2010年浙江省杭州二模(数学文)word版

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2010年杭州市第二次高考科目教学质量检测 年杭州市第二次高考科目教学质量检测

数学试题卷(文科) 数学试题卷(文科)
一、选择题:每题 5 分,共 50 分 (1) 设集合 A= ? x | ?2 ≤ x p

? ?

1? ? , B = { x | 0 p x ≤ 1} , 则A I B等于 ( ) 2?
C. [-2,1] D. (0,

A. [0,

1 ] 2
0 1

B. (0,
2 2

1 ) 2
3 3 2

1 ] 2

(2)在 (C 4 +C4 x+C 4 x +C 4 x ) 的展开式中,所有项的系数和为( ) A.64 B.224 C. 225 D.256 (3)使“lgm<1”成立的一个充分不必要条件是( A. m ∈ (0, +∞) B. m ∈ {1, 2} ) D.m<1

C. 0 < m < 10

(4)如图,是一个几何体的三视图,侧视图与正视图均为矩形,俯视图为正三角形,尺寸如 图,则该几何体的侧面积为( ) A. 6 B. 12 3 C.24 D.3

开开

i=1,m=0,n=0
4

i<4

3
(第 4 题)

是 输输n i=i+1 结结

(5)如图,是一个算法的程序框图,该算法输出的结 果是( ) A.

m=m+1

(6)平面 α 的斜线 L 与平面 α 所成的角是 45°,则 L 与平面 α 内所有不过斜足的直线所成的角中, 最大的角 是( ) A.45° B.90° C.135° D.60°

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5

n=n+

1 m×i

(7)已知向量 a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ), e = (1, 0), 若a ≠ b, ? b = R, 且a ? b与e夹角为 , a

r

r

r

r

r r r

r r r

π

3

则x1 ? x2等于 ( )

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A. R

B. ±

3 R 2

C. ±

2 R 2

D. ±

1 R 2

(8)过双曲线

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)的一个焦点 F 引它的渐近线的垂线,垂足为 M,延长 a2 b2

FM 交 y 轴于 E,若 FM=ME, 则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 2 C.

3

D. 2
x x

(9)设函数 f(x)=ln(x-1)(2-x)的定义域是 A,函数 g ( x) = lg( a ? 2 ? 1) 的定义域是 B,若

A ? B ,则正数 a 的取值范围( )
A. a>3 B. a ≥ 3 C. a f

5

D. a ≥ 5

(10)如图,阴影是集合 P = {( x, y ) | ( x ? cos θ ) 2 + ( y ? sin θ ) 2 = 4, 0 ≤ θ ≤ π } 在平面直角坐 标系上表示的点集,则阴影中间形如“水滴”部分的面积等于( ) A.

π+ 3

B.

π +2
(11)若 sin(

7 π? 3 3

C.

11 π? 3 6

D.

二、填空题:共 7 小题,每小题 4 分

3π 3 ? 2 x) = , 则 tan 2 x等于 ______ 2 5
*

(12)依次写出数列 a1 = 1, a2 , a3 , ???, an ( n ∈ N ) 的法则 如下:如果 an 为自然数,则写

an +1 = an ? 2, 否则就写an +1 = an + 3, 则a6 = ______(注意 0 是自然数)
(13)已知 A,B 是圆 O: x 2 + y 2 = 16 上两点,且 AB = 6 ,若以 AB 为直径的圆 M 恰好经过 点 C(1,-1) ,则圆心 M 的轨迹方程是_______. (14)观察下列等式:

( x 2 + x + 1)0 = 1; ( x 2 + x + 1)1 = x 2 + x + 1; ( x 2 + x + 1)2 = x 4 + 2 x3 + 3 x 2 + 2 x + 1; ( x 2 + x + 1)3 = x 6 + 3 x5 + 6 x 4 + 7 x 3 + 6 x 2 + 3 x + 1;
可以推测 ( x 2 + x + 1) 4 展开式中,系数最大项是_______. (15)从 1 至 8 这八个自然数中,任取两个不同的数,这两个数的和是 3 的倍数的概率是___

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?x ? y +1 ≥ 0 y ?1 ? (16)如果实数 x,y 满足条件 ? y + 1 ≥ 0 ,则 的取值范围 ______ x ?1 ?x + y +1 ≤ 0 ?
(17)已知函数 f ( x) = x ? 5 + x + 3 + x ? 3 + x + 5 ? c ,若存在正常数 m, 使 f(m)=0,则不等 式 f(x)<f(m)的解集是______ 三、解答题:本大题 5 小题,共 72 分 (18)( 本 小 题 14 分 ) 在 △ ABC 中 , a, b, c 分 别 是 角 A ,B ,C 的 对 边

ur r ur r m = (2b ? c, cos C ), n = (a, cos A), 且m n.
(i)求角 A 的大小; (ii)记 B=x ,作出函数 y = 2sin x + cos(
2

π
3

? 2 x)的图像。

(19)(本小题 14 分)设数列 {an } 满足条件: a1 = 8, a2 = 0, a3 = ?7, 且数列 {an +1 ? an }

(n ∈ N * ) 是等差数列。Ks5u (I)设cn = an +1 ? an , 求数列{cn }的通项公式; ( II )求S n = c1 + c2 + ??? + cn ; ( III )数列{an }的最小项是第几项,并求出该项的值。

(20)(本题满分 14 分)如图,矩形 BCC1B1 所在平面垂直于三角形 ABC 所在平面,且

BB1 =CC1 =AC=2,AB=BC= 2, 又 E\F 分别是 C1A和C1B的中点 。
( I )求证:EF//平面ABC; (II)求证:平面EFC1 ⊥ 平面C1CBB1 (III)求异面直线AB与EB1所成的角。

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C1

B1 F E
C

B A

(21)(本题 15 分)已知函数 f ( x ) = x ?
3

1 2 x + bx + c. 2

(1)若f ( x)的图像有与x轴平行的切线,求b的取值范围; (2)若f ( x)在x = 1时取得极值,且x ∈ [?1, 2]时,f ( x) < c 2 恒成立,求c范围

(22)(本题 15 分)已知直线 l : y = kx + b,曲线M:y= x 2 ? 2 .

( I )若k = 1且直线与曲线恰有三个公共点时,求实数b的取值。 ( II )若b = 1, 直线与曲线M的交点依次为A,B,C,D四点,求 AB + CD 范围

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2010 年杭州市第二次高考科目教学质量检测 数学文科卷评分标准 数学文科卷评分标准
一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分, 满分 50 分. (1) B (2)C (6) B (7) D (3)B (8)D (4) C (9)B (5)C (10) C

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分, 满分 28 分. (11) 4 (14)19x4 (12) 1 (15)
2 2 (13) ( x ? 1) + ( y + 1) = 9

5 14

(16) [

1 ,2] 2

(17) (-m,m)

三、解答题: 本大题共 5 小题, 满分 72 分. 18 解: (Ⅰ)由 m// n 得 (2b ? c) ? cos A ? a cos C = 0 , 由正弦定理得 2 sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C = 0 , 3分
→ →

∴ 2 sin B cos A ? sin( A + C ) = 0 , ∴ 2 sin B cos A ? sin B = 0 ,
1 π ,∴ A = 2 3 π 2π (Ⅱ)化简得: y = sin( 2 x ? ) + 1 , x ∈ (0, ) , 6 3

Q A, B ∈ (0, π ) ∴ sin B ≠ 0, cos A =

. 3分

4分

列表(略) 图象如图

2分 2分
(第 18 题)

19 解:(Ⅰ) 因为数列 {a n +1 ? a n } 是等差数列, 首项 c1 = a2 ? a1 = ?8 ,公差 d = (?7 ? 0) ? (0 ? 8) = 1 , 所以 cn = ?8 + ( n ? 1) ? 1 = n ? 9 即 cn = n ? 9, n ∈ N * . (Ⅱ) 由 n ? 9 > 0 得 n >9, 所以,当 n ≤ 9 时, S n = ( ?c1 ) + ( ?c2 ) + L + ( ?cn ) =

4分

8 + (9 ? n) 17 n ? n 2 n= ; 2 2
5分

1 + ( n ? 9) n 2 ? 17 n + 144 ; 当 n > 9 时,S n = S9 + c10 + L + cn = 36 + ( n ? 9) = 2 2
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(Ⅲ) 由(1)得: an ? an ?1 = n ? 10 ( n ∈ N , n > 1) , 所以 an = ( an ? an ?1 ) + ( an ?1 ? an ? 2 ) + L + ( a2 ? a1 ) + a1 =

(n ? 10) + (n ? 11) + L + (?8) + 8 =

? 8 + (n ? 10) (n ? 1) + 8 2



1 2 (n ? 19n) + 17 . 2
当 n =9 或 10 时,第 9 及第 10 项的值最小为– 28. 20 解:(Ⅰ) 在△C1AB 中,∵E、F 分别是 C1A 和 C1B 的中点, ∴EF//AB, ∵AB?平面 ABC1,∴EF∥平面 ABC. (Ⅱ) ∵平面 BCC1B1⊥平面 ABC,且 BCC1B1 为矩形 ∴BB1⊥AB, 又在△ABC 中,AB2 + BC2= AC2 ,∴AB⊥BC,∴AB⊥平面 C1CBB1, ∴平面 EFC1⊥平面 C1CBB1 . (Ⅲ) ∵EF∥AB, ∴∠FEB1 是直线 AB 与 EB1 所成的角. 又∵ AB⊥平面 C1CBB1,∴ EF⊥平面 C1CBB1 . 在 Rt△EFB1 中,EF = 5分

4分

5分 2分

2 6 , B 1F = , ks5u 2 2
π 6 2 = 3 , ∠FEB1 = . 3 2 2 π . 3
3

∴tan∠FEB1 =

即求异面直线 AB 与 EB1 所成的角等于 分 21. (1) f ' ( x) = 3 x 2 ? x + b,

2分

f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,则 f ' ( x) = 0 有实数解,
即方程 3 x ? x + b = 0 有实数解,由 ? = 1 ? 12b ≥ 0, 得 b ≤
2 2

1 . 12

4分

(2)由题意, x = 1 是方程 3 x ? x + b = 0 的一个根,设另一根为 x 0 ,则

1 ? ? x0 + 1 = 3 , ? x0 = ? 2 , ? ∴? ? 3 b ? x0 × 1 = , ? b = ?2, ? 3 ? 1 ∴ f ( x) = x 3 ? x 2 ? 2 x + c, f ' ( x) = 3 x 2 ? x ? 2, 2

4分

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2 2 当 x ∈ (?1,? ) 时, f ' ( x) > 0; 当 x ∈ (? ,1) 时, f ' ( x) < 0; x ∈ (1,2) 时, f ' ( x) > 0; 3 3 2 22 1 + c, 又 f (?1) = + c, f (2) = 2 + c, ∴当 x = ? 时, f (x) 有极大值 3 27 2

即当 x ∈ [?1,2] 时, f (x) 的最大值为 f (2) = 2 + c, ∵对 x ∈ [?1,2] 时, f ( x) < c 2 恒成立,∴ c 2 > 2 + c, 故 c 的取值范围为 (?∞,?1) ∪ (2,+∞).
ks5u

解得 c < ?1 或 c > 2,
5分

22 解(Ⅰ) 分两种情况: 1) ?

?y = x + b ? y = ?x + 2
2

有惟一解,即 x2 + x + b – 2 =0 在(– 2 , 2 )内有一解,

由△= 1 – 4b + 8 = 0, 得 b =

9 ,符合. 4

3分

2) 直线过点(– 2 ,0), 得 0 = – 2 + b ,得或 b = (Ⅱ) 由 ?

2.

2分

? y = x 2 ? 2 | x |≥ 2 ,得 x2 – kx – 3 =0, ? y = kx + 1
(k 2 + 1)(k 2 + 12) , 且 ?

则有: | AD |=

2 2 ≤k≤ . 2 2

2分

由?

? y = ? x 2 + 2 | x |< 2 ,得 x2 + kx –1 =0, ? y = kx + 1
(k 2 + 1)(k 2 + 4) ,且 k∈R.
2分

则有: | BC |=

所以 | AB | + | CD |=| AD | ? | BC |=

(k 2 + 1)(k 2 + 12) ?
=

(k 2 + 1)(k 2 + 4)
=

2分 ,且 ?

8 k 2 +1 k + 12 + k + 4
2 2

8 1+ 11 3 + 1+ 2 2 k +1 k +1

2 2 ≤k≤ . 2 2

令 t = k2 ,则 0 < t <

1 1 , y = (t + 1)(t + 12) ? (t + 1)(t + 4) , < t < 是增函数, 则 0 2 2
4分

所以, y ∈ [ 2 3 ? 2, 3 ) .

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