(全国通用版)2018_2019高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数的_图文

新课标导学 数 学 必修④ ·人教A版 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系 1 2 自主预习学案 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案 “物以类聚,人以群分”,之所以“分 群”、“分类”,是因为同类之间有很多共同 点,彼此紧密地联系. 我们现在研究的三角函数,同角的正弦、 余弦、正切之间有什么关系呢? 同角三角函数的基本关系式 1.公式 sin2α + cos2α=1_________. (1)平方关系:________ __ ________ sinα (2)商数关系:____________ cosα=tanα ______. 2.公式推导 如图,以正弦线 MP、余弦线 OM 和半径 OP 的长作为直角三角形三边长, 而且 OP=1. 由勾股定理,得 OM2+MP2=1,因此 x2+y2=1, 即 sin2α+cos2α=1. π sinα 根据三角函数的定义,当 α≠kπ+2(k∈Z)时,有cosα=tanα. 这就是说,同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1,商等于角 α 的正切. [知识点拨] 对同角三角函数基本关系式的理解 (1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任 意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关, 如 sin23α+cos23α=1 成立,但是 sin2α+cos2β=1 就不一定成立. (2)sin2α 是(sinα)2 的简写,读作“sinα 的平方”,不能将 sin2α 写成 sinα2,前 者是 α 的正弦的平方,后者是 α2 的正弦,两者是不同的,要弄清它们的区别,并 能正确书写. (3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的, sin2α+ sinα π cos α=1 对一切 α∈R 恒成立,而 tanα=cosα仅对 α≠2+kπ(k∈Z)成立. 2 3.常用的等价变形 ?sin2α=1-cos2α, ? 2 2 cos α = 1 - sin α, ? 2 2 sin α+cos α=1?? 2 sin α = ± 1 - cos α, ? 2 ? ?cosα=± 1-sin α; sinα=tanαcosα, ? ? sinα tanα=cosα?? sinα cosα=tanα. ? ? [ 拓展] 变形公式的应用要注意哪些方面? (1)使用变形公式 sinα=± 1-cos2α,cosα=± 1-sin2α时,“± ”号是由 α 的终边所在的象限确定的,而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题. (2)对这些关系式不仅要牢牢掌握,还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用). 7 15 1.已知 sinα=8,cosα= 8 ,则 tanα 等于 7 A.8 15 C. 7 15 B. 8 7 15 D. 15 ( D ) [ 解析] 7 8 sinα 7 15 因为 tanα=cosα= = 15 . 15 8 故选 D. 5 2.(2015· 福建文)若 sinα=-13,且 α 为第四象限角,则 tanα 的值等于( D ) 12 A. 5 5 C.12 12 B.- 5 5 D.-12 [ 解析] 5 12 因为 sinα=-13,且 α 为第四象限角,所以 cosα=13,所以 tanα= 5 -12,故选 D. cos80° 3.化简 1-sin2440° =______________ . [ 解析] 原式= 1-sin2?360° +80° ? = 1-sin280° = cos280° =|cos80° |=cos80° . 4.化简sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β=_____. 1 [解析] 原式=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β=sin2αcos2β+cos2αcos2β+ sin2β=cos2β(sin2α+cos2α)+sin2β=1. 互动探究学案 命题方向1 ?根据同角三角函数关系求值 1 典例 1 (1)已知 sinα=5,求 cosα,tanα 的值; 3 (2)已知 cosα=-5,求 sinα,tanα 的值. 1 [ 解析] (1)∵sinα=5>0,∴α 是第一或第二象限角. 当 α 为第一象限角时,cosα= 1-sin α= 2 1 2 6 sinα 6 1-25= 5 ,tanα=cosα= 12 ; 2 6 6 当 α 为第二象限角时,cosα=- 5 ,tanα=- 12 . 3 (2)∵cosα=-5<0,∴α 是第二或第三象限角. 当 α 是第二象限角时,sinα>0,tanα<0, ∴sinα= 1-cos α= 2 32 4 sinα 4 1-?-5? =5,tanα=cosα=-3; 32 4 sinα 4 1-?-5? =-5,tanα=cosα=3. 当 α 是第三象限角时,sinα<0,tanα>0, ∴sinα=- 1-cos α=- 2 『规律总结』 在使用开平方关系 sinα=± 1-cos2α和 cosα=± 1-sin2α时, 一定要注意正负号的选取,确定正负号的依据是角 α 所在的象限,如果角 α 所在 的象限是已知的,则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号;如果角 α 所在 的象限是未知的,则需要按象限进行讨论. 4 〔跟踪练习 1〕 已知 sinα=-5, 并且 α 是第三象限的角, 求 cosα、 tanα 的值. [ 解析] 2 ∵sin2α+cos2α=1, 2 42 9 ∴cos α=1-sin α=1-(-5) =25. 又∵α 是第三象限角,∴cosα<0 即 cosα=- 9 3 25=-5, sinα 4 5 4 ∴tanα=cosα=(-5)×(-3)

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