广东省深圳高级中学2010届高三一模数学理科试题

广东省深圳高级中学 2010 届高三一模

数学(理)

2010 年 2 月

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。每小题只有一个正确答案)。 1.设全集 U 是实数集 R , M ? {x | x ? ?2或x ? 2}, N ? {x | x 2 ? 4x ? 3 ? 0} ,则图中阴影

部分所表示的集合是

A.{x | ?2 ? x ? 1} B.{x | ?2 ? x ? 2}

C.{x |1 ? x ? 2} D.{x | x ? 2}

2、定义一种运算“*”:对于自然数 n 满足以下运算性质:

(i)1*1=1,(ii)(n+1)*1=n*1+1,则 n*1 等于

A.n

B.n+1

C.n -1

D.n2

3.复数 z1 ? 3 ? 4i, z2 ? 1? i ,i 为虚数单位,若 z22 ? z ? z1 ,则复数 z ?

A. ? 8 ? 6 i 55

B. ? 8 ? 6 i 55

C. 8 ? 6 i 55

D. 8 ? 6 i 55

?x ? 0

4.设

x,

y

满足约束条件

? ?

y

?

x

??4x ? 3

y

?

12

,则

x

? 2y ? x ?1

3

取值范围是

A. [1,5] B. [2,6]

C. [3,10]

D. [3,11]

5.对任意的实数 x ,有 x3 ? a0 ? a1(x ? 2) ? a2 (x ? 2)2 ? a3 (x ? 2)3 ,则 a2 的值是

A.3

B.6

C.9

D.21

6.数列{an}前 n

项和为

Sn

,已知 a1

?

1 3

,且对任意正整数 m, n ,都有 am?n

?

am

? an

,若 Sn

?

a

恒成立则实数 a 的最小值为

1 A. 2

B. 2 3

C. 3 2

D.2

7.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回,当三

种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取 5 次球时停止取球的概率为

A. 5 81

B. 14 81

C. 22 81

D. 25 81

8.已知为f ?x?为定义在?? ?,???上的可导函数,且f ?x? ? f ??x?和f ?x? ? 0

对于 x ? R恒成立,则有

A. f ?2? ? e2 ? f ?0?, f ?2010? ? e2010 ? f ?0?

B. f ?2? ? e2 ? f ?0?, f ?2010? ? e2010 ? f ?0?

C. f ?2? ? e2 ? f ?0?, f ?2010? ? e2010 ? f ?0?

D. f ?2? ? e2 ? f ?0?, f ?2010? ? e2010? f ?0?

二、填空题(本大题共 6 小题分,每小题 5 分,共 30 分。其中 14,15 小题为选做题,考生
从给出的二道选做题中选择其中一道作答,若二题全答的只计算前一题得分)
9.已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,向量 OA, OB,OC 满足 OA ? [ y ? 2 f '(1)]OB ? ln x ? OC , 2

则函数 y ? f (x) 的表达式为



10.若直线 l : ax ? by ?1 ? 0 (a ? 0,b ? 0) 始终平分圆 M :x2 ? y2 ? 8x ? 2 y ?1 ? 0 的周长,

则 1 ? 4 的最小值为



ab

11 .设函 数

f

(x)

?

ax ax ?1

(a

?

0, a

? 1)



[m]

表示不超过实数

m

的最大整数,则函数

[ f (x) ? 1] ?[ f (?x) ? 1] 的值域是



2

2

12.设 a ? 0且a ?1 ,函数 f (x) ? alg(x2 ?2x?3) 有最大值,则不等式

开始

loga (x2 ? 5x ? 7) ? 0

S←0

解集为



i←1

13.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,得到如下表所示的 数据.
观测次数 i 1 2 3 4 5 6 7 8

输入 ai

观测数据 ai 40 41 43 43 44 46 47 48

S←S + (ai ? a)2

i← i +1

在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其
中 a 是这 8 个数据的平均数),则输出的 S 的值是_______ .


i ≥ 8?
是 S ← S/8

输出 S

结束

14、(几何证明选做题)如图,PA 切⊙ O 于点 A,割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1,OA 绕点 O

逆时针旋转 60°到 OD,则 PD 的长为



15、(参数方程与极坐标选做题)在直角坐标系中圆 C

的参数方程为

? ? ?

x y

? ?

2 cos ? 2 ? 2sin?

(?

为参数),

若以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系

D

A

C

O

B

P

,则圆 C 的极坐标方程为___

__.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2 sin x cos2 ? ? cosx sin? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取
2
最小值.

(1)求? .的值;

(2)在 ? ABC 中, a,b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 2, f ( A) ? 3 ,求角 C.. 2

17。(本小题满分 12 分)连续做某种实验,结果或成功或失败,已知当第 k 次成功,则第 k+1

次也成功地概率为 1 ;当第 k 次失败,则第 k+1 次成功的概率为 3 。若首次试验成功和

2

4

失败的概率都是 1 ,求第 n 次试验成功的概率。 2

18.(本题满分 14 分) 在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是一直角梯, ?BAD ? 90 ? , AD // BC, AB ? BC ? a ,
AD ? 2a, PA ? 底面ABCD, PD 与底面成 30°角.
(1)若 AE ? PD, E 为垂足,求证: BE ? PD; (2)在(1)的条件下,求异面直线 AE 与 CD 所成
角的余弦值; (3)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的正切值.
2 0 0 7 0 4

19. (本题满分 14 分)如图, 为半圆,AB 为半圆直径,O 为
半圆圆心,且 OD⊥AB,Q 为线段 OD 的中点,已知|AB|=4,曲线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (2)过 D 点的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M、N,且 M 在 D、N 之间,设 DM =λ ,
DN 求λ 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x) ? x2 ? 2x .

(Ⅰ)数列{an}满足 : a1 ? 1, an?1 ? f ?(an ), 求数列{an } 的通项公式;

(Ⅱ)已知数列{bn}满足b1 ? t ? 0, bn?1 ? f (bn )(n ? N*) ,求数列{bn}的通项公式;

(Ⅲ)设 cn

?

bn ?1 bn?1

,

数列{cn

}

的前

n

项和为

Sn,若不等式 ?

?

Sn

对所有的正整数

n

恒成立,

求 ? 的取值范围。

21.(本小题满分 14 分)设函数 f(x) = x2 + bln(x+1), (1)若对定义域的任意 x,都有 f(x)≥f(1)成立,求实数 b 的值; (2)若函数 f(x)在定义域上是单调函数,求实数 b 的取值范围;

?n
(3)若 b = - 1,,证明对任意的正整数 n,不等式
k ?1

f ( 1 )<1 ? k

1 23

?

1 33

? ......

?

1 n3



成立

数学(理科)答案

2010 年 2 月

一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

选项

C

D

C

D

B

A

B

B

二、填空题:(本大题共须作 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填写在题横线上)

9、f(x)= ln x 2

10、 16

11、 {-1,0}

12、 (2,3)

13、7

14、 7

15、 ? ? 4sin?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 16、(本小题满分 12 分)
解: (1) f (x) ? 2sin x ?1? cos? ? cos x sin? ? sin x 2
? sin x ? sin x cos? ? cos x sin? ? sin x ? sin x cos? ? cos xsin? ? sin(x ??)

因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ?) ? ?1,由诱导公式知 sin? ?1 ,因为

0 ? ? ? ? ,所以? ? ? .所以 f (x) ? sin(x ? ? ) ? cos x

2

2

(2)因为 f ( A) ? 3 ,所以 cos A ? 3 ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? ? .又因为

2

2

6

a ? 1, b ?

2, 所以由正弦定理,得

a

?

b

,也就是 sin B ? b sin A ?

2?1 ?

2
,

sin A sin B

a

22

因为 b ? a ,所以 B ? ? 或 B ? 3? .

4

4

当 B ? ? 时, C ? ? ? ? ? ? ? 7? ;当 B ? 3? 时, C ? ? ? ? ? 3? ? ? .

4

6 4 12

4

6 4 12

17、(本小题满分 12 分)
解。 令AK ? {第 K 次试验成功},且 P( AK ) ? pK , k ? 1,2,3?, 则

P ? AK

?

?

?P AK-1

? P ? AK

|

AK-1

?

?

P

? ??

?
A K-1

? ??

P

? ??

AK

|

?
A K-1

? ??

?

1 2

P

?

AK-1

?

?

3 4

P

? ??

?
AK-1

? ??

?

1 2

P

? AK-1

?

?

3 4

??1

?

P

?

AK-1

???

?

3 4

?

1 4

P

? AK-1

?,k

?

2

即pk

?

3 4

?

1 4

pk

?1

,

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?6分

令PK

?

A

?

?

1 4

(pk ?1

?

A)

PK

?

?

1 4

pk

?1

?

5 4

A,

所以A

?

?

3 5

,PK

?

3 5

?

?

1 4

(pk ?1

?

3) 5

?{pk

?

3}是等比 5

列,PK

?

3 5

?

?

1 10

? ??

?1 4

?K-1 ??

? PK

?

3 5

?

1 10

? ??

?

1 4

? ??

K-1
,即Pn

?

3 5

?

1 10

? ??

?

1 4

n-1

? ?

,

?

n

?

N?

? ? ? ? ? ?12分

18.(本小题满分 14 分)

解法一:(1)? ?BAD ? 90 ? , ? BA ? AD

? PA ? 底面ABCD, BA ? PA.又? PA ? AD ? A, ? BA ? 平面PAD. ? PD ? 平面PAD. ? PD ? BA. 又? PD ? AE,且BA ? AE ? A, ? PD ? 平面BAE.

? PD ? BE,即BE ? PD.

…………4 分

(2)过点 E 作 EM//CD 交 PC 于 M,连结 AM,则 AE 与 ME 所成角即为 AE 与 CD 所成角.

? PA ? 底面ABCD,且PD与底面ABCD成30? 角. ? ?PDA ? 30?. ?在Rt?PAD中, ?PAD ? 90? , ?PDA ? 30? , AD ? 2a

? PA ? 2 3 a, PD ? 4 3 a.

3

3

? AE ?

PA? AD

?

23 3

a ? 2a

? a.

PD

4 3a

3

? PE ?

PA2

?

(2 3 a)2 3

?

3 a,CD ?

2a.

PD 4 3

3

a

3

? ME ? CD ? PE ? PD
连结AC.

2a ? 3 a 3?

2 a.

4 3a

4

3

? 在?ACD中AD ? 2a, AC ? 2a,CD ? 2a,

? AD2 ? AC2 ? CD 2 ,

? ?ACD ? 90? , ?CD ? AC, ? ME ? AC.

又? PA ? 底面ABCD,

? PA ? CD, ? ME ? PA.

? ME ? 平面PAC. ? MA ? 平面PAC,

?ME ? AM.

?在Rt?AME中, cos?MEA ? ME ? 2 . AE 4

∴异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值为 2 4
…………9 分 (3)延长 AB 与 DC 相交于 G 点,连 PG,则面 PAB 与面 PCD 的交线为 PG,易知 CB⊥平面 PAB,过 B 作
BF ? PG于F点,连CF,则CF ? PG,

? ?CFB为二面角 C ? PG ? A的平面角,

?

CB=//

1 2

AD,

?GB ? AB ? a, ?PDA ? 30? , PA ? 2 3 a, AG ? 2a. 3
? ?PGA ? 30? ,

? BF

?

1 GB ? 2

a , tan BFC ? 2

a a

? 2,

2

∴平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的正切值为 2.

解法二:(1)如图建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0), B(a,0,0), E(0, 1 a, 3 a),C(a, a,0), 22

D(0,2a,0), P(0,0, 2 3 a) 3

? BE ? (?a, 1 a, 3 a), PD ? (0,2a,? 2 3 a),

22

2

? BE ? PD ? (?a) ? 0 ? 1 a ? 2a ? 3 a ? (? 2 3 ) ? 0,

2

2

2

?BE ? PD

…………14 分 …………4 分

(2)由(1)知, AE ? (0, 1 a, 3 a), CD ? (?a, a,0) 22

设 A E与CD所成角为?

则cos? ? AE ? CD ? | AE | ? | CD |

1

3

0? (?a) ? a ? a ? a ? 0

2

2

? 2,

02 ? (1 a)2 ? ( 3 a)2 ? (?a)2 ? a2 ? 02 4

2

2

∴异面直线 AE 与 CD 所成角的余统值为 2 . 4

…………9 分

(3)易知, CB ? AB,CB ? PA,

则 CB ? 平面PAB. ?BC是平面PAB的法向量.

? BC ? (0, a,0).

又设平面PCD的一个法向量为m ? (x, y, z),

则m ? PC, m ? CD.而PC ? (a, a,? 2 3 a),CD ? (?a, a,0), 3
?由m ? PC ? 0, m ? CD ? 0.

? 得??ax

?

ay

?

2

3 3

az

?

0,

??? ax ? ay ? 0.

?x ? y, ??
?z ? 3y.

令y ? 1, ? m ? (1,1, 3)

设向量BC与m所成角为? ,

则cos? ? BC ? m ?

0?1? a?1? 0? 3

? a ? 5.

| BC | ? | m | 02 ? a 2 ? 02 ? 12 ? 12 ? ( 3)2 a ? 5 5

? tan? ? 2.
∴平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的正切值为 2.

…………14 分

19、(本小题满分 14 分)

解:(1)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,O 为原点,建立平面直角坐标系,

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 22 ? 12 ? 2 5 >|AB|=4. ∴曲线 C 为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆.

设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴a= 5 ,c=2,b=1.

∴曲线 C 的方程为 x2 +y2=1. 5
(2)设直线 l 的方程为 y=kx+2,
代入 x2 +y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0. 5

Δ =(20k)2-4×15(1+5k2)>0,得 k2> 3 .由图可知 DM ? x1 =λ

5

DN x2

由韦达定理得

???x1 ? ???x1

?

x2

?

? 1

20k ? 5k

?

x2

?

1

15 ? 5k 2

2

将 x1=λ x2 代入得

? ??(1 ?

?)2

x22

?

400k 2 (1 ? 5k 2 )2

?

????x2 2

?

15 1 ? 5k 2

两式相除得 (1 ? ?)2 ? 400k 2 ? 80

?

15(1 ? 5k 2 )

3(5

?

1 k2

)

?k2

?

3 ,?0 ? 5

1 k2

?

5 ,?5 ? 3

1 k2 ?5

?

20 ,即4 ? 3

3(

80 1 ? 5)

?

16 3

k2

?4 ? (1 ? ?)2 ? 16 ,?? ? DM ? 0,?解得 1 ? ? ? 3



?

3

DN

3

?? ? x1 ? DM , M 在 D、N 中间,∴λ <1



x2 DN

又∵当 k 不存在时,显然λ = DM ? 1 (此时直线 l 与 y 轴重合) DN 3
综合得:1/3 ≤λ <1.

20、(本小题满分 14 分)

解:(I) f ?(x) ? 2x ? 2 ,………1 分

? an?1 ? 2an ? 2 ?an?1 ? 2 ? 2 a(n ? 2 )

{an ? 2}为等比数列,?an ? 2 ? (a1 ? 2)2n?1 ? an ?3 ?2n?1 ?2…………4 分

(Ⅱ)由已知得 bn ? 0 , bn?1 ?1 ? (bn ?1)2 , ……1 分?lg(bn?1 ?1) ? 2 lg(bn ?1),

∴ 又 l gb(1 ? 1? ) t l?g (? 1所) 以0{, l gbn( ? 1的) }公 比 为 2 的 等 比 数 列 , ∴ bn ? (t ?1)2n?1 ?1 。………8 分

(Ⅲ)
k ? 1,2,?, n

ck ?1 ? bk2 ? 2bk ,

? bk

?

2

?

bk ?1 bk

,

ck

?

bk ?1 ? bk ?1

(bk

? 2) ?1 ?
bk ?1

1 bk

?1 bk ?1



? Sn ? c1 ? c2 ?

?

cn

?

1 ( b1

?

1 b2

)

?

1 ( b2

?

1 b3

)?

?( 1 bn

?

1 )
bn?1

?

1? t

(t

1 ? 1)2n

, ?1

t ? 0, ?t ?1 ? 1, ? Sn在n ? [1, ??) 上是增函数

? Sn

?

S1

?

1? t

(t

1 ? 1)2

?1

?

t ?1 t2 ? 2t

,

又不等式 ? ? Sn 对所有的正整数 n 恒成立,

??

?

t t2

?1 ? 2t

,

故?

的取值范围是 (??,

t

t
2

? ?

1 2t

)

…………14



21、(本小题满分 14 分)

解:(1)由 x + 1>0 得 x> – 1∴f(x)的定义域为( - 1,+ ∞),

对 x∈( - 1,+ ∞),都有 f(x)≥f(1),

∴f(1)是函数 f(x)的最小值,故有 f/ (1) = 0,

f / (x) ? 2x ? b ,? 2 ? b ? 0,

x ?1

2

解得 b= - 4.

(2)∵ f / (x) ? 2x ?

b

2x2 ? 2x ? b

?

,

x ?1

x ?1

又函数 f(x)在定义域上是单调函数,

∴f/ (x) ≥0 或 f/(x)≤0 在( - 1,+ ∞)上恒成立。

若 f/ (x) ≥0,∵x + 1>0,∴2x2 +2x+b≥0 在( - 1,+ ∞)上恒成立,

即 b≥-2x2 -2x = ? 2(x ? 1)2 ? 1 恒成立,由此得 b≥ 1 ;

22

2

若 f/ (x) ≤0, ∵x + 1>0, ∴2x2 +2x+b≤0,即 b≤-(2x2+2x)恒成立,

因-(2x2+2x) 在( - 1,+ ∞)上没有最小值,

∴不存在实数 b 使 f(x) ≤0 恒成立。

综上所述,实数

b

的取值范围是

? ??

1 2

,??

?? ?



(3)当 b= - 1 时,函数 f(x) = x2 - ln(x+1) 令函数 h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3,

则 h/(x) = - 3x2 +2x - 1 ? ? 3x3 ? (x ? 1)2 ,

x ?1

x ?1

∴当 x ? ?0,??? 时,h/(x)<0 所以函数 h(x)在 x ? ?0,??? 上是单调递减。

又 h(0)=0,∴当 x ? ?0,???时,恒有 h(x) <h(0)=0,

即 x2 – ln(x+1) <x3 恒成立.
故当 x ? ?0,???时,有 f(x) <x3..



k

?

N

?

,?

1 k

?

?0,???,



x

?

1 , 则有 k

f

(

1 k

)?

1 k3

,

? ∴

n k ?1

f

( 1 )<1 ? k

1 23

?

1 33

? ......

?

1 n3

,

故结论成立。


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