吉林省长春市实验中学2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题理201904020213

长春市实验中学 2018-2019 学年上学期期末考试

高二数学试卷 理

考试时间:120 分钟

分值:150 分

第Ⅰ卷 选择题(60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的.

1.抛物线 x2 ? 4 y 的准线与 y 轴的交点的坐标为( )

A. (0, ? 1 ) 2

B. (0, ?1)

C. (0, ?2)

2.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的逆否命题是( )

D. (0, ?4)

A.若 ab ? 0 ,则 a ? 0 C.若 ab ? 0 ,则 a ? 0

B. 若 a ? 0 ,则 ab ? 0 D. 若 ab ? 0 ,则 a ? 0

3.命题:“ ?x ? 1, 使得x2 ? 1 ”的否定( )

A. ?x ? 1, 都有x2 ? 1

B. ?x ? 1, 都有x2 ? 1

C. ?x ? 1, 都有x2 ? 1

D. ?x ? 1, 都有x2 ? 1

4.在空间直角坐标系中,点 A 在 z 轴上,它到点 (2 2, 5,1) 的距离是 13 ,则点 A 的坐

标是( )

A. (0, 0, ?1)

B. (0,1,1)

C. (0, 0,1)

D. (0, 0,13)

5.在如下电路中,条件 p :开关 A 闭合,条件 q :灯泡 B 亮,则 p 是 q 的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.在以下所给函数中,存在极值点的函数是( )

A. y ? ex ? x

B. y ? ln x ? 1 x

C. y ? ?x3

D. y ? sin x

x2
7.已知椭圆
a2

?

y2 25

?(1 a ? 5) 的两个焦点为 F1, F2 ,且

F1F2

? 8 ,弦 AB 经过焦点 F1 ,

则 ?ABF2 的周长为( )

A.10

B.20

C.2 41

D.4 41

8. 某单位为寻找高产稳定的菜种,选了 3 种不同的菜种进行实验,每一菜种在 5 块试验田

上试种,每块试验田的面积相同,试验产量情况如下表,则可估计其中既高产又稳定的菜种

是( )

A.甲

B.乙

C.丙

D.不确定

各试验田产量

品种

1

2

3

4

5

甲菜种

21.5

20.4

22.0

21.2

19.9

乙菜种

21.3

23.6

18.9

21.4

19.8

丙菜种

17.8

23.3

21.4

19.1

20.9

9.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,

1

丙持钱二百一十,凡三人俱出关,关税百钱,欲以钱数多少衰出之,问乙出几何?”其意为:“今

有甲带了 560 钱,乙带了 350 钱,丙带了 210 钱,三人一起出关,共需要交关税 100 钱,依照

钱的多少按比例出钱”,则乙应出(所得结果保留整数)( )

A.50

B.32

C.31

D.19

10.如图 1 是某学习小组学生在某次数学考试中成绩的茎叶图,1 号到 20 号同学的成绩依次
为 a1, a2 , a3,??a20 ,图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图,那么
该框图的输出结果是( )

7 789

8

0635

9

15248

10 3 5 1 7

11 4 5 7

12 8

图(1)

A. 12

B. 8

C. 9

D. 11

11.

f

(x)

?

1

x2

?

? sin(

?

x) ,

f

??x? 为

f

(x) 导函数,

4

2

则 y ? f ?? x? 的 图 象 大 致 是 ( ) A.

B.

C.

D.

12.过双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

0, b ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ?

0) ,作圆 x 2

?

y2

?

a2 4

的切线,

切点为 E ,延长 FE 交双曲线右支于点 P ,若 OE ? 1 (OF ? OP) ,则双曲线的离心率为 2

(  )

10 A.
2

10 B.
5

C. 10

D. 2

第Ⅱ卷 非选择题(90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.函数 y ? e?x 在 x ? 0 处的导数值是______.

2

14.已 知 双 曲 线 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1的 离 心 率 为

2 , 则 点 P(4,0) 到 C 的 渐 近 线 的 距 离 为

________.

15.函数 f (x) ? ?x ? cos x ,则使 f (x ?1) ? f (1? 3x) ? 0 的成立 x 范围是__________.

16.过抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点作斜率为 3 的直线与该抛物线交于 A, B 两点, A, B

在 y 轴上的正投影分别为 D, C ,若梯形 ABCD 的面积为 10 3 ,则 p ? ______.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 10 分)
已知函数 f ? x? ? 2 ln x ? x2 . (1)求函数 f ? x? 在 x ? 1 处的切线方程; (2)求函数 f ? x? 的单调区间和极值.

18.(本小题满分 12 分) 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院 抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊人数,得如下资料:

日期

1 月 10

5 月 10

2 月 10 日 3 月 10 日 4 月 10 日

6 月 10 日





昼夜温差 x ??C ?

10

11

13

12

8

6

就诊人数 y ?个?

22

25

29

26

16

12

该兴趣小组确定的研究方案是:先用 2、3、4、5 月的 4 组数据求线性回归方程,再用 1 月和 6

月的 2 组数据进行检验.

??

?

(1)请根据 2、3、4、5 月的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a ;

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得

到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

参考数据:11×25+13×29+12×26+8×16=1092,112+132+122+82=498.

参考公式:

n

n

? ? (xi ? x)( yi ? y)

xi yi ? nx y

b? ? i?1 n
? (xi ? x)2

? ?

i ?1 n

xi 2

?

2
nx

, a? ? y ? b?x

i ?1

i ?1

19.(本小题满分 12 分
如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD ? 底面 ABCD , PD ? DC ? 2 , E 是 PC 的中点, 作 EF ? PB 交 PB 于点 F . (1)证明 PB ? 平面 EFD ; (2)求二面角 C ? PB ? D 的大小.

3

20.(本小题满分 12 分)
已知抛物线 C : y2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点为 F ,点 P ?2, n??n ? 0? 在抛物线 C 上, PF ? 3 ,
直线 l 过点 F ,且与抛物线 C 交于 A, B 两点. (1)求抛???物? 线????C 的方程及点 P 的坐标; (2)求 PA? PB 的最大值.

21.(本小题满分 12 分)
如图,在五面体 ABCDPE 中, PD ? 平面ABCD , ?ADC ? ?BAD ? 90? , F 为棱 PA 的中点, PD ? BC ? 2 , AB ? AD ? 1 ,且四边形 CDPE 为平行四边形. (1)判断 AC 与平面 DEF 的位置关系,并给予证明; (2)在线段 EF 上是否存在一点 Q ,使得 BQ 与平面 PBC 所成角的
3 正弦值为 ?若存在,请求出 QE 的长;若不存在,请说明理由.
6

22.(本小题满分 12 分)

已知椭圆 C : x2 ? y2 ?(1 a ? b ? 0) 的离心率为 a2 b2

3 2 , F1, F2 分别

为椭圆的左、右焦点,点 P 为椭圆上一点, ?F1PF2 面积的最大值为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

( Ⅱ ) 过 点 A(4,0) 作 关 于 x 轴 对 称 的 两 条 不 同 直 线 l1, l2 分 别 交 椭 圆 于 M (x1, y1) 与 N (x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 ,证明:直线 MN 过定点,并求 ?AMN 的面积 S 的取值范围.

4


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