2014年人教A版高中数学必修二:2.3.3-2.3.4配套课件_图文

2.3.3-2.3.4

2.3.3 2.3.4
[学习要求]
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直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质

1.掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理; 2.能运用性质定理解决一些简单问题; 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的 相互联系. [学法指导] 通过“直观感知、操作确认,推理证明”,经历直线与平面垂 直,平面与平面垂直的性质定理的形成过程,进而加深对定理 的理解与掌握,提高空间想象能力以及逻辑推理能力.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直 线 平行 . 2.平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面 内垂直于 交线 的直线与另一个平面 垂直 . 用符号表示为:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l? a⊥β .

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3.两个重要结论:
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(1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点 垂直于第二个平面的直线 在第一个平面内 . (2)已知平面 α⊥平面 β,a?α,a⊥β,那么 a∥α (a 与 α 的位置关系).

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[问题情境] 直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定定理,解决了直 线与平面垂直及平面与平面垂直的条件问题;反之,在直 线与平面垂直及平面与平面垂直的条件下,能得到哪些结 论?本节就来研究这个问题.

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探究点一 问题 1 线面垂直的性质定理

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若一条直线与一个平面垂直,则可得到什么结论?若

两条直线与同一个平面垂直呢? 答 这条直线垂直于平面的任意一条直线;这两条直线平行. 问题 2 已知直线 a⊥α、b⊥α,那么直线 a、b 一定平行吗?我
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们能否证明这一事实的正确性呢?
答 一定.证明如下:已知:a⊥α,b⊥α, 求证:b∥a.

证明

如右图,假定 b 不平行于 a,设 b∩α

=O,b′是经过 O 与直线 a 平行的直线, ∵a∥b′,a⊥α.∴b′⊥a.
即经过同一点 O 的两线 b、b′都与 α 垂 直这是不可能的,因此 b∥a. 小结 线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.
简化为:线面垂直?线线平行.

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例 1 把直角三角板 ABC 的直角边 BC 放置桌面,另一条直 角边 AC 与桌面所在的平面 α 垂直,a 是 α 内一条直线, 若斜边 AB 与 a 垂直,则 BC 是否与 a 垂直? 解

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小结

证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直

则需借助线面垂直的性质,因此,判定定理与性质定理的合 理应用是证明线面垂直的关键.

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跟踪训练 1 如图,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β, 垂足分别为 A、B,a?α,a⊥AB.
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求证:a∥l.

证明

∵PA⊥α,l?α,∴PA⊥l.

同理 PB⊥l.∵PA∩PB=P,∴l⊥平面 PAB. ∵PA⊥α,a?α,∴PA⊥a.
∵a⊥AB,PA∩AB=A,
∴a⊥平面 PAB.∴a∥l.

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探究点二 问题
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平面与平面垂直的性质定理

黑板所在平面与地面所在平面垂直, 你能否在黑板上画一条直

线与地面垂直? 答 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直,因此只
要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线,则所画直线必与 地面垂直.

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例 2 设 α⊥β, α∩β=CD, AB?α, AB⊥CD, AB∩CD=B,求证:AB⊥β. 证明
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在 β 内引直线 BE⊥CD,垂足为 B,则∠ABE 是二面角

α—CD—β 的平面角.由 α⊥β 知,AB⊥BE,又 AB⊥CD,BE 与 CD 是 β 内的两条相交直线,所以 AB⊥β.

小结

面面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内

垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 简记为:面面垂直?线面垂直.

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跟踪训练 2 如图,已知平面 α,β,α⊥β,直

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线 a 满足 a⊥β,a?α,试判断直线 a 与平面 α 的位置关系.
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在 α 内作垂直于 α 与 β 交线的直线 b,因为

α⊥β,所以 b⊥β.

因为 a⊥β,所以 a∥b.又因为 a?α, 所以 a∥α.即直线 a 与平面 α 平行.

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例3


设平面 α⊥平面 β,点 P 在平面 α 内,过点 P 作平面 β 的
如图,设 α∩β=c,过点 P 在平面 α 内作直线 b⊥c,

垂线 a,试判断直线 a 与平面 α 的位置关系.
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根据平面与平面垂直的性质定理有 b⊥β. 因为过一点有且只有一条直线与平面 β 垂直, 所以直线 a 与直线 b 重合,因此 a?α. 小结 已知两个平面垂直时,过其中一个平面内的一点作交

线的垂线,则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一 个平面,于是面面垂直转化为线面垂直.

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跟踪训练 3 如图所示, P 是四边形 ABCD 所 在平面外的一点,ABCD 是∠DAB=60° 且边 长为 a 的菱形.侧面 PAD 为正三角形,其所 在平面垂直于底面 ABCD.G 为 AD 边的中
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点.求证: (1)BG⊥平面 PAD; (2)AD⊥PB. 证明 (1)由题意知△PAD 为正三角形,G 是 AD 的中点,

∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PG⊥平面 ABCD,∴PG⊥BG. 又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB=60° , ∴△ABD 是正三角形,∴BG⊥AD.

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又 AD∩PG=G, ∴BG⊥平面 PAD.
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(2)由(1)可知 BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G, 所以 AD⊥平面 PBG,所以 AD⊥PB.

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1.下列命题:
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①垂直于同一直线的两条直线平行; ②垂直于同一直线的两个平面平行; ③垂直于同一平面的两条直线平行; ④垂直于同一平面的两平面平行. 其中正确的个数是 A.1
解析

( B ) C.3 D.4

B. 2

由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确,选 B.

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2.平面 α∩平面 β=l,平面 γ⊥α,γ⊥β,则 A.l∥γ C.l 与 γ 斜交
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( D )

B.l?γ D.l⊥γ

解析

在 γ 面内取一点 O,

作 OE⊥m,OF⊥n, 由于 β⊥γ,γ∩β=m, 所以 OE⊥面 β,所以 OE⊥l, 同理 OF⊥l,OE∩OF=O, 所以 l⊥γ.

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3. 如图所示,平面 ABC⊥平面 ABD,∠ACB= 90° ,CA=CB,△ABD 是正三角形,O 为 AB 中点,则图中直角三角形的个数为________ . 6
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解析

由题意知 CO⊥AB,

∴CO⊥面 ABD, ∴CO⊥OD,

∴直角三角形为△CAO, △COB, △ACB, △AOD, △BOD, △COD.

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4. 在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC= 90° ,BC1⊥AC,则点 C1 在底面 ABC 上的 直线 AB 上 . 射影 H 必在___________
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解析

由 AC⊥BC1,AC⊥AB,

得 AC⊥面 ABC1,又 AC?面 ABC,

∴面 ABC1⊥面 ABC. ∴C1 在面 ABC 上的射影 H 必在交线 AB 上.

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1. 直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美
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结合, 利用垂直关系可判定平行, 反过来由平行关系也可 判定垂直, 即两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 则 另一条直线也垂直于这个平面. 2.面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理.

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3.判定线面垂直的方法主要有以下五种:
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①线面垂直的定义; ②线面垂直的判定定理; ③面面垂直 的性质定理; ④如果两条平行线中的一条垂直于一个平 a∥ b ? ? ? ? b⊥α ; 面,那么另一条也垂直于同一平面, a⊥ α ? ? ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面, 那么 α∥β? ? ??a⊥β. 它也垂直于另一个平面, a⊥ α ? ?


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