2014届不等式选讲专题(一)不等式性质

2014 届不等式选讲专题(一)
不等式的基本性质: (1)实数的有序性是___________________________________________. (证明不等式、比较数式大小的通性通法,还有那些方法?) (2)不等式的性质: ①__________________________________________________________(对称性) ②__________________________________________________________(传递性) ③__________________________________________________________(可加性) ④__________________________________________________________推轮 ⑤__________________________________________________________(可乘性) ⑥__________________________________________________________推论 ⑦__________________________________________________________(乘方性) ⑧__________________________________________________________(开方) (3)基本不等式 重要不等式_______________________________________ 基本不等式__________________________________________ 总的表达式__________________________________________ 三元基本不等式_______________________________________ 不等式推广__________________________________________ 【基本问题】 考点一:利用不等式性质、基本不等式、比较大小 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 例 1.比较 ( x ? 3)(x ? 7) 和 ( x ? 4)(x ? 6) 的大小

例 2:比较 a ? b ? 0, c ? d ? 0,

a b , 的大小 d c

例 3 若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则

b b?m ? (糖水的浓度问题) 。 a a?m

练习:若 0 ? a ? b ? 1 ,试比较 m ? a ?

1 1 与 n ? b ? 的大小. a b

2.分析法(不等式性) ; 例 2.对于实数 a, b, c 中,给出下列命题: ① 若a ? b, 则ac ? bc ;
2 2

② 若ac ? bc , 则a ? b ;
2 2
2

③ 若a ? b ? 0, 则a ? ab ? b ;
2

④ 若a ? b ? 0, 则

1 1 ? ; a b

b a ? ; ⑥ 若a ? b ? 0, 则a ? b ; a b a b 1 1 ? ⑦ 若c ? a ? b ? 0, 则 ; ⑧ 若a ? b, ? ,则 a ? 0, b ? 0 。 c?a c?b a b
⑤ 若a ? b ? 0, 则

其中正确的命题是______ 3.作商(常用于分数指数幂的代数式) ; 例 3:比较 a b , a b , (a, b ? R ) 的大小
a b b a ?

4.分子(或分母)有理化; 例 4.已知 e ? e
x ?x

。 ? ax, x ? 0 恒成立,求 a 的取值范围( a ? 2 )

5.寻找中间量或放缩法 ; 例 5(1) :设 a ? 2 , p ? a ?
2 1 , q ? 2 ? a ?4a?2 ,试比较 p, q 的大小; a?2

(2)设 a ? lg 0.4 , b ? 2 , c ? 0.4 ,则(
0.4 5

) (D) a >b>c ) (D) b ? c ? a
2

(A)c>b> a
?1

(B)b>c> a

(C) a >c>b
3

(3)若 x ? (e ,1), a ? ln x, b ? 2 ln x, c ? ln x, 则( (A) a ? b ? c (B) c ? a ? b (C) b ? a ? c
2 2

(4)已知 a , b , c 为 ? ABC 的三边,求证: a ? b ? c ? 2(ab ? bc ? ca)

6.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法
6 10 14 例 1:2013(8)设 a ? log 3 , b ? log 5 , c ? log 7 ,则()同真数

(A)c>b> a 7.利用函数的单调性; 例 1(1)若 a ? A. a ? b ? c

(B)b>c> a

(C) a >c>b

(D) a >b>c

ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则( 2 3 5
B. c ? b ? a

) D. b ? a ? c

C. c ? a ? b 1 t ?1 (2)设 a ? 0且a ? 1, t ? 0 ,比较 log a t和 log a 的大小; 2 2
x

例 2. (21)2013(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e ? ln(x ? m) (Ι )设 x ? 0 是 f (x ) 的极值点,求 m ,并讨论 f (x ) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 运用 例 3.21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) 满足 f ( x) ? f ?(1)e
x ?1

? f (0) x ?

1 2 x 。 2

(1)求 f (x) 的解析式及单调区间; (2)若 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b , (a ? 1)b 的最大值。 求 2

考点二:利用性质基本不等式求最值、范围(函数/线性规划、数形结合、不等式) 利用不等式性质 例 1(1)已知 ?1 ? x ? y ? 1 , 1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取值范围是______ (2)已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0, 则

c 的取值范围是______ a

? lg x , 0<x ? 10, ? (3)已知函数 f ? x ? ? ? 1 若 a,b,c 互不相等,且 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? , ?? x ? 6, x>10 ? 2
则 abc 的取值范围是( (A) ?1,10? ) (C) ?10,12? (D) ? 20, 24? (B) ? 5, 6 ?

(4)如如果正数 a 、 b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是_________ (5)若存在正数 x 使 2 x ( x ? a) ? 1 成立,则 a 的取值范围是( (A) (-∞,+∞) (B) (-2, +∞)
2

) (D) (-1,+∞)

(C) (0, +∞)

(6)如果关于 x 的不等式 5x ? a ? 0 的非负整数解是 0,1, 2,3 ,那么实数 a 的取值 范围是( ) . 45 ? a ? 80 A. B. 50 ? a ? 80 C. a ? 80 D. a ? 45

利用基本不等式,

a 2 ? b2 ? a ? b ? ab ? 2 a ? b ? c ? 33 abc 2 2 1?1 a b, ,

例 2(1)下列命题中正确的是 A、 y ? x ? B、 y ?

1 的最小值是 2 x x2 ? 3

x2 ? 2

的最小值是 2

4 ( x ? 0) 的最大值是 2 ? 4 3 x 4 D、 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最小值是 2 ? 4 3 x x y (2)若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是______ 1 1 (3)正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 ? 的最小值为______ x y 练习 (1) △ABC 在内角 A、 C 的对边分别为 a , c, B、 b, 已知 a ? b ? 2c 则 B 最大值为_____;
C、 y ? 2 ? 3 x ? (2).已知 x ? 0, y ? 0 , x, a, b, y 成等差数列, x, c, d , y 成等比数列,则

(a ? b)2 的最小值 cd

是 (A)0 (B)1 (C)2 时, (D)4
1 |a| ? 取得最小值 2|a| b

(3) 设 a ? b ? 2, b ? 0 , 则当 a a = 9. 已知不等式 ( x ? y)( ? A. 2
y x

1 x

a ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立, 则正实数 a 的最小值为 ( y
C. 6 D. 8

) .

B. 4

(4)已知 log ? ?2, 则 x ? y 的最小值是______ 例 3.如图 1, 把一块边长是 a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形, 再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是 多少时,才能使盒子的容积最大?

练习 (1)已知 x 2 ? 2 y 2 ? 1则 x 2 y 4 ? 1 的最大值是______(函数法、三元不等式、换元) (2)设 a, b, c ? 1 ,则 loga b ? 2logb c ? 4logc a 的最小值为( A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 ) . ) .

(3)设 a, b, c ? 0, a2 ? b2 ? c2 ? 3 ,则 ab ? bc ? ca 的最大值为(
3

A. 0

B. 1

C. 3

D.

3 3

(4)函数 f ( x) ? 3 x ?

12 ( x ? 0) 的最小值为_____________. x2

【综合运用】 已知椭圆 E:

x2 y2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,且过点 Q(1, ) , 2 a b 2 2

(1)求椭圆的方程; ( 2 ) 直 线 过 点 M ( 2,0) 交 椭 圆 于 A,B 两 点 ,点 P 在 直 线 x ? y ? 1 ? 0 上 , 且

OA ? OB ? t OP ,求 t 的最大值。


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