900757.com:2014高考数学一轮复习 圆锥曲线综合问题_图文

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第 70 课

圆锥曲线综合问题
a2 a2 ? 2


x2 y 2 1. (2012 广州调研)设椭圆 M : 2 ? ? 1 (a ? 2) 的右焦点为 F1 ,直线 l : x ? a 2 ???? ???? . x 轴交于点 A ,若 OF1 ? 2 AF1 ? 0 (其中 O 为坐标原点)
(1)求椭圆 M 的方程;
2

2 (2) P 是椭圆 M 上的任意一点,EF 为圆 N :x ? ? y ? 2 ? ? 1 的任意一条直径 E 、 设 (

??? ??? ? ? ,求 F 为直径的两个端点) PE ? PF 的最大值.
【解析】 (1)由题设知, A(

a2
2

a ?2 ???? ???? ???? ???? ∵ OF1 ? 2 AF1 ? 0 ,∴ OF1 ? 2 AF1
∴ a ? 2 ? 2(
2

, 0) , F1 ( a 2 ? 2, 0) ,

a2 a ?2
2

? a 2 ? 2) ,解得 a 2 ? 6 .

∴椭圆 M 的方程为 M :

x2 y2 ? ?1. 6 2
2

2 (2)设圆 N : x ? ? y ? 2 ? ? 1 的圆心为 N ,

则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP

??? ??? ? ?

?

??? ??? ? ?

??

???? ??? ?

?

???? ??? ? ???? ??? ? ? ? NF ? NP ? NF ? NP

?

??

?

??? 2 ???? 2 ??? 2 ? ? ? NP ? NF ? NP ? 1 .
从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值. ∵ P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P?x0 , y 0 ? ,

??? ??? ? ?

??? 2 ?

x y 2 2 ∴ 0 ? 0 ? 1,即 x 0 ? 6 ? 3 y 0 . 6 2
∵点 N ?0,2? , ∴ NP ? x 0 ? ? y 0 ? 2 ? ? ?2? y 0 ? 1? ? 12 .
2 2 2 2

2

2

∵ y0 ? ? ? 2, 2 ? ,

?

?

∴当 y 0 ? ?1 时, NP 取得最大值 12 . ∴ PE ? PF 的最大值为 11.
第 -1- 页

2

??? ??? ? ?

2. (2012 东城二模)已知椭圆 比是 2 : 3 . (1)求椭圆的方程;

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点 F1 (?1, 0) ,长轴长与短轴长的 a 2 b2

(2)过 F1 作两直线 m , n 交椭圆于 A , B , C , D 四点,若 m ? n ,求证: 定值.

1 1 ? 为 AB CD

?2a : 2b ? 2 : 3 ?a ? 2 ? ? 【解析】 (1)由已知得 ?c ? 1 ,解得 ? . ?b ? 3 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

证明: (2)由(1)知 F1 ? ?1,0 ? , 当直线 m 斜率不存在时,此时 AB ? 3, CD ? 4 ,

1 1 1 1 7 ? ? ? ? . AB CD 3 4 12

当直线 m 斜率存在时,设直线 m 的方程为 : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) .

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 ,得 ? 3 ? 4k ? x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
由于 ? ? 0 ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则有

8k 2 4k 2 ? 12 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
第 -2- 页

AB ?

(1 ? k 2 )[? x1 ? x2 ? ? 4 x1x2 ]
2
2

2 8k 2 2 4k 2 ? 12 12 ?1 ? k ? ? ?1 ? k ? [(? ) ? 4? ]? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

同理 CD ?

12(1 ? k 2 ) . 3k 2 ? 4

7 ?1 ? k 2 ? 1 1 3 ? 4k 2 3k 2 ? 4 7 ? ? ? ∴ ? . ? 2 2 AB CD 12 ?1 ? k ? 12 ?1 ? k ? 12 ?1 ? k 2 ? 12
综上,

1 1 7 ? 为定值 . AB CD 12

x2 ? y 2 ? 1 ( a ? 1 )的上顶点为 A ,右焦点为 F , 2 a 2 2 直线 AF 与圆 M : x ? y ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; ??? ???? ? (2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P 、 Q 两点,且 AP ? AQ ? 0 , 求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 2 2 【解析】 (1)∵圆 M : x ? y ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 y
3. (2012 汕头一模)如图,已知椭圆 C : ∴圆 M ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 3 ,
2 2

A

Q l F

∴圆 M 的圆心为 M (3,1) ,半径为 3 . ∴ A(0,1) , F (c,0) , a ? c ? 1 ,
2 2

x ∴直线 AF 的方程为 ? y ? 1 , c 即 x ? cy ? c ? 0 , ∵直线 AF 与圆 M 相切, 3? c ?c ? 3 ,∴ a ? 3 , ∴ 1 ? c2

O P

x

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x2 ? y 2 ? 1. 3 ??? ???? ? (2)由 AP ? AQ ? 0 ,知 AP ? AQ , ∴直线 AP 与坐标轴不垂直,由 A(0,1) , 可设直线 AP 的方程为 y ? kx ? 1 , 1 则直线 AQ 的方程为 y ? ? x ? 1(k ? 0) , k y ? kx ? 1 ? ? 2 2 由 ? x2 ,整理得: (1 ? 3k ) x ? 6kx ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?3 6k 解得 x ? 0 或 x ? ? , 1 ? 3k 2 6k 6k 2 ,? ? 1) , ∴ P 的坐标为 (? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 6k 1 ? 3k 2 , ). 即 (? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 6k k 2 ? 3 1 , ). 将上式中的 k 换成 ? ,得 Q ( 2 k ? 3 k2 ? 3 k k 2 ? 3 1 ? 3k 2 ? 2 2 6k k2 ?3 ∴直线 l 的方程为 y ? k ? 3 1 ? 3k ( x ? 2 , )? 2 6k 6k k ?3 k ?3 ? k 2 ? 3 1 ? 3k 2 4k 2 ? 1 1 x? , 化简得直线 l 的方程为 y ? 4k 2 1 因此直线 l 过定点 (0, ? ) . 2
∴椭圆 C 的方程为

4. (2012 广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心 a 2 b2

率e ?

2 ,且椭圆 C 上的点到 Q(0, 2) 的距离的最大值为 3 . 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2 )在椭圆 C 上,是否存在点 M (m, n) 使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x ? y ? 1相
2 2

交于不同的两点 A, B , ?O 且 A B 面积;若不存在,请说明理由. 【解答】 (1)∵ e ?

的面积最大?若存在, 求出点 M 的坐标及相对应的 ?OAB 的

c 2 2 2 1 2 2 2 ? ,∴ c ? a ,∴ b ? a , a 3 3 3
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设 P( x, y ) 是椭圆 C 上任意一点,则 ∴ x ? a (1 ?
2 2

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

y2 ) ? a2 ? 3 y2 , b2

∴ | PQ |?

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? a 2 ? 3 y 2 ? ( y ? 2) 2

? ?2( y ? 1) 2 ? a 2 ? 6 ,
当 b ? 1 时,当 y ? ?1 时, | PQ | 有最大值 a ? 6 ? 3 ,
2

∴ a ? 3 ,∴ b ? 1, c ? 当 b ? 1 时, | PQ |? ∴椭圆 C 的方程为

2,

a 2 ? 6 ? 3b 2 ? 6 ? 3 ,不合题意,

x2 y2 ? ? 1. 3 2

(2)在 ?AOB 中, OA ? OB ? 1 ,

1 1 1 OA ? OB ? sin ?AOB ? sin ?AOB ? , 2 2 2 1 ? 当且仅当 ?AOB ? 90 时, S ?AOB 有最大值 , 2
∴ S?AOB ? ∵当 ?AOB ? 90 时,点 O 到直线 AB 的距离为 d ?
?

2 , 2



1 m2 ? n2

?

2 2 2 ,即 m ? n ? 2 ,① 2

∵点 M (m, n) 在椭圆 C 上,∴

m2 n2 ? ? 1 ,② 3 2

由①②解得 m ?
2

6 2 3 1 2 ,? ). , n ? ,此时点 M (? 2 2 2 2

x2 y 2 2 5. (2012 韶关质检)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点 F 与抛物线 y ? 4 x 的焦点 a b
重合,且截抛物线的准线所得弦长为 2 ,倾斜角为 45 的直线 l 过点 F . (1)求该椭圆的方程;
?

第 -5- 页

(2)设椭圆的另一个焦点为 F1 ,问抛物线 y ? 4 x 上是否存在一点 M ,使得 M 与 F1 关于
2

直线 l 对称,若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,说明理由. 【解析】 (1)抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F (1,0) ,
2

准线方程为 x ? ?1 , ∵ 椭圆的一个焦点 F 与抛物线的焦点重合, ∴ F (1,0) , c ? 1 .∴ a ? b ? 1
2 2



∵椭圆截抛物线的准线所得弦长为 2 ,

∴抛物线的准线与椭圆的交点为 ( ?1, ? 由①、②解得 b ? 1 或 b ? ?
2

2 ) ,∴ 2

1 1 ? 2 ? 1, ② a2 b2

2

1 2 2 (舍去) ,从而 a ? b ? 1 ? 2 . 2

∴椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)∵ 倾斜角为 45 的直线 l 过点 F , ∴ 直线 l 的方程为 y ? x ? 1 , 由(1)知椭圆的另一个焦点为 F1 (?1,0) , 设 M ( x0 , y 0 ) 与 F1 关于直线 l 对称,

?

? y0 ? 0 ? x ? 1 ? 1 ? ?1 ? x0 ? 1 ? 则得 ? 0 , 解得 ? ,即 M (1,?2) . y 0 ? 0 x 0 ? ( ?1) ? y 0 ? ?2 ? ?1 ? 2 ? 2 ?
又 M (1,?2) 满足 y ? 4 x ,故点 M 在抛物线上.
2

∴抛物线 y ? 4 x 上存在一点 M (1,?2) ,使得 M 与 F1 关于直线 l 对称.
2

第 -6- 页

6. (2012 广州二模)已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2 : x ? 4 y 有一个相同的
2

焦点 F1 ,直线 l : y ? 2 x ? m 与抛物线 C2 只有一个公共点. (1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P ,当椭圆 C1 的长轴长取得最小值时,求椭圆 C1 的方程 及点 P 的坐标. 【解析】(1)由 ?

? y ? 2 x ? m, ?x ? 4 y
2

,得 x ? 8 x ? 4m ? 0 .
2

y

∵直线 l 与抛物线 C2 只有一个公共点, ∴ ? ? 8 ? 4 ? 4m ? 0 ,解得 m ? ?4 .
2

F1

P

∴直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 . (2)∵抛物线 C2 的焦点为 F1 (0,1) , ∴椭圆 C1 的两个焦点为 F1 (0,1), F2 (0,?1) . 设点 F1 (0,1) 关于直线 l 的对称点为 F1? ( x0 , y0 ) ,

F2

O
P0

F1?

x

? y0 ? 1 ? x ? 2 ? ?1, ? 则? 0 ? y0 ? 1 ? 2 ? x0 ? 4. ? 2 2 ?
解得 ?

? x0 ? 4, ∴点 F1? (4, ?1) . y 0 ? ?1 . ?
第 -7- 页

∴直线 l 与直线 F1? F2 : y ? ?1 的交点为 P0 ( ,?1) . 由椭圆的定义及平面几何知识得:椭圆 C1 的长轴长

3 2

2a ?| PF1 | ? | PF2 |?| PF1? | ? | PF2 |?| F1? F2 |? 4 ,
其中当点 P 与点 P0 重合时,上面不等式取等号. ∴当 a ? 2 时,椭圆 C1 的长轴长取得最小值,其值为 4. 此时椭圆 C1 的方程为

y2 x2 ? ? 1, 4 3

点 P 的坐标为 ( ,?1) .

3 2

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