高中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习(二)

高中数学必修 5__第三章 《不等式》 复习知识点总结与练习 (二)

第三节

二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

[知识能否忆起] 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域: 不等式 Ax+By+C>0 Ax+By+C≥0 不等式组 表示区域 直线 Ax+By+C=0 某一侧的 所有点组成的平面区域 不包括边界直线 包括边界直线

各个不等式所表示平面区域的公共部分

(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定: 二元一次不等式所表示的平面区域的确定,一般是取不在直线上的点(x0,y0)作为测试 点来进行判定,满足不等式的,则平面区域在测试点所在的直线的一侧,反之在直线的另一 侧. 2.线性规划中的基本概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 由变量 x,y 组成的不等式(组) 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 等 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件的解(x,y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧 确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的方法. (1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号,把直 线画成实线;(2)特殊点定域,即在直线 Ax+By+C=0 的某一侧取一个特殊点(x0,y0)作为

测试点代入不等式检验,若满足不等式,则表示的就是包括该点的这一侧,否则就表示直线 的另一侧.特别地,当 C ≠0 时,常把原点作为测试点;当 C=0 时,常选点(1,0)或者(0,1) 作为测试点. 2.最优解问题 如果可行域是一个多边形, 那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值, 最优解 就是该点的坐标,到底哪个顶点为最优解,只要将目标函数的直线平行移动,最先通过或最 后通过的顶点便是.特别地,当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时,其最优 解可能有无数个.

二元一次不等式(组)表示平面区域

典题导入 x≥0, ? ?y≥0, (2011· 湖北高考)直线 2x+y-10=0 与不等式组? x-y≥-2, ? ?4x+3y ≤20 ) B.1 个 D.无数个

[例 1]

表示的平面区

域的公共点有( A.0 个 C.2 个

[自主解答] 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分). 4 直线 2x+y-10=0 恰过点 A(5,0),且斜率 k=-2<kAB=- ,即直 3 线 2x+y-10=0 与平面区域仅有一个公共点 A(5,0). [答案] B 由题悟法 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:直线定界,测试点定域.

注意:不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.测 试点可以选一个,也可以选多个,若直线不过原点,测试点常选取原点.

以题试法

x-y≥0, ? ? 1.(1)(2012· 海淀期中)若满足条件?x+y-2≤0, ? ?y≥a 指横、纵坐标都是整数的点,则整数 a 的值为( A.-3 C.-1 B.-2 D.0 )

的整点(x,y)恰有 9 个,其中整点是

x+y≥0, ? ? (2)(2012· 北京朝阳期末)在平面直角坐标系中, 不等式组?x-y+4≥0, ? ?x≤a 区域的面积是 9,则实数 a 的值为________. 解析:(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分,当 a=0 时,只有 4 个整点(1,1),(0,0),(1,0),(2,0);当 a=-1 时,正好增 加(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(2,-1),(3,-1)5 个整点, 故选 C. (2) 不等式组所表示的平面区域是如图所示的△ ABC ,且 A( -

所表示的平面

2,2),B(a,a+4),C(a,-a),若 a≤0,则有△ABC 的面积 S△ABC≤4,故 a>0,BC 的长为 1 2a+4,由面积公式可得△ABC 的面积 S△ABC= (a+2)· (2a+4)=9,解得 a=1. 2

答案:(1)C (2)1

求目标函数的最值

典题导入 x-y≥-1, ? ?x+y≤3, (1)(2012· 新课标全国卷)设 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0,

[例 2]

则 z=x-2y 的

取值范围为________.

x≥0, ? ? (2)(2012· 广州调研)已知实数 x,y 满足?y≤1, ? ?2x-2y+1≤0, 取得最小值时的最优解有无数个,则实数 a 的值为________.

若目标函数 z=ax+y(a≠0)

[自主解答] (1)依题意,画出可行域,如图阴影部分所示,显然, 1 z 当直线 y= x- 过点 B(1,2)时,z 取得最小值为-3;当直线过点 A(3,0) 2 2 时,z 取得最大值为 3,综上可知 z 的取值范围为[-3,3].

(2)画出平面区域所表示的图形,如图中的阴影部分所示,平移直线 ax+y=0,可知当 平移到与直线 2x-2y+1=0 重合,即 a=-1 时,目标函数 z=ax+y 的最小值有无数多个. [答案] (1)[-3,3] (2)-1

1 ? 若本例(2)条件变为目标函数 z=ax+y(a≠0)仅在点? ?2,1?处取得最小值,其它条件不 变,求 a 的取值范围. 解:由本例图知,当直线 ax+y=0 的斜率 k=-a>1, 即 a<-1 时,满足条件, 所求 a 的取值范围为(-∞,-1).

由题悟法 1.求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求.其关键是准确作出可行域,理解 目标函数的意义. 2.常见的目标函数有: (1)截距型:形如 z=ax+by. a z 求这类目标函数的最值常将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y=- x+ ,通过求 b b z 直线的截距 的最值间接求出 z 的最值. b (2)距离型:形如 z=(x-a)2+(y-b)2.

y-b (3)斜率型:形如 z= . x-a 注意:转化的等价性及几何意义. 以题试法 x+y≥0, ? ? 2. (1)设 z=2x+y, 其中 x, y 满足?x-y≤0, 若 z 的最大值为 6, 则 k 的值为________; ? ?0≤y≤k, z 的最小值为________. x+y≥2, ? ? (2)已知 O 是坐标原点, 点 A(1,0), 若点 M(x, y)为平面区域?x≤1, ? ?y≤2 则| OA + OM |的最小值是________. 解析: (1)在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 2x+y=6,结合图形分析可知,要使 z=2x+y 的最大值是 6,直线 y=k 必过直线 2x+y=6 与 x-y=0 的交点,即必过点(2,2),于是有 k=2; 平移直线 2x+y=6, 当平移到经过该平面区域内的点(-2,2)时, 相应直线在 y 轴上的截距达 到最小,此时 z=2x+y 取得最小值,最小值是 z=2×(-2)+2=-2. (2) 依 题 意 得 , OA + OM = (x + 1 , y) , | OA + OM | = ?x+1?2+y2可视为点(x,y)与点(-1,0)间的距离,在坐标平面内画出 题中的不等式组表示的平面区域,结合图形可知,在该平面区域内的 点中,由点(-1,0)向直线 x+y=2 引垂线的垂足位于该平面区域内,且与点(-1,0)的距离最 |-1+0-2| 3 2 小,因此| OA + OM |的最小值是 = . 2 2 答案:(1)2 -2 3 2 (2) 2

上的一个动点,

线性规划的实际应用

典题导入 [例 3] (2012· 四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克,B 原料 1 千克.每桶甲产

品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每 天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产 品中,公司共可获得的最大利润是( A.1 800 元 C.2 800 元 ) B.2 400 元 D.3 100 元

[自主解答] 设每天分别生产甲产品 x 桶, 乙产品 y 桶, 相应的 x+2y≤12, ? ? 利润为 z 元,则?2x+y≤12, ? ?x≥0,y≥0,

z=300x+400y,在坐标平面内画

出该不等式组表示的平面区域及直线 300x+400y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区 域内的点 A(4,4)时,相应直线在 y 轴上的截距达到最大,此时 z=300x+400y 取得最大值, 最大值是 z=300×4+400×4=2 800,即该公司可获得的最大利润是 2 800 元. [答案] C 由题悟法 与线性规划有关的应用问题,通常涉及最优化问题.如用料最省、获利最大等,其解题 步骤是:①设未知数,确定线性约 束条件及目标函数;②转化为线性规划模型;③解该线性规划问题,求出最优解;④调 整最优解. 以题试法 3.(2012· 南通模拟)铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及 每万吨铁矿石的价格 c 如下表: a A B 50% 70% b(万吨) 1 0.5 c(百万元) 3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿石 的最少费用为________百万元.

解析:可设需购买 A 铁矿石 x 万吨,B 铁矿石 y 万吨,

x≥0, ? ?y≥0, 则根据题意得到约束条件为? 0.5x+0.7y≥1.9, ? ?x+0.5y≤2, 目标函数为 z=3x+6y,画出不等式组表示的平面区域如图所示当目标函数经过(1,2)点 时目标函数取最小值,最小值为 zmin=3×1+6×2=15. 答案:15

第四节

基本不等式

[知识能否忆起] a+b 一、基本不等式 ab≤ 2 1.基本不等式成立的条件:a>0,b>0. 2.等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 二、几个重要的不等式 b a a2+b2≥2ab(a,b∈R); + ≥2(a,b 同号). a b a+b?2 ?a+b?2 a +b ab≤? ? 2 ? (a,b∈R);? 2 ? ≤ 2 (a,b∈R). 三、算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 ,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为: 2 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 四、利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则: (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p.(简记:积定和最 小) p2 (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 .(简记:和定积最大) 4 1.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均
2 2

为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现 错误. 2.对于公式 a+b≥2 ab,ab≤? a+b?2 ? 2 ? ,要弄清它们的作用和使用条件及内在联系,

两个公式也体现了 ab 和 a+b 的转化关系. 3.运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如 a2+b2≥2ab 逆用 a2+b2 a+b a+b?2 就是 ab≤ ; ≥ ab(a,b>0)逆用就是 ab≤? 2 2 ? 2 ? (a,b>0)等.还要注意“添、拆 项”技巧和公式等号成立的条件

利用基本不等式求最值

典题导入 4 [例 1] (1)已知 x<0,则 f(x)=2+ +x 的最大值为________. x (2)(2012· 浙江高考)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( 24 A. 5 C.5 28 B. 5 D.6 )

[自主解答] (1)∵x<0,∴-x>0, 4 ? 4 ? ∴f(x)=2+ +x=2-?-x+?-x??. x ? ? 4 4 ∵- +(-x)≥2 4=4,当且仅当-x= ,即 x=-2 时等号成立. x -x

? 4 ? ∴f(x)=2-?-x+?-x??≤2-4=-2, ? ?
∴f(x)的最大值为-2. 1 1 3? + =1. (2)∵x>0,y>0,由 x+3y=5xy 得 ? 5?y x? 1 3? 12y? 1 1 ? 3x 13 1 ?3x 12y? 13 1 ∴ 3x + 4y = · (3x + 4y)·? ? y+x? = 5 ? y +4+9+ x ? = 5 + 5 ? y + x ? ≥ 5 + 5 5 ×2 3x 12y · =5(当且仅当 x=2y 时取等号),∴3x+4y 的最小值为 5. y x [答案] (1)-2 (2)C

本例(2)条件不变,求 xy 的最小值. 解:∵x>0,y>0,则 5xy=x+3y≥2 x· 3y , 12 ∴xy≥ ,当且仅当 x=3y 时取等号. 25 12 ∴xy 的最小值为 . 25

由题悟法 用基本不等式求函数的最值, 关键在于将函数变形为两项和或积的形式, 然后用基本不 等式求出最值.在求条件最值时,一种方法是消元,转化为函数最值;另一种方法是将要求 最值的表达式变形, 然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值, 但无论哪种方 法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件. 以题试法 1.(1)当 x>0 时,则 f(x)= 2x 的最大值为________. x2+1

(2)(2011· 天津高考)已知 log2a+log2b≥1,则 3a+9b 的最小值为________. (3)已知 x>0,y>0,xy=x+2y,若 xy≥m-2 恒成立,则实数 m 的最大值是________. 解析:(1)∵x>0,∴f(x)= 2x 2 2 = ≤ =1, 1 x +1 x+ 2 x
2

1 当且仅当 x= ,即 x=1 时取等号. x (2)由 log2a+log2b≥1 得 log2(ab)≥1, a+2b 即 ab≥2,∴3a+9b=3a+32b≥2×3 (当且仅当 3a=32b,即 a=2b 时取等号). 2 又∵a+2b≥2 2ab≥4(当且仅当 a=2b 时取等号), ∴3a+9b≥2×32=18. 即当 a=2b 时,3a+9b 有最小值 18. (3)由 x>0, y>0, xy=x+2y≥2 2xy, 得 xy≥8, 于是由 m-2≤xy 恒成立, 得 m-2≤8, 即 m≤10.故 m 的最大值为 10. 答案:(1)1 (2)18 (3)10

基本不等式的实际应用

典题导入

[例 2] (2012· 江苏高考)如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴 在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米,某炮位于坐 1 标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx- (1+k2)x2(k>0)表 20 示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 1 [自主解答] (1)令 y=0,得 kx- (1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知 x>0,k>0, 20 20k 20 20 故 x= ≤ =10,当且仅当 k=1 时取等号. 2= 1+k k+1 2 k 所以炮的最大射程为 10 千米. 1 (2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka- (1+k2)a2 成立 20 ?关于 k 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根 ?判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0 ?a≤6. 所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标. 由题悟法 利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价、销售、税收、原材料”等,题 目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求 解. (2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基 本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. 以题试法 2.(2012· 福州质检)某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件,要使销售的总收入不 低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?

(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革 1 新和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入 (x2-600)万元作为技改费用,投入 50 6 1 万元作为固定宣传费用,投入 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量 a 5 至少应达到多少万件时, 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时 每件商品的定价. 解:(1)设每件定价为 t 元,

? t-25 ? 依题意,有?8- ×0.2?t≥25×8, 1 ? ?
整理得 t2-65t+1 000≤0,解得 25≤t≤40. 因此要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元. (2)依题意,x>25 时, 1 1 不等式 ax≥25×8+50+ (x2-600)+ x 有解, 6 5 150 1 1 等价于 x>25 时,a≥ + x+ 有解. x 6 5 150 1 ∵ + x≥2 x 6 150 1 · x=10(当且仅当 x=30 时,等号成立),∴a≥10.2. x 6

因此当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时,才可能使明年的销售收入不低于原 收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元.

练习题
[小题能否全取]

1.(教材习题改编)如图所示的平面区域 (阴影部分),用不等式表示为 ( ) A.2x-y-3<0 C.2x-y-3≤0 B.2x-y-3>0 D.2x-y-3≥0

解析:选 B 将原点(0,0)代入 2x-y-3 得 2×0-0-3=-3<0,所 以不等式为 2x-y-3>0.

x≥1, ? ? 2.(教材习题改编)已知实数 x、y 满足?y≤2, ? ?x-y≤0, 积是( )

则此不等式组表示的平面区域的面

1 A. 2 C.1

1 B. 4 1 D. 8

1 1 解析:选 A 作出可行域为如图所示的三角形,∴S△= ×1×1= . 2 2 x≥0, ? ? 3.(2012· 安徽高考)若 x,y 满足约束条件?x+2y≥3, ? ?2x+y≤3 A.-3 3 C. 2 解析:选 A B.0 D.3

则 z=x-y 的最小值是(

)

x≥0, ? ? 根据?x+2y≥3, ? ?2x+y≤3

得可行域如图中阴影部分所示,根据 z=x-y 得 y=x-z,平移直线

y=x,当其经过点(0,3)时取得最小值-3. 4.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是__________. x≤0, ? ? 解析:由可行域知不等式组为?0≤y≤1, ?2x-y+2≥0. ?

x≤0, ? ? 答案:?0≤y≤1, ? ?2x-y+2≥0 5.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人 50 元,请瓦工需 付工资每人 40 元,现有工人工资预算 2 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,则所请工人数的 约束条件是________. 50x+40y≤2 000, ? ? * 答案:?x∈N , ? ?y∈N*

1.(2012· 三明模拟)已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围为( A.(-24,7) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) ) B.(-7,24) D.(-∞,-24)∪(7,+∞)

解析:选 B 根据题意知(-9+2-a)· (12+12-a)<0. 即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24. x≤2, ? ? 2.已知实数对(x,y)满足?y≥1, ? ?x-y≥0, A.6 C.(2,2) B.3 D.(1,1)

则 2x+y 取最小值时的最优解是(

)

解析:选 D 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形,令 z =2x+y,y=-2x+z,作初始直线 l0:y=-2x,作与 l0 平行的直线 l,则直线经过点(1,1)时,(2x+y)min=3. x+2y≥2, ? ? 3.(2012· 山东高考)设变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤4, ? ?4x-y≥-1, 则目标函数 z=3x-y 的取值范围是( 3 ? A.? ?-2,6? C.[-1,6] ) 3 ? B.? ?-2,-1? 3? D.? ?-6,2?

解析: 选 A 不等式组表示的平面区域如图所示, 目标函 数的几何意义是直线在 y 轴上截距的相反数,其最大值在点 1 ? A(2,0)处取得,最小值在点 B? ?2,3?处取得,即最大值为 6,最 3 小值为- . 2 x-y≤0, ? ? 4.在不等式组?x+y≥0, ? ?y≤a 是( ) A.1 C.3 B.2 D.4

确定的平面区域中,若 z=x+2y 的最大值为 3,则 a 的值

解析:选 A 如图所示,作出可行域,是一个三角形区域,而由 图可知,目标函数 z=x+2y 在点 A(a,a)处取得最值,故 a+2a=3, 解得 a=1.

2x-y+2≥0, ? ? 5.(2012· 石家庄质检)已知点 Q(5,4),动点 P(x,y)满足?x+y-2≤0, ? ?y-1≥0, 值为( A.5 C.2 ) 4 B. 3 D.7

则|PQ|的最小

解析:选 A 不等式组所表示的可行域如图所示,直线 AB 的 方程为 x+y-2=0, 过 Q 点且与直线 AB 垂直的直线为 y-4=x-5, 3 1? 即 x-y-1=0,其与直线 x+y-2=0 的交点为? ?2,2?,而 B(1,1), 3 A(0,2),因为 >1,所以点 Q 在直线 x+y-2=0 上的射影不在线段 2 AB 上,则|PQ|的最小值即为点 Q 到点 B 的距离,故|PQ|min= ?5-1?2+?4-1?2=5. 6 . (2013· 山东烟台模拟 ) 已知 A(3 , 3) , O 是坐标原点,点 P(x , y) 的坐标满足

? 3x-y≤0, ?x- 3y+2≥0, ?y≥0,

设 Z 为 OA 在 OP 上的投影,则 Z 的取值范围是(

)

A.[- 3, 3 ] C.[- 3,3]

B.[-3,3] D.[-3, 3 ]

解析: 选 B 约束条件所表示的平面区域如图.OA 在 OP 上的投影为| OA |· cos θ=2 3 cos θ(θ 为 OA 与 OP 的夹角), ∵∠xOA=30° ,∠xOB=60° , ∴30° ≤θ≤150° , ∴2 3cos θ∈[-3,3]. 7.(2013· 成都月考)若点 P(m,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x +y<3 表示的平面区域内,则 m=________. 9+1| ?|4m- =4, 5 解析:由题意可得? ?2m+3<3, 答案:-3 y-2≤0, ? ? 8 . (2012· “ 江南十校 ” 联考 ) 已知 x , y 满足 ?x+3≥0, ? ?x-y-1≤0, ________. 解析:作出如图所示的可行域. x2+y2 表示可行域内的点到原点的距离的平方,易知在点 A(-3, -4)处取最大值(-3)2+(-4)2=25. 答案:25 9.(2012· 上海高考)满足约束条件|x|+2|y|≤2 的目标函数 z=y-x 的最小值是________.

解得 m=-3.

则 x2 + y2 的最大值为

解析:由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域,所以当 x=2,y=0 时, 目标函数 z=y-x 取得最小值-2.

答案:-2 x-y+5≥0, ? ? 10.画出不等式组?x+y≥0, ? ?x≤3 (1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点? 解:(1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及右下方 的点的集合.x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合, x≤3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合.

表示的平面区域,并回答下列问题:

?x-y+5≥0, 所以, 不等式组?x+y≥0, ?x≤3

表示的平面区域如图所示.

5 ? 结合图中可行域得 x∈? ?-2,3?,y∈[-3,8]. (2)由图形及不等式组知?

? ?-x≤y≤x+5, ?-2≤x≤3,且x∈Z. ?

当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点; 当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点; 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点; 所以平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个). 11.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个,生产一个卫 兵需 5 分钟,生产一个骑兵需 7 分钟,生产一个伞兵需 4 分钟,已知总生产时间不超过 10 小时.若生产一个卫兵可获利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生产一个伞兵可获利润 3 元. (1)用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 W(元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少? 解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y,

所以利润 W=5x+6y+3(100-x-y) =2x+3y+300.

(2)约束条件为 5x+7y+4?100-x-y?≤600, ? ? ?100-x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0,x∈Z,y∈Z, x+3y≤200, ? ? 整理得?x+y≤100, ? ?x≥0,y≥0,x∈Z,y∈Z, 目标函数为 W=2x+3y+300,如图所示,作出可行域. 初始直线 l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点 A 时,W 有最大值. 由?

?x+3y=200, ? ? ?x+y=100,

得?

?x=50, ? ? ?y=50,

最优解为 A(50,50),

所以 Wmax=550(元). 答:每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大,为 550 元. x-4y+3≤0, ? ? 12.变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1. y (1)设 z= ,求 z 的最小值; x (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围.

?x-4y+3≤0, 解:由约束条件?3x+5y-25≤0, ?x≥1
由?

作出(x,y)的可行域如图所示.

? ?x=1, ? ?3x+5y-25=0,

22? 解得 A? ? 1, 5 ? . 由?

? ?x=1, ?x-4y+3=0, ? ?x-4y+3=0, ?

解得 C(1,1).

由?

? ?3x+5y-25=0,

解得 B(5,2).

y y-0 (1)z= = 表示的几何意义是可行域中的点与原点 O 连线的斜率. x x-0 2 观察图形可知 zmin=kOB= . 5 (2)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方.结合图形可知,可行 域上的点到原点的距离中, dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29. 故 z 的取值范围为[2,29]. [小题能否全取] 1 1.(教材习题改编)函数 y=x+ (x>0)的值域为( x A.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.[2,+∞) )

B.(0,+∞) D.(2,+∞)

1 解析:选 C ∵x>0,∴y=x+ ≥2,当且仅当 x=1 时取等号. x 2.已知 m>0,n>0,且 mn=81,则 m+n 的最小值为( A.18 C.81 B.36 D.243 )

解析:选 A ∵m>0,n>0,∴m+n≥2 mn=18.当且仅当 m=n=9 时,等号成立. 3.(教材习题改编)已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为( )

1 A. 3 3 C. 4

1 B. 2 2 D. 3

1 1 9 3 1 解析:选 B 由 x(3-3x)= ×3x(3-3x)≤ × = ,当且仅当 3x=3-3x,即 x= 时等 3 3 4 4 2 号成立. 4 4.若 x>1,则 x+ 的最小值为________. x-1 4 4 解析:x+ =x-1+ +1≥4+1=5. x-1 x-1 4 当且仅当 x-1= ,即 x=3 时等号成立. x-1 答案:5 2 5 5.已知 x>0,y>0,lg x+lg y=1,则 z= + 的最小值为________. x y 解析:由已知条件 lg x+lg y=1,可得 xy=10. 2 5 则 + ≥2 x y y=5 时等号成立. 答案:2 2 5? 10 =2, 故? 当且仅当 2y=5x 时取等号. 又 xy=10, 即 x=2, ?x+y?min=2, xy

1 1.已知 f(x)=x+ -2(x<0),则 f(x)有 ( x A.最大值为 0 C.最大值为-4

)

B.最小值为 0 D.最小值为-4

1 1 解析: 选 C ∵x<0, ∴f(x)=- ??-x?+?-x??-2≤-2-2=-4, 当且仅当-x= , ? ? -x 即 x=-1 时取等号. 2.(2013· 太原模拟)设 a、b∈R,已知命题 p:a2+b2≤2ab;命题 q:? 则 p 是 q 成立的( ) B.充分不必要条件 a+b?2 a2+b2 ? 2 ?≤ 2 ,

A.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:选 B 命题 p:(a-b)2≤0?a=b;命题 q:(a-b)2≥0.显然,由 p 可得 q 成立, 但由 q 不能推出 p 成立,故 p 是 q 的充分不必要条件. x2+2 3.函数 y= (x>1)的最小值是( x-1 A.2 3+2 C.2 3 B.2 3-2 D.2 )

解析:选 A ∵x>1,∴x-1>0. x2+2 x2-2x+2x+2 x2-2x+1+2?x-1?+3 ∴y= = = x-1 x-1 x-1 ?x-1?2+2?x-1?+3 3 = =x-1+ +2 x-1 x-1 ≥2 3 ?x-1? +2=2 3+2. x-1

3 当且仅当 x-1= ,即 x=1+ 3时,取等号. x-1 4.(2012· 陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时 速为 v,则( ) B.v= ab a+b D.v= 2

A.a<v< ab a+b C. ab<v< 2

s 解析:选 A 设甲、乙两地的距离为 s,则从甲地到乙地所需时间为 ,从乙地到甲地 a s 2s 2ab 2ab 所需时间为 ,又因为 a<b,所以全程的平均速度为 v= = < = ab, b s s a+b 2 ab + a b 2ab 2ab > =a,即 a<v< ab. a+b 2b 5.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 aman=4a1,则 4 + 的最小值为( n 3 A. 2 25 C. 6 ) 5 B. 3 D.不存在 1 m

解析:选 A 设正项等比数列{an}的公比为 q,由 a7=a6+2a5,得 q2-q-2=0,解得 q=2. m+n-2 + - 由 aman=4a1,即 2 =4,得 2m n 2=24,即 m+n=6. 2 1 4? 5 1?4m n ? 5 4 3 1 4 1 4m n 故 + = (m+n)? ?m+n?=6+6? n +m?≥6+6=2,当且仅当 n =m时等号成立. m n 6 1 1 k 6.设 a>0,b>0,且不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于( a b a+b A.0 C.-4 B.4 D.-2 )

?a+b?2 ?a+b?2 b a 1 1 k 解析: 选C 由 + + ≥0 得 k≥- , 而 = + +2≥4(a=b 时取等号), a b a+b ab ab a b ?a+b?2 ?a+b?2 所以- ≤-4,因此要使 k≥- 恒成立,应有 k≥-4,即实数 k 的最小值等于 ab ab -4. 7.已知 x,y 为正实数,且满足 4x+3y=12,则 xy 的最大值为________. 3 ? ?4x=3y, ?x=2, ? 解析:∵12=4x+3y≥2 4x×3y,∴xy≤3.当且仅当? 即? 时 xy 4 x + 3 y = 12 , ? ? ? ?y=2 取得最大值 3. 答案:3 p 8.已知函数 f(x)=x+ (p 为常数,且 p>0)若 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,则实 x-1 数 p 的值为________. 解析:由题意得 x-1>0,f(x)=x-1+ p +1≥2 p+1,当且仅当 x= p+1 时取等 x-1

9 号,因为 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,所以 2 p+1=4,解得 p= . 4 9 答案: 4 9.(2012· 朝阳区统考)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品 可获得的总利润 y(单位:万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x2+18x-25(x∈ N*).则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元. 25? y y 解析:每台机器运转 x 年的年平均利润为 =18-? ?x+ x ?,而 x>0,故x≤18-2 25= x

8,当且仅当 x=5 时,年平均利润最大,最大值为 8 万元. 答案:5 8

10.已知 x>0,a 为大于 2x 的常数, (1)求函数 y=x(a-2x)的最大值; (2)求 y= 1 -x 的最小值. a-2x

解:(1)∵x>0,a>2x, 1 ∴y=x(a-2x)= ×2x(a-2x) 2 1 ?2x+?a-2x??2 a2 a a2 ≤ ×? = ,当且仅当 x= 时取等号,故函数的最大值为 . ? 2 ? 4 8 2 ? 8 a-2x a 1 (2)y= + - ≥2 2 2 a-2x 1 a a - = 2- . 2 2 2

a- 2 当且仅当 x= 时取等号. 2 故 y= 1 a -x 的最小值为 2- . 2 a-2x

1 9 11.正数 x,y 满足 + =1. x y (1)求 xy 的最小值; (2)求 x+2y 的最小值. 1 9 解:(1)由 1= + ≥2 x y 的最小值为 36. 1 9? 2y 9x (2)由题意可得 x+2y=(x+2y)? ?x+y?=19+ x + y ≥19+2 2y 9x 当 = ,即 9x2=2y2 时取等号,故 x+2y 的最小值为 19+6 2. x y 12.为了响应国家号召,某地决定分批建设保障性住房供给社会.首批计划用 100 万元 购得一块土地,该土地可以建造每层 1 000 平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑 高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高 20 元.已知建筑第 5 层楼房时, 每平方米建筑费用为 800 元. (1)若建筑第 x 层楼时, 该楼房综合费用为 y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和), 写出 y=f(x)的表达式; (2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,应把楼层建成几层?此时平均综合费 2y 9x · =19+6 2, 当且仅 x y 19 1 9 ·得 xy≥36,当且仅当 = ,即 y=9x=18 时取等号,故 xy xy x y

用为每平方米多少元? 解:(1)由题意知建筑第 1 层楼房每平方米建筑费用为 720 元, 建筑第 1 层楼房建筑费用为 720×1 000=720 000(元)=72 (万元), 楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高 20×1 000=20 000(元)=2(万元), 建筑第 x 层楼房的建筑费用为 72+(x-1)×2=2x+70(万元), 建筑第 x 层楼时,该楼房综合费用为 x?x-1? y=f(x)=72x+ ×2+100=x2+71x+100, 2 综上可知 y=f(x)=x2+71x+100(x≥1,x∈Z). (2) 设 该 楼 房 每 平 方 米 的 平 均 综 合 费 用 为 g(x) , 则 g(x) = 10?x2+71x+100? 1 000 =10x+ +710≥2 x x 1 000 10x· +710=910. x f?x?×10 000 10f?x? = = 1 000x x

1 000 当且仅当 10x= ,即 x=10 时等号成立. x 综上可知应把楼层建成 10 层,此时平均综合费用最低,为每平方米 910 元.


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