2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章2.7_图文

数学 北(文)
§2.7 函数的图像
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

基础知识·自主学习

要点梳理

知识回顾 理清教材

1.描点法作图

方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;

(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变

化趋势);(4)描点连线,画出函数的图像.

2.图像变换

(1)平移变换

f(x)+k

基础知识

f(x)+h

f(x)-h

题型分类

f(x)-k 思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理

知识回顾 理清教材

(2)对称变换 ①y=f(x)关——于—x轴—对—→称y= -f(x) ; ②y=f(x)— 关—于—y轴—对—→称y= f(-x) ; ③y=f(x)关—于—原——点—对→称y= -f(-x) ; ④y=ax (a>0 且 a≠1)关—于—y—=—x—对→称y= logax(a>0 且 a≠1). ⑤y=f(x)—将—x保 轴—下留——方x轴—图上—像方—翻—图折—像上—去→y= |f(x)| . ⑥y=f(x)保—留—关y—轴于—右y—轴边—对图—称像—的—,图—并像—作→其y= f(|x|) .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理

知识回顾 理清教材

f(ax) af(x)

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑

夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) × (3) × (4) √ (5) × (6) × D D C B

解析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型一

作函数的图像

【例 1】 分别画出下列函数 的图像:
(1)y=|lg x|; (2)y=2x+2; (3)y=x2-2|x|-1; (4)y=xx+ -21.

思维启迪

解析 思维升华

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型一

作函数的图像

【例 1】 分别画出下列函数 的图像:
(1)y=|lg x|; (2)y=2x+2; (3)y=x2-2|x|-1; (4)y=xx+ -21.

思维启迪 解析 思维升华
根据一些常见函数的图像,通 过平移、对称等变换可以作出 函数图像.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型一

作函数的图像

【例 1】 分别画出下列函数 的图像:
(1)y=|lg x|; (2)y=2x+2; (3)y=x2-2|x|-1; (4)y=xx+ -21.

基础知识

题型分类

思维启迪 解析 思维升华



(1)y=?????l-g lxg x

?x≥1?, 图
?0<x<1?

像如图①.

(2)将 y=2x 的图像向左平移 2 个 单位.图像如图②.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型一

作函数的图像

【例 1】 分别画出下列函数 的图像:
(1)y=|lg x|; (2)y=2x+2; (3)y=x2-2|x|-1; (4)y=xx+ -21.

基础知识

题型分类

思维启迪 解析 思维升华

(3)y=?????xx22- +22xx- -11

?x≥0? ?x<0?

.图像

如图③.

(4)因 y=1+x-3 1,先作出 y=3x的

图像,将其图像向右平移 1 个单

位,再向上平移 1 个单位,即得 y

=xx+ -21的图像,如图④.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型一

作函数的图像

【例 1】 分别画出下列函数 的图像:
(1)y=|lg x|; (2)y=2x+2; (3)y=x2-2|x|-1; (4)y=xx+ -21.

思维启迪 解析 思维升华
(1)常见的几种函数图像如二次函 数、反比例函数、指数函数、对 数函数、幂函数、形如 y=x+mx (m>0)的函数是图像变换的基础;
(2)掌握平移变换、伸缩变换、对 称变换等常用方法技巧,可以帮助 我们简化作图过程.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 作出下列函数的图像. (1)y=sin |x|;(2)y=xx+ +23.
解 (1)当 x≥0 时,y=sin |x|与 y=sin x 的图像完全相同, 又 y=sin |x|为偶函数,其图像关于 y 轴对称,其图像如图. (2)y=xx++23=1-x+1 3,该函数图像可由 函数 y=-1x向左平移 3 个单位再向上平 移 1 个单位得到,如图所示.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

识图与辨图

【例 2】 (1)(2013·四川)函数 y=3xx-3 1

的图像大致是

()

思维启迪 解析 答案 思维升华

(2)已知 f(x)=?????-x2,x,?0?<-x≤1≤1?x≤0? , 则下列函数的图像错误的是( )

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

识图与辨图

【例 2】 (1)(2013·四川)函数 y=3xx-3 1

的图像大致是

()

思维启迪 解析 答案 思维升华
(1)根据函数的定义域,特殊点

和函数值的符号判断;

(2)正确把握图像变换的特征, (2)已知 f(x)=?????-x2,x,?0?<-x≤1≤1?x≤0? , 结合 f(x)的图像辨识.
则下列函数的图像错误的是( )

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

识图与辨图

【例 2】

(1)(2013·四川)函数 y=3xx-3 1

思维启迪 解析 答案 思维升华
(1)由 3x-1≠0 得 x≠0,∴函数 y

的图像大致是

(

) =3xx-3 1的定义域为{x|x≠0},可

(2)已知 f(x)=?????-x2,x,?0?<-x≤1≤1?x≤0?

排当除x=选-项1A时;,y=?13--11?3=32>0, , 可排除选项 B;
当 x=2 时,y=1,当 x=4 时,y

则下列函数的图像错误的是 (

) =6840,但从选项 D 的函数图像可

以看出函数在(0,+∞)上是单调

递增函数,两者矛盾,可排除选

项 D.故选 C.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

识图与辨图

【例 2】 (1)(2013·四川)函数 y=3xx-3 1

的图像大致是

()

思维启迪 解析 答案 思维升华
(2)先在坐标平面内画出函数 y =f(x)的图像,再将函数 y=f(x)

的图像向右平移 1 个单位长度

即可得到 y=f(x-1)的图像,因

此 A 正确;

(2)已知 f(x)=?????-x2,x,?0?<-x≤1≤1?x≤0?



作函数 y=f(x)的图像关于 y 轴 的对称图形,即可得到 y=

则下列函数的图像错误的是( ) f(-x)的图像,因此 B 正确;

y=f(x)的值域是[0,2],因此 y

=|f(x)|的图像与 y=f(x)的图像

重合,C 正确;

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

识图与辨图

【例 2】 (1)(2013·四川)函数 y=3xx-3 1

的图像大致是

()

思维启迪 解析 答案 思维升华
y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且

是一个偶函数,当 0≤x≤1 时,

y=f(|x|)= x,相应这部分图像

(2)已知 f(x)=?????-x2,x,?0?<-x≤1≤1?x≤0? , 则下列函数的图像错误的是( )

不是一条线段,因此选项 D 不 正确.
综上所述,选 D.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

识图与辨图

【例 2】 (1)(2013·四川)函数 y=3xx-3 1

的图像大致是

( C)

思维启迪 解析 答案 思维升华
y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且

是一个偶函数,当 0≤x≤1 时,

y=f(|x|)= x,相应这部分图像

(2)已知 f(x)=?????-x2,x,?0?<-x≤1≤1?x≤0? ,
则下列函数的图像错误的是( D )

不是一条线段,因此选项 D 不 正确.
综上所述,选 D.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

识图与辨图

【例 2】

(1)(2013·四川)函数 y=3xx-3 1

思维启迪 解析 答案 思维升华
函数图像的识辨可从以下方面入手:

的图像大致是

( C ) (1)从函数的定义域,判断图像的左

右位置;从函数的值域,判断图像的

上下位置;

(2)从函数的单调性,判断图像的变

(2)已知 f(x)=?????-x2,x,?0?<-x≤1≤1?x≤0?

化趋势;
, (3)从函数的奇偶性,判断图像的对

则下列函数的图像错误的是( D )

称性; (4)从函数的周期性,判断图像的循

环往复; (5)从函数的特征点,排除不合要求

的图像.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)已知函数 f(x)=ln?x+11?-x,则 y=f(x)的图像大致为
(B )

解析 (1) (特殊值检验法)
当 x=0 时,函数无意义,排除选项 D 中的图像, 当 x=1e-1 时,f(1e-1)=ln?1e-1+11?-?1e-1?=-e<0,排除选项 A、

C 中的图像,故只能是选项 B 中的图像. (注:这里选取特殊值 x=(1e-1)∈(-1,0),这个值可以直接排除选

项 A、C,这种取特值的技巧在解题中很有用处)

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

跟踪训练 2 (2)把函数 y=f(x)=(x-2)2+2 的图像向左平移 1 个单

位,再向上平移 1 个单位,所得图像对应的函数解析式是 ( C )

A.y=(x-3)2+3

B.y=(x-3)2+1

C.y=(x-1)2+3

D.y=(x-1)2+1

解析 (2)把函数 y=f(x)的图像向左平移 1 个单位,即把其中 x 换成 x+1, 于是得 y=[(x+1)-2]2+2=(x-1)2+2, 再向上平移 1 个单位,即得到 y=(x-1)2+2+1 =(x-1)2+3.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

函数图像的应用

【例 3】 (1)当 0<x≤12时,4x<logax, 思维启迪 解析 答案 思维升华

则 a 的取值范围是

()

A.(0,

2 2)

B.( 22,1)

C.(1, 2)

D.( 2,2)

(2)(2013·湖南)函数 f(x)=2ln x 的

图像与函数 g(x)=x2-4x+5 的图

像的交点个数为

()

A.3 B.2 C.1 D.0

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

函数图像的应用

【例 3】 (1)当 0<x≤12时,4x<logax,

则 a 的取值范围是

()

A.(0,

2 2)

B.( 22,1)

C.(1, 2)

D.( 2,2)

(2)(2013·湖南)函数 f(x)=2ln x 的

图像与函数 g(x)=x2-4x+5 的图

思维启迪 解析 答案 思维升华
(1)可以通过函数 y=4x 和 y =logax 图像的位置、特征确 定 a 的范围; (2) 画 两 函 数 图 像 、 观 察 即 可.

像的交点个数为

()

A.3 B.2 C.1 D.0

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

函数图像的应用

【例 3】 (1)当 0<x≤12时,4x<logax,

则 a 的取值范围是

()

A.(0,

2 2)

B.( 22,1)

思维启迪 解析 答案 思维升华
解析 (1)方法一 ∵0<x≤12, ∴1<4x≤2,
∴logax>4x>1,∴0<a<1.

C.(1, 2)

D.( 2,2)

令 f(x)=4x,g(x)=logax,

(2)(2013·湖南)函数 f(x)=2ln x 的 当 x=12时,f(12)=2.(如图)

图像与函数 g(x)=x2-4x+5 的图

像的交点个数为

()

A.3 B.2 C.1 D.0

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

函数图像的应用

【例 3】 (1)当 0<x≤12时,4x<logax,

则 a 的取值范围是

()

思维启迪 解析 答案 思维升华



g(12)=loga12=2,∴a=

2 2.

A.(0,

2 2)

B.( 22,1)

又∵g(x)=logax,x0∈(0,1),

C.(1, 2)

D.( 2,2)

a1,a2∈(0,1)且 a1<a2 时,

(2)(2013·湖南)函数 f(x)=2ln x 的 图像与函数 g(x)=x2-4x+5 的图

log a2 x0 ? log a 1 x0 ,
∴要使当 0<x≤12时,4x<logax

像的交点个数为

( ) 成立,

A.3 B.2 C.1 D.0

需 22<a<1.故选 B.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

函数图像的应用

【例 3】 (1)当 0<x≤12时,4x<logax,

则 a 的取值范围是

()

思维启迪 解析 答案
方法二 ∵0<x≤12,

思维升华

A.(0,

2 2)

B.( 22,1)

∴1<4x≤2,∴logax>4x>1, ∴0<a<1,排除答案 C,D;

C.(1, 2)

D.( 2,2)

1
(2)(2013·湖南)函数 f(x)=2ln x 的 取 a=12,x=12,则有 42 =2,

图像与函数 g(x)=x2-4x+5 的图

像的交点个数为

()

1

log 1
2

2

=1,显然

4x<logax



A.3 B.2 C.1 D.0

成立,排除答案 A;故选 B.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

函数图像的应用

【例 3】 (1)当 0<x≤12时,4x<logax, 思维启迪 解析 答案 思维升华

(2)画出两个函数 f(x),g(x)的

则 a 的取值范围是

( ) 图像,

A.(0,

2 2)

B.( 22,1)

C.(1, 2)

D.( 2,2)

(2)(2013·湖南)函数 f(x)=2ln x 的

图像与函数 g(x)=x2-4x+5 的图

像的交点个数为

()

A.3 B.2 C.1 D.0

由图知 f(x),g(x)的图像的交点 个数为 2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

函数图像的应用

【例 3】 (1)当 0<x≤12时,4x<logax, 思维启迪 解析 答案 思维升华

(2)画出两个函数 f(x),g(x)的

则 a 的取值范围是

( B ) 图像,

A.(0,

2 2)

B.( 22,1)

C.(1, 2)

D.( 2,2)

(2)(2013·湖南)函数 f(x)=2ln x 的

图像与函数 g(x)=x2-4x+5 的图

像的交点个数为

(B )

A.3 B.2 C.1 D.0

由图知 f(x),g(x)的图像的交 点个数为 2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

函数图像的应用

【例 3】 (1)当 0<x≤12时,4x<logax,

则 a 的取值范围是

( B)

A.(0,

2 2)

B.( 22,1)

C.(1, 2)

D.( 2,2)

思维启迪 解析 答案 思维升华
(1)根据函数图像,可以比 较函数值大小,确定参数 范围;

(2)(2013·湖南)函数 f(x)=2ln x 的 (2)利用函数图像,可以解决

图像与函数 g(x)=x2-4x+5 的图

像的交点个数为

(B )

A.3 B.2 C.1 D.0

一些形如 f(x)=g(x)方程的 解或函数零点问题.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

跟踪训练 3 (1)已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f(x)=

x2,那么函数 y=f(x)的图像与函数 y=|lg x|的图像的交点共有( A )

A.10 个

B.9 个

C.8 个

D.1 个

(2)直线 y=1 与曲线 y=x2-|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围是 __1_<_a_<_54__.

解析 (1)观察图像可知,共有 10 个交点.

(2)y=?????xx22- +xx+ +aa, ,xx≥ <00,, 作出图像,如图所示. 此曲线与 y 轴交于(0,a)点,最小值为 a-14,要使

y=1 与其有四个交点,只需 a-14<1<a,∴1<a<54.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

高频小考点2

高考中的函数图像及应用问题

一、已知函数解析式确定函数图像

典例:(5 分)函数 y=f(x)的图像如图所示,则函数

y= log 1 f(x)的图像大致是
2

()

思维启迪

解析

温馨提醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

高频小考点2

高考中的函数图像及应用问题

一、已知函数解析式确定函数图像

典例:(5 分)函数 y=f(x)的图像如图所示,则函数

y= log 1 f(x)的图像大致是
2

()

思维启迪

解析

温馨提醒

根据函数的定义域、值域、单调性和特征点确定函数图像.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

高频小考点2

高考中的函数图像及应用问题

一、已知函数解析式确定函数图像

典例:(5 分)函数 y=f(x)的图像如图所示,则函数

y= log 1 f(x)的图像大致是
2

()

思维启迪

解析

温馨提醒

由函数 y=f(x)的图像知,当 x∈(0,2)时,f(x)≥1,
所以 log 1 f(x)≤0.
2
又函数 f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

高频小考点2

高考中的函数图像及应用问题

一、已知函数解析式确定函数图像

典例:(5 分)函数 y=f(x)的图像如图所示,则函数

y= log 1 f(x)的图像大致是
2

(C)

思维启迪

解析

温馨提醒

所以 y=log 1 f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数.
2
结合各选项知,选 C.

基础知识

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高频小考点2

高考中的函数图像及应用问题

一、已知函数解析式确定函数图像

典例:(5 分)函数 y=f(x)的图像如图所示,则函数

y= log 1 f(x)的图像大致是
2

(C)

思维启迪

解析

温馨提醒

(1)确定函数的图像,要从函数的性质出发,利用数形结合的思想. (2)对于给出图像的选择题,可以结合函数的某一性质或特殊点进 行排除.

基础知识

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思想方法

练出高分

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高频小考点2

高考中的函数图像及应用问题

二、函数图像的变换问题

典例:(5 分)若函数 y=f(x)的图像如图所示,则函数

y=-f(x+1)的图像大致为

()

思维启迪

解析

温馨提醒

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

高频小考点2

高考中的函数图像及应用问题

二、函数图像的变换问题

典例:(5 分)若函数 y=f(x)的图像如图所示,则函数

y=-f(x+1)的图像大致为

()

思维启迪

解析

温馨提醒

从 y=f(x)的图像可先得到 y=-f(x)的图像,再得 y=-f(x+1) 的图像.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

高频小考点2

高考中的函数图像及应用问题

二、函数图像的变换问题

典例:(5 分)若函数 y=f(x)的图像如图所示,则函数

y=-f(x+1)的图像大致为

(C)

思维启迪

解析

温馨提醒

要想由 y=f(x)的图像得到 y=-f(x+1)的图像,需要先将 y=f(x)

的图像关于 x 轴对称得到 y=-f(x)的图像, 然后再向左平移一个单位得到 y=-f(x+1)的图像,根据上述步

骤可知 C 正确.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

高频小考点2

高考中的函数图像及应用问题

二、函数图像的变换问题

典例:(5 分)若函数 y=f(x)的图像如图所示,则函数

y=-f(x+1)的图像大致为

(C)

思维启迪

解析

温馨提醒

(1)对图像的变换问题,从 f(x)到 f(ax+b),可以先进行平移变换, 也可以先进行伸缩变换,要注意变换过程中两者的区别. (2)图像变换也可利用特征点的变换进行确定.

基础知识

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思想方法

练出高分

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高频小考点2

高考中的函数图像及应用问题

三、图像应用 典例:(5 分)已知函数 y=|xx2--11|的图像与函数 y=kx-2 的图像恰
有两个交点,则实数 k 的取值范围是___________.

思维启迪

解析

温馨提醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

高频小考点2

高考中的函数图像及应用问题

三、图像应用 典例:(5 分)已知函数 y=|xx2--11|的图像与函数 y=kx-2 的图像恰
有两个交点,则实数 k 的取值范围是___________.

思维启迪

解析

温馨提醒

先作函数 y=|xx2--11|的图像,然后利用函数 y=kx-2 图像过(0, -2)以及与 y=|xx2--11|图像两个交点确定 k 的范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

高频小考点2

高考中的函数图像及应用问题

三、图像应用 典例:(5 分)已知函数 y=|xx2--11|的图像与函数 y=kx-2 的图像恰
有两个交点,则实数 k 的取值范围是_(_0_,1_)_∪__(_1_,4_)_.

思维启迪

解析

温馨提醒

根据绝对值的意义,y=|xx2--11|=?????x-+x1-?x1>?-1或1≤x<x-<11??., 在直角坐标系中作出该函数的图像,如

图中实线所示.根据图像可知,

当 0<k<1 或 1<k<4 时有两个交点.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

高频小考点2

高考中的函数图像及应用问题

三、图像应用 典例:(5 分)已知函数 y=|xx2--11|的图像与函数 y=kx-2 的图像恰
有两个交点,则实数 k 的取值范围是_(_0_,1_)_∪__(_1_,4_)_.

思维启迪

解析

温馨提醒

(1)本题求解利用了数形结合的思想,数形结合的思想包括“以形

助数”或“以数辅形”两个方面,本题属于“以形助数”,是指

把某些抽象的问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,

解释数学问题的本质. (2)利用函数图像也可以确定不等式解的情况,解题时可对方程或

不等式适当变形,选择合适的函数进行作图.

基础知识

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思想方法·感悟提高

方 1.列表描点法是作函数图像的辅助手段,要作函数图像



首先要明确函数图像的位置和形状:(1)可通过研究



函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调



性等等;(2)可通过函数图像的变换如平移变换、对



称变换、伸缩变换等;(3)可通过方程的同解变形,

如作函数 y= 1-x2的图像.

基础知识

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思想方法·感悟提高

2.合理处理识图题与用图题

(1)识图

对于给定函数的图像,要从图像的左右、上下分布范



围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值



域、单调性、奇偶性、周期性,注意图像与函数解析



式中参数的关系.



(2)用图 函数图像形象地显示了函数的性质,为研究数量关系



问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获

得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想

方法.常用函数图像研究含参数的方程或不等式解集

的情况.

基础知识

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失 误

(1)解题时要注意运用“以形助数”或“以数辅形”;



防 范

(2)要注意一个函数的图像自身对称和两个不同的函数

图像对称的区别.

基础知识

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A组 专项基础训练

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A组 专项基础训练

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1.函数 y=ln(1-x)的大致图像为

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( C)

解析 将函数 y=ln x 的图像关于 y 轴对折,得到 y=ln(-x)的 图像,再向右平移 1 个单位即得 y=ln(1-x)的图像.故选 C.

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2.函数 y=5x 与函数 y=-51x的图像关于

A.x 轴对称

B.y 轴对称

C.原点对称

D.直线 y=x 对称

9 10
( C)

解析 y=-51x=-5-x,可将函数 y=5x 中的 x,y 分别换成 -x,-y 得到,故两者图像关于原点对称.

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3.若 loga2<0(a>0,且 a≠1),则函数 f(x)=loga(x+1)的图像大致



( B)

解析 ∵loga2<0,∴0<a<1, 由 f(x)=loga(x+1)单调性可知 A、D 错误, 再由定义域知 B 选项正确.

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4.为了得到函数 y=lg x+ 103的图像,只需把函数 y=lg x 的图像

上所有的点

( C)

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度

B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度

C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

解析 y=lg x+ 103=lg(x+3)-1, 将 y=lg x 的图像向左平移 3 个单位长度得到 y=lg(x+3)的 图像, 再向下平移 1 个单位长度,得到 y=lg(x+3)-1 的图像.

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5.使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是

A.(-1,0)

B.[-1,0)

C.(-2,0)

D.[-2,0)

(A)

解析 在同一坐标系内作出 y=log2(-x),y=x+1 的图像, 知满足条件的 x∈(-1,0),故选 A.

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6.已知 f(x)=(13)x,若 f(x)的图像关于直线 x=1 对称的图像对 应的函数为 g(x),则 g(x)的表达式为__g_(x_)_=__3_x_-_2__.

解析 设 g(x)上的任意一点 A(x,y), 则该点关于直线 x=1 的对称点 B 为 B(2-x,y), 而该点在 f(x)的图像上. ∴y=(13)2-x=3x-2,即 g(x)=3x-2.

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7.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2x, x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)的最大值为___6_____.

解析 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的图像如图. 令 x+2=10-x,得 x=4. 当 x=4 时,f(x)取最大值,f(4)=6.

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8.已知函数 f(x)=???2x,

x≥2, 若关于 x 的方程 f(x)=k

???x-1?3, x<2.

有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是___(0_,_1_)__.

解析 画出分段函数 f(x)的图像如图所示,
结合图像可以看出,若 f(x)=k 有两 个不同的实根,也即函数 y=f(x)的图 像与 y=k 有两个不同的交点,k 的取 值范围为(0,1).

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9.已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0. (1)求实数 m 的值; (2)作出函数 f(x)的图像; (3)根据图像指出 f(x)的单调递减区间; (4)若方程 f(x)=a 只有一个实数根,求 a 的取值范围.

解 (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即 m=4.
(2)f(x)=x|x-4| =?????x-?xx-?x4-?=4?=?x--2??x2--24?,2+x≥4,4,x<4. f(x)的图像如图所示:

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9.已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0. (1)求实数 m 的值; (2)作出函数 f(x)的图象; (3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间; (4)若方程 f(x)=a 只有一个实数根,求 a 的取值范围.

(3)f(x)的减区间是[2,4].
(4)从 f(x)的图像可知,当 a>4 或 a<0 时,f(x)的图像与直线 y =a 只有一个交点,方程 f(x)=a 只有一个实数根,即 a 的取 值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).

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A组 专项基础训练

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10.已知函数 f(x)的图像与函数 h(x)=x+1x+2 的图像关于 点 A(0,1)对称. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=f(x)+ax,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求 实数 a 的取值范围.

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A组 专项基础训练

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解 (1)设 f(x)图像上任一点 P(x,y),

则点 P 关于(0,1)点的对称点 P′(-x,2-y)在 h(x)的图像上,

即 2-y=-x-1x+2, ∴y=f(x)=x+1x (x≠0). (2)g(x)=f(x)+ax=x+a+x 1,g′(x)=1-a+x2 1. ∵g(x)在(0,2]上为减函数, ∴1-a+x2 1≤0 在(0,2]上恒成立,即 a+1≥x2 在(0,2]上恒成立,
∴a+1≥4,即 a≥3,故 a 的取值范围是[3,+∞).

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B组 专项能力提升

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B组 专项能力提升

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1.已知函数 f(x)=?????xx22+ -22xx- -11, ,xx≥ <00,, 则对任意 x1,x2∈R,若

0<|x1|<|x2|,下列不等式成立的是

A.f(x1)+f(x2)<0

B.f(x1)+f(x2)>0

(D)

C.f(x1)-f(x2)>0

D.f(x1)-f(x2)<0

解析 函数 f(x)的图像如图所示: 且 f(-x)=f(x),从而函数 f(x)是偶函数且 在[0,+∞)上是增函数. 又 0<|x1|<|x2|, ∴f(x2)>f(x1),即 f(x1)-f(x2)<0.

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B组 专项能力提升

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2.函数 y=1-1 x的图像与函数 y=2sin πx (-2≤x≤4)的图像所有交

点的横坐标之和等于

A.2

B.4

C.6

D.8

(D)

解析 令 1-x=t,则 x=1-t. 由-2≤x≤4,知-2≤1-t≤4,所以-3≤t≤3.

又 y=2sin πx=2sin π(1-t)=2sin πt. 在同一坐标系下作出 y=1t 和 y=2sin πt 的图像.
由图可知两函数图像在[-3,3]上共有 8 个交点,
且这 8 个交点两两关于原点对称.

因此这 8 个交点的横坐标的和为 0,即 t1+t2+…+t8=0. 也就是 1-x1+1-x2+…+1-x8=0, 因此 x1+x2+…+x8=8.

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B组 专项能力提升

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3.若函数 f(x)=?2x-2+mm?x的图像如图,则 m 的取 值范围是__1_<_m_<_2__.

解析 ∵函数的定义域为 R,∴x2+m 恒不等于零,∴m>0. 由图像知,当 x>0 时,f(x)>0,∴2-m>0?m<2.

又∵在(0,+∞)上函数 f(x)在 x=x0(x0>1)处取得最大值, 而 f(x)=2x+-mmx ,
∴x0= m>1?m>1.综上,1<m<2.

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B组 专项能力提升

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4.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都满足 f(2+

x)=f(2-x).

(1)证明:函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称;

(2)若 f(x)是偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,

求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式.

(1)证明 设 P(x0,y0)是函数 y=f(x)图像上任一点, 则 y0=f(x0),点 P 关于直线 x=2 的对称点为 P′(4-x0,y0). 因为 f(4-x0)=f[2+(2-x0)]=f[2-(2-x0)]=f(x0)=y0, 所以 P′也在 y=f(x)的图像上,
所以函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称.

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B组 专项能力提升

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4.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都满足 f(2+

x)=f(2-x).

(1)证明:函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称;

(2)若 f(x)是偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,

求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式.

(2)解 当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2], 所以 f(-x)=-2x-1.又因为 f(x)为偶函数, 所以 f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈[-2,0].

当 x∈[-4,-2]时,4+x∈[0,2], 所以 f(4+x)=2(4+x)-1=2x+7,

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B组 专项能力提升

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4.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都满足 f(2+

x)=f(2-x).

(1)证明:函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称;

(2)若 f(x)是偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,

求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式.

而 f(4+x)=f(-x)=f(x),

所以 f(x)=2x+7,x∈[-4,-2].

所以 f(x)=?????2-x+2x7-,1x,∈x[∈-[4-,2- ,20]],.

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B组 专项能力提升

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5.已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}.

解 f(x)=??????-x-?x2-?22-?21+,1,x∈x?∈-?∞ 1,,31? ]∪[3,+∞? 作出函数图像如图.

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B组 专项能力提升

1

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5.已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}.

(1)函数的增区间为[1,2],[3,+∞); 函数的减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)在同一坐标系中作出 y=f(x)和 y=m 的图像,使两函数图 像有四个不同的交点(如图).
由图知 0<m<1,∴M={m|0<m<1}.

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