+bc+ca的大小关系是________. 解析:∵a、b、c互不相等, ∴a2+b2>2ab,b2+c2>2ac,a2+c2>2ac. ∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac). 即a2+b2+c2>ab+bc+ac. 答案:p>q a2 b2 c2 3.已知a,b,c都大于0,求证: b + c + a ≥a+b+c. a2 b2 c2 证明:∵a,b,c, b , c , a 均大于0, a2 又 b +b≥2 b2 c +c≥2 a2 b=2a, b· b2 c=2b, c· c2 a + a≥ 2 c2 a=2c, a· a2 b2 c2 相加得 b +b+ c +c+ a +a≥2a+2b+2c, a2 b2 c2 ∴ b + c + a ≥a+b+c. a2 b2 c2 当且仅当 b =b, c =c, a =a,即a=b=c时等号成立. [例2] (12分)已知,a>0,b>0,c>0且a+b+c=1, 1 1 1 求证:a+b+ c≥9. [思路点拨] 巧妙利用a+b+c=1,用a+b+c去乘式 1 1 1 子 a + b + c 然后展开,便可构造出基本不等式的模型,进而 可证明不等式. [精解详析] 因为 a>0,b>0,c>0 且 a+b+c=1, 1 1 1 所以a+b+c 1 1 1 =(a+b+c )(a+b+c b a c a c b =3+(a+b)+(a+ c)+(b+c)≥3+2+2+2= 1 1 1 1 当且仅当 a=b=c= 时等号成立,故a+b+ c≥ 3 (4 分) (10 分) (12 分) [一点通] 用基本不等式证明不等式,要注意以下几点 1 (1)“1”的代换,如本例中1的代换有两种方式,其一为 a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 +b+ c =(a+b+ c )· 1=(a+b+ c )(a+b+c),其二为:a+b+ 1 a+b+c a+b+c a+b+c c= a + b + c ; 1 1 1 (2)“拆项”与“配项”,如本题( a + b + c )(a+b+c)=3 b a c a c b +(a+b)+(a+c )+(b+ c),为使用基本不等式创造了条件. 1 1 4.已知a>0,b>0,a+b=3,则a+b的取值范围是______. 解析:∵a

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