最新高考数学知识整合 专题十一 平面向量的坐标运算及数量积 PPT课件_图文

专题十一 平面向量的坐标运算及数量积 专题十一 平面向量的坐标 运算及数量积 专题十一 │ 主干知识整合 主干知识整合 1.平面向量的数量积 a· b=|a||b|cosθ. 2.平面向量的坐标运算 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 加法 a+b=(x1+x2,y1+y2) 减法 a-b=(x1-x2,y1-y2) 数乘 λa=(λx1,λy1) 向量共线 距离公式 数量积 模 垂直 a∥b?x1y2-x2y1=0 → |= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 |AB a· b=x1x2+y1y2 2 |a|= x2 1+y1 a⊥b?x1x2+y1y2=0 专题十一 │ 主干知识整合 3.核心问题 (1)有关数量积的基本运算. (2)有关数量积的定值和最值问题. (3)用三角函数研究与向量有关的问题. 专题十一 │ 要点热点探究 要点热点探究 探究点一 平面向量的数量积基本运算 平面向量的数量积的基本运算主要包含以下几个方面: 一 是用定义法或坐标法求解数量积; 二是求解向量的模; 三是求 解向量的夹角. 例1 (1)设向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中 ? 0<α<β<π,若|2a+b|=|a-2b|,则 β-α=________. (2)在△ABC 中,AB=1,AC=2,O 为△ABC 外接圆的 →· → =________. 圆心,则AO BC 专题十一 │ 要点热点探究 π 3 (1) (2) 【解析】 (1)方法一:由|2a+b|=|a-2b|得 3a2+ 2 2 8a· b-3b2=0,即 a· b=0,从而 cos(β-α)=0.又 0<α<β<π,故 0<β π -α<π,所以 β-α= . 2 →、 →, →, → 方法二: 如图所示, 设向量 a、 b 分别对应于OA OB OC OD → ,DA → ,由于△OBC 对应于 2a、2b,则 2a+b,a-2b 对应于向量OE → |=|BC → |, → |=|BC → |, ≌△OAD, 故|DA 从而由题意得|OE 故四边形 OCEB π 为矩形,从而 β-α= . 2 专题十一 │ 要点热点探究 →· → =AO →· → -OB → )=AO →· → -AO →· →, (2)方法一:AO BC (OC OC OB → |=|OB → -OA → |,|AC → |=|OC → -OA → |, 又|AB → -OA → |2=OB → 2-2OB →· → +OA → 2=1, ? OA ?|OB 所以? → -OA → |2=OC → 2-2OC →· → +OA → 2=4, ? OA ?|OC →· → -AO →· → =3,故AO →· → =3. 即AO OC OB BC 2 2 方法二:过 O 作 OD 垂直于 BC,垂足为 D,因为 O 是三角形 ABC 的外接圆圆心, 所以 D 为线段 BC 的中点, → =AD → +DO → ,则AO →· → =(AD → +DO → )· → =AD →· → 所以AO BC BC BC 1 → → → → 1→2 1→2 3 = (AB +AC)· (AC-AB)= |AC | - |AB| = . 2 2 2 2 专题十一 │ 要点热点探究 【点评】 (1)向量夹角的研究方法有二:一是用向量的 a· b 数量积公式 cos〈a,b〉= ;二是用几何图形将角放置到 |a||b| 多边形中研究. (2) 本题的方法一是将所给向量之间的关系直接转化为 → ,OB → ,OC → 之间的关系,方法二是利用了外接圆的几何性 OA → ,BC → 转化为用基底向量AB → ,AC → 表示. 质将AO 专题十一│ 要点热点探究 → =λAB → ,若 等边三角形 ABC 中,P 在线段 AB 上,且AP →· → =PA →· → ,则实数 λ 的值是________. CP AB PB 2 1- 2 【解析】 P 在线段 AB 上,所以 0≤λ≤1,不 →· → =PA →· →, 妨设等边三角形 ABC 边长为 1,∵CP AB PB → +AP → )· → =PA →· → -AP → ), ∴(CA AB (AB →· → +AP →· → =PA →· → -PA →· →, 从而有CA AB AB AB AP 1 2 2 ∴- +2λ=λ ,解得 λ=1± . 2 2 2 又 0≤λ≤1,∴λ=1- . 2 专题十一 │ 要点热点探究 ? 探究点二 平面向量的数量积最值问题 与动点有关的向量数量积问题中最常见的问题是求动点构 造的向量的数量积的最值问题,此类问题一般需要建立与数量积 有关的函数,通过函数求最值. 例 2 如图 11-1 放置的边长为 1 的正方 形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴正半 →· → 的最大值是 轴上 ( 含原点 ) 上滑动,则 OB OC ________. 图 11-1 专题十一│ 要点热点探究 2 【解析】 设∠OAD=θ,则 OA=AD· cosθ=cosθ, 点 B 的坐标为(cosθ+cos(90° -θ),sin(90° -θ)),即 B(cosθ+ sinθ,cosθ), 同理可求得 C(sinθ,sinθ+cosθ), →· → = (cosθ + sinθ , cosθ)· 所 以 OB OC (sinθ , sinθ + cosθ) = 1 + →· → )max=2. sin2θ,所以(OB OC 专题十一│ 要点热点探究 【点评】 本题中 A,D 两点在移动,并且将这两点的动态 特征用三角函数表示,并由此三角函数求出 B,C 两点的坐标, 从而用三角函数求解其最值. 专题十一│ 要点热点探究 已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、 →· → 的最小值为

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