四川省雅安市2018届高三数学上学期第一次月考试题理2017092601170

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四川省雅安市 2018 届高三数学上学期第一次月考试题 理
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1.下列函数既是奇函数,又在 ?0, ??? 上为增函数的是( )

A. y ? 1 x

B. y ? x

2.设,则“”是“”的(

C.

y

?

2x

?

? ??

1 2

?x ??

)条件

D. lg ? x ?1?

A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

3.已知函数 f ? x? 为奇函数,且当 x ? 0时, f (x) ? x2 ? 1 ? 0 ,则 f (?1) ? (

)

x

A. -2 B. 0 C. 1 D. 2

4.下列等式成立的是( )

A. ab ? a· b B. ?a ? b?2 ? a ? b

C. a ?a ? ?a3

D. ? 1 ? ? 1 ?a aa

? ? ? ? 5.已知 M ? y | y ? x2, x ?R , N ? y | x 2 ? y 2 ? 1, x ?R, y ?R ,则 M ? N ? ( )

A. ??2,2? B. ?0,2? C. ?0,1? D. ??1,1?

6.已知函数

f

?x?

?

sin

? ??

?

x

?

? 3

? ??

(?

?

0)

的最小正周期为 ?

,若将函数

f

?

x?

的图象向右平

移 ? 个单位,得到函数 g ? x? 的图象,则函数 g ? x? 的解析式为( )
12

A.

g

?

x?

?

sin

? ??

4x

?

? 6

? ??

B.

g

?

x?

?

sin

? ??

4x

?

? 3

? ??

C.

g

?

x?

?

sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

D. g ? x? ? sin2x

-1-

? ? 7.已知奇函数

f

? x? 在 R 上是增函数,若 a

?

?

f

? ??

log

2

1 5

? ??



b

?

f

?log2 4.1?,

c

?

f

20.8



则 a,b, c 的大小关系为( )

A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. c ? a ? b
8.已知 a ? ?cos?,sin? ?, b ? ?cos??? ?,sin ??? ?? ,那么“ a ? b ? 0 ”是“? ? k? ? ? 4
?k ? Z ? ”的( )

A . 充分不必要条件

B . 必要不充分条件

C . 充要条件

D . 既不充分也不必要条件

9.设函数 f ? x? 的导函数为 f ?? x? ,若 f ? x? 为偶函数,且在 ?0,1? 上存在极大值,则 f ?? x?

的图象可能为( )

A.

B.

C.

D.

10.定义在 R 上的函数 f ? x? 满足 f ? x ? 2? ? f ?x? ,当 x ??3,5?时, f ? x? ? 2 ? x ? 4 ,

则下列不等式一定不成立的是( )

A.

f

? ??

cos

? 6

? ??

?

f

? ??

sin

? 6

? ??

B. f ?sin1? ? f ?cos1?

C.

f

? ??

cos

2? 3

? ??

?

f

? ??

sin

2? 3

? ??

D. f ?sin2? ? f ?cos2?

11.已知 f ?x? ? Acos ??x ??? ( A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? ? )是定义域为 R 的奇函数,
2

且 当 x ? 3 时 , f ? x? 取 得 最 小 值 ?3 , 当 ? 取 最 小 正 数 时 ,

f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ??? f ?2017? 的值为( )

A. 3 2

B. ? 3 2

C. 1 D. ?1

12.已知函数

f

?x? 满足

f

? x ?1? ?

f

?

1
x?

?

1

,当

x

??0,1?

时,

f

?x?

?

? ??

1 2

x
? ??

,若在区间

-2-

??1,1? 上,方程 f ? x? ? x2 ? m 只有一个解,则实数 m 的取值范围为( )

A.

????1,

?

1 2

? ??

??1?

B.

? ??

?1,

?

1 2

? ??

?

?1?

C.

? ??

?1,

?

1 2

? ??

D. ??1,1?

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13.已知 sin? ? cos? ? 2 ,则 tan? ? __________. sin? ? cos?
? 3
? 14. ?2x ? sinx? dx =________________。
0
15.已知? ? 0 ,在函数 y ? sin?x 与 y ? cos?x 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距
离为 3 ,则? 值为__________.

16.设函数在上的导函数为,对有,且在上有,若,则实数的取值范围是__________.

三、解答题(共 6 道小题,共 70 分)
17.(本小题满分 10 分)设命题 p :实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q : 实数 x 满足 x ? 3 ? 0 .
x?2 (1)若 a ?1,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x? ? 2 3sinxcosx ? 2cos2x ?1, (I)求 f ? x? 的最大值和对称中心坐标; (Ⅱ)讨论 f ? x? 在?0,? ?上的单调性。
-3-

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x? ? Asin ??x ?? ? (A ? 0,? ? 0, ? ? ? ) 的部分图象
2
如图所示.
(1) 求函数 f ? x? 的解析式;

(2) 如何由函数 y ? 2sinx 的通过适当图象的变换得到函数 f ? x?

的图象, 写出变换过程;

(3)



f

?? ?? 4

? ??

?

1 2

,求

sin

? ??

? 6

??

? ??

的值.

20.(本小题满分 12 分)设函数 f (x) ? ln x ? m , m ? R . x

(Ⅰ)当

( 为自然对数的底数)时,求 f (x) 的极小值;

(Ⅱ)若对任意正实数 a 、b ( a ? b ),不等式 f ?a? ? f ?b? ? 2 恒成立,求 的取值范围.
a?b

21.(本小题满分 12 分)函数 f ? x? ? x2 ? 2ax ? ln x?a ? R? .
? ? (I)函数 y ? f ? x? 在点 1, f ?1? 处的切线与直线 x ? 2 y ?1 ? 0 垂直,求 a 的值;
(II)讨论函数 f ? x? 的单调性; (III)不等式 2x ln x ? ?x2 ? ax ? 3 在区间 ?0, e? 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

-4-

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) 对任意实数 x, y 恒有 f (x ? y) ? f (x) ? f ( y) ,且当

x ? 0时, f (x) ? 0 ,又 f (1) ? ?2 .

(1)判断 f (x) 的奇偶性;

(2)求证: f (x) 是 R 上的减函数;

(3)求 f (x) 在区间[-3,3]上的值域;

(4)若? x∈R,不等式 f (ax2 ) ? 2 f (x) ? f (x) ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围.

1.C

参考答案

【解析】A 中函数是奇函数,但是在 ?0, ??? 单调递减,不符。B 是偶函数。D 是非奇非偶函数。

C 中 f ??x? ? 2?x ? 2x ? ? f ? x?是奇函数,且在 ?0, ??? 上为增函数。选 C.

2.A 【解析】由“|x+1|<1”得-2<x<0, 由 x2+x﹣2<0 得-2<x<1, 即“”是“”的充分不必要条件, 故选:A. 3.A
【 解 析 】 ∵ 函 数 f ?x? 为 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , ∴ f ??1? ? ?f ?1? ? ??1?1? ? ?2 ,

f ?x? ? x2 ? 1 ,
x

故选:A 4.D 【解析】利用排除法逐一考查所给的选项:

A 中,当 a ? 0,b ? 0 时等式不成立;

-5-

B 中,当 a ? b ? 0 时等式不成立; C 中,当 a ? 0 时等式不成立;
本题选择 D 选项. 5.C
? 【解析】由 A 中, y ? x2 ? 0 ,得到 M ? 0, ??? ,由 N 中 x2 ? y2 ? 1 ,得到 y ? 1 ,即

N ? ???,1?,则 M ? N ? ?0,1? ,故选 C.

6.C

【解析】由函数

f

?

x? ? s i n????

x?

? 3

? ??

?(

?

0的) 最 小 正 周 期 为 ? 可 知 :

??2 ,即

f ? x? ? s i n???

2x?

? 3

? ??



将 函 数 f ?x? 的 图 象 向 右 平 移 ? 个 单 位 , 可 得 :
12

g

?

x

?

?

sin

???2

? ??

x

?

? 12

? ??

?

? 3

? ??

?

sin

? ??

2x

?

? 6

? ??



故选:C

7.C

【解析】由题意:

a?

f

? ??

?log

2

1 5

? ??

?

f ?log25? ,

且: log2 5 ? log2 4.1 ? 2,1 ? 20.8 ? 2 ,

据此: log2 5 ? log2 4.1 ? 20.8 ,
? ? 结合函数的单调性有: f ?log25? ? f ?log2 4.1? ? f 20.8 ,

即 a ? b ? c,c ? b ? a .

本题选择 C 选项. 【考点】 指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题,指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函 数,借助指数函数和对数函数的图象,利用函数的单调性进行比较大小,特别是灵活利用函 数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小,还可以解不等式.

-6-

8.B

【解析】 a ?b ? 0 ? cos? ? co(s ??)? sin? ? si(n ??)? cos2? ? sin2? ? cos2? ∵

?2? ? 2k? ? ? ,解得? ? k? ? ?(k ? Z).

2

4

故 “a ?b ? 0? 是“? ? k? ? ? ?k ? Z ? ”的必要不充分条件
4

故选 B.

9.C

【解析】根据题意,若 f(x)为偶函数,则其导数 f′(x)为奇函数,

结合函数图象可以排除 B. D,

又由函数 f(x)在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点,且零点左侧导数值符

号为正,右侧导数值符号为负,

结合选项可以排除 A,

只有 C 选项符合题意;

本题选择 C 选项.

10.A

【 解 析 】 f ? x ? 2? ? f ? x?,? 函 数 的 周 期 为 2 ,

当 x ??3,5? 时 ,

f ?x? ? 2 ? x ? 4 ,?x??1,2? 时, f ?x? ? x ,故函数 f ? x? 在?1,2?上是增函数, x ??2,3?

时, f ? x? ? 4 ? x ,故函数 f ? x? 在?2,3? 上是减函数,且关于 x=4 轴对称,又定义在 R 上

的 f ? x? 满足 f ? x? ? f ? x ? 2? ,故函数的周期是 2 ,所以函数 f ? x? 在 ??1,0? 上是增函数,

在 ?0,1? 上 是 减 函 数 , 且 关 于 x 轴 对 称 , 观 察 四 个 选 项 A 选 项 中

f

? ??

cos

2? 3

? ??

?

f

? ??

?

1 2

? ??

?

f

? ??

1 2

? ??

?

f

? ??

sin

2? 3

? ??

? ? f ???

3 2

? ???

,,故选

A.

11.B

【解析】∵ f ? x? ? Acos??x ???( A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? ? )是定义域为 R 的奇函数,
2

∴? ? ? ? kπ , k ? Z,∴? ? ? .则 f ? x? ? ?Asin?x , 当 x ? 3 时, f ? x? 取得最小值

2

2

?3 ,

故 A ? 3 , sin3? ?1 , ∴ 3? ? ? ? 2kπ , k ? Z , ∴ ? 取 最 小 正 数 为 ? , 此 时 :

2

6

-7-

f ? x? ? ?3sin ? x ,
6
∴函数的最小正周期为 12,且, f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ??? f ?12? ? 0,
又 2017 ?12?168?1,∴ f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ??? f ?2017? ? 168? 0 ? f ?1? ? ? 3 。
2
故选:B.
点睛: f ?x? ? Acos??x ??? 为奇函数等价于? ? ? ? kπ , k ?Z;f ?x? ? Acos??x ???
2
为偶函数等价于 ? ? kπ , k ?Z;f ? x? ? Asin??x ??? 为偶函数等价于 ? ? ? ? kπ ,
2
k ?Z; f ? x? ? Asin ??x ??? 为奇函数等价于? ? kπ , k ?Z.
12.B

【解析】



?1? x ? 0 时 , 则 0 ? x ?1 ?1, 故

f

?x? ?

f

?

1
x ?1?

?1

?

?

1 1 ?x?1

?1 ? 2x?1 ?1 , 所 以

?? 2 ??

1

f ?x? ?{ (2

, 0 ? x ? 1 ,在同一平面直角坐标系中画出函数 y ? f ? x? 在区间 ??1,1?

2x?1 ?1 , ?1 ? x ? 0

上的图像和函数 f ? x? ? x2 ? m 的图像如图,结合图像可知:当 f ?0? ? m ,即 m ? 1时,两

函数的图像只有一个交点;当

{

f ?1? ?1? m f ??1? ? 1? m

? ?1 ? m ? ? 1 时,两函数的图像也只有一 2

个交点,故所求实数

m

的取值范围是

? ??

?1,

?

1 2

? ??

?

?1?

,应选答案

B。

13.-3

-8-

【解析】 sin? ? cos? ? 2,?1? tan? ? 2,?tan? ? ?3.

sin? ? cos?

1? tan?

14. ? 2 ? 1 92

?

? ? ? 3
【解析】 ?2x ? sinx? dx ?
0

x2 ? cosx

?
|03

?

? ? ?

?2 9

?

1 2

? ? ?

? ?0 ?1?

?

?2 9

?

1 2

.

15. ?

【解析】由题意,令 sin?x ? cos?x ,

sin?x ? cos?x ? 0 ,则 sin???? x ?

? 4

? ??

?

0,所以

?x ? ? ? k? , 4

k?Z

,即

x

?

1 ?

?

? ??

k?

?

? 4

? ??

,当

? k ? 0, x1 ? 4?



y1 ?

2 2

;当

? ? k

? 1,

x2

?

5? 4?



y2 ? ?

2 2

,如图所示,由勾股定理得 ?

y2

?

?y1 2

?

? x2

?

?x1 2

?

2
3 ,解

得? ?? .

16. 【解析】令,所以,则为奇函数 . 时,,由导函数存在及对称性知:在上递减 .
, ,解得:.则实数的取值范围是
17.(1) ?2,3? (2) ?1, 2?
【解析】试题分析:(1)先根据因式分解求命题 p 为真时实数 x 的取值范围,解分式不等式得 q 为真时实数 x 的取值范围,再求两者交集得 p ? q 为真时实数 x 的取值范围(2)由逆否命 题与原命题等价得 q 是 p 的充分不必要条件,即 q 是 p 的一个真子集,结合数轴得实数 a 的
取值条件,解得取值范围
试题解析:解:(1)由 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 得 ? x ?3a?? x ? a? ? 0 ,
又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a ,
-9-

当 a ?1时, 1 ? x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是1 ? x ? 3 .

q

为真时

x x

? ?

3 2

?

0

等价于{?

x

?

x?2
2? ? x

? ?

0
3?

?

0

,得 2 ? x ? 3 ,

即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 .

若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 ?2,3?.
(2)?p 是 ?q 的充分不必要条件,即 ?p ? ?q ,且 ?p ? ?q ,等价于 p ? q ,且 p ? q , 设 A ? {x | a ? x ? 3a}, B ? {x | 2 ? x ? 3},则 B ? A ;
?

则 0 ? a ? 2 ,且 3a ? 3 所以实数 a 的取值范围是 ?1, 2? .

点睛:充分、必要条件的三种判断方法.
1.定义法:直接判断“若 p 则 q ”、“若 q 则 p ”的真假.并注意和图示相结合,例如“ p ? q ”为真,则 p 是 q 的充分条件. 2.等价法:利用 p ? q 与非 q ? 非 p , q ? p 与非 p ? 非 q , p ? q 与非 q ?非 p 的
等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
3.集合法:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A = B ,则 A 是 B 的
充要条件.

18.(Ⅰ)

最大值为 2 ,对称中心为:

? k? ?? 2

?

? 12

,

0

? ??

?

k

?

Z

?

;(Ⅱ)

递增区间:

???0,

? 3

? ??



? 5? ?? 6

,?

? ??

;递减区间:

?? ?? 3

,

5? 6

? ??

.

【解析】试题分析:(1)由正弦的倍角公式和降幂公式,f(x)可化简为

f

?x?

?

2sin

? ??

2x

?

? 6

? ??



可知最大值为 2,对称中心由 2x ? ? ? k? ,解得 x 可求。(2)先求得 f(x)最大增区间与减区 6

间,再与?0,? ?做交,即可求得单调性。

试题解析:(Ⅰ)

f

?x? ?

2sin

? ??

2

x

?

? 6

? ??

,所以最大值为

2

,由

2x ? ? 6

? k?

,解得

x= k? 2

? ? ,r 所以对称中心为: ,12

? k? ?? 2

?

? 12

,

0

? ??

?

k

?

Z

?



- 10 -

( Ⅱ ) 先 求 f(x) 的 单 调 增 区 间 , 由 ? ? ? 2k? ? 2x ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z , 解 得

2

62

????

? 6

?

k? , ? 3

?

k?

? ??

,

k

?

Z

,在

?0,?

?

上的增区间有

???0,

? 3

? ??



? 5? ?? 6

,?

? ??



同理可求得

f(x) 的

单调减区



?? ?? 3

?

k?

,

5? 6

?

k?

? ??

,

k

?

Z

,, 在 ?0,? ? 上 的 减 速 区 间 有

? ??

? 3

,

5? 6

? ??

.

递增区间:

???0,

? 3

? ??



? 5? ?? 6

,?

? ??

;递减区间:

?? ?? 3

,

5? 6

? ??

.

19.(1)

f

?x?

?

2sin

? ??

2

x

?

? 6

? ??

(2)见解析(3)

7 8

【解析】试题分析:(1)直接由函数图象求得 A 和周期,再由周期公式求得 ω ,由五点作图 的第三点求? ;

(2)由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案;

(3)由

f

? ??

? 4

? ??

?

1 2

求出

sin

? ??

? 2

?

? 6

? ??

?

1 4

,然后把

sin

? ??

? 6

??

? ??

转化为余弦利用倍角公式得

答案.

试题解析:

解:(1)

f

?x?

?

2sin

? ??

2

x

?

? 6

? ??

.

(2)法 1:先将 y ? 2sinx 的图象向左平移 ? 个单位,再将所得图象纵坐标不变,横坐标 6

压缩为原来的

1 2

倍,所得图象即为

f

?x?

?

2sin

? ??

2

x

?

? 6

? ??

的图象.

法 2:先将 y ? 2sinx 的图象纵坐标不变,横坐标压缩为原来的 倍,再将所得图象向左

平移 ? 12

个单位,,所得图象即为

f

?x?

?

2sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

的图象.

(3)由

f

?? ?? 4

? ??

?

2sin

? ??

2

?

? 4

?

? 6

? ??

?

2sin

?? ?? 2

?

? 6

? ??

?

1 2

,

- 11 -

得:

sin

? ??

? 2

?

? 6

? ??

?

1 4





sin

? ??

? 6

??

? ??

?

cos ????

?

? 3

? ??

?1?

2sin 2

? ??

? 2

?

? 6

? ??

?1?

1 8

?

7 8

.

点睛:图象变换

(1)









(2)周期变换

(3)









(4)









20.(Ⅰ) f ? x? 取极小值为 f ?e? ? 2 ;(Ⅱ) m ? 1 .
8
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,

从而求出函数

的极小值;

(Ⅱ)构造函数 g ?x? ? f ?x? ? 2x ,可知 g ? x? 为 ?0, ??? 上为减函数.

所以

g??x?

?

1 x

?

m x2

?2

?

0

对任意

x ??0, ???

恒成立,可求 m

的取值范围.

试题解析;(Ⅰ) m ? e 时,

f

??x? ?

1 x

?

e x2

?

x?e x2



所以 f ? x? 在 ?0, e?上单调递减,在 ?e, ??? 上单调递增,

故当 x ? e 时, f ? x? 取极小值为 f ?e? ? 2 。

(Ⅱ)不妨设 a ? b ,则有 f ?a? ? f ?b? ? 2a ? 2b ,即 f ?a? ? 2a ? f ?b? ? 2b ,

- 12 -

构造函数 g ?x? ? f ?x? ? 2x ,所以 g ?a? ? g ?b? ,所以 g ? x? 为 ?0, ???上为减函数.

所以

g??x?

?

1 x

?

m x2

?2

?

0

对任意

x ??0, ???

恒成立

? ? 即 m ? ?2x2 ? x ? 1 . max 8

21.(I) a ? 5 (II)当 a ? 2 时,函数 f(x)在区间 (0,??) 上是单调递增; 2

当 a?

2 时,函数

f(x) 在 区 间 (0, a ?

a2 ? 2 )













在区



2

( a ? a2 ? 2 , a ? a2 ? 2 ) 上单调递减;在区间 ( a ? a2 ? 2 ,??) 上单调递增(III)a ? 4 .

2

2

2

【解析】

试题分析:(I)求导,利用导数的几何意义与两直线垂直的判定进行求解;(II)求导,讨论

二次方程的根的个数、根的大小关系,进而判定其单调性;(III)分离常数,转化为求函数

的求值问题.

试题解析:(I)函数 f (x) 定义域为 (0,??) , f / (x) ? 2x ? 2a ? 1 , x

f / (1) ? 3 ? 2a ,由题意 f / (1) ? 1 ? (3 ? 2a) ? 1 ? ?1 ,解得 a ? 5 .

2

2

2

(II) f / (x) ? 2x ? 2a ? 1 ? 2x2 ? 2ax ? 1 ,

x

x

1分 4分

令 g(x) ? 2x2 ? 2ax ? 1 , ? ? 4a2 ? 8 ,

(i)当 ?

2?a?

2

时,
?

?

4a2



,

? 8 ? 0 g(x) ? 0

f / (x) ? 0 ,函数 f(x)

在 (0,??) 上

单调递增;

(ii)当 a ?

2或 ?

2 时,? ? 4a2



,

? 8 ? 0 g(x) ? 0

f

/ (x) ? 0 函数 f(x)

在 (0,??) 上

单调递增;

(iii)当 a ?

2 时, 2x2 ? 2ax ?1 ? 0, x1 ? a ?

a2 2

?2

?

0, x2

?

a

?

a2 ? 2 ? 0 , 2

在区间

上,

,

(0, x1)

g(x) ? 0

f / (x) ? 0 , 函 数

f(x) 单 调 递 增 ; 在 区 间

上,

(x1, x2 )

g(x)

?

0

,

f

/ (x)

?

0

,函数

f(x)单调递减;在区间 ( x2 ,??)

上,
g(x)

?

0

,

f

/ (x)

?

0

,函数

f(x)单调递增;

- 13 -

(iv)当 a ? ?

2 时,2x2 ? 2ax ? 1 ? 0, x1 ? a ?

a2 2

?2

?

0, x2

?

a

?

a2 ? 2 ? 0 ,在区 2

间 (0,??) 上, g(x) ? 0 , f / (x) ? 0 ,函数 f(x)单调递增.

8分

综上所述:当 a ? 2 时,函数 f(x)在区间 (0,??) 上是单调递增;

当 a ? 2 时 , 函 数 f(x) 在 区 间 (0, a ? a2 ? 2 ) 上 单 调 递 增 ; 在 区 间 2

( a ? a2 ? 2 , a ? a2 ? 2 ) 上单调递减;在区间 ( a ? a2 ? 2 ,??) 上单调递增.

9

2

2

2



法二:(i)当 a ? 0 时, f / (x) ? 0 恒成立,函数 f(x)在 (0,??) 上单调递增;

f

/ (x)

?

2x

?

2a

?

1 x

?

2x2

?

2ax x

?1

,令

g(x)

?

2x2

?

2ax


?1 ?

?

4a2


?8

(ii)当 0 ? a ?

2 时, ? ? 4a2

? 8 ? 0,


g(x) ? 0

f

/ (x) ? 0 ,函数

f(x)在 (0,??) 上单

调递增;

(iii)当 a ?

2 时, 2x2 ? 2ax ?1 ? 0, x1 ? a ?

a2 2

?2

?

0, x2

?

a

?

a2 ? 2 ? 0 , 2

在区间





(0, x1) g(x) ? 0

f

/ (x) ? 0 ,函数 f(x)

单调递增;在区间

上,



(x1, x2 ) g(x) ? 0

f / (x) ? 0 ,函数 f(x)单调递减;在区间 (x2,??) 上 g(x) ? 0 , f / (x) ? 0 ,函数 f(x) 单调

递增.

8分

综上所述:当 a ? 2 时,函数 f(x)在区间 (0,??) 上是单调递增;

当 a ? 2 时 , 函 数 f(x) 在 区 间 (0, a ? a2 ? 2 ) 上 单 调 递 增 ; 在 区 间 2

( a ? a2 ? 2 , a ? a2 ? 2 ) 上单调递减;在区间 ( a ? a2 ? 2 ,??) 上单调递增.

9

2

2

2


法三:因为 x>0,?2x ? 1 ? 2 2 . x

(i)当 a ? 2 时,在区间 (0,??) 上 f / (x) ? 0 函数 f(x) 单调递增;

- 14 -

(ii)当 a ?

2 时, 2x2 ? 2ax ?1 ? 0, x1 ? a ?

a2 2

?

2

?

0, x2

?

a

?

a2 ? 2 ? 0 , 2

在区间 (0, x1) 上, f / (x) ? 0 ,函数 f(x) 单调递增;在区间 (x1, x2 ) 上, f / (x) ? 0 ,函数 f(x)

单调递减;在区间

上,

( x2 ,??)

f

/ (x) ? 0 ,函数 f(x)

单调递增.

8分

综上所述:当 a ? 2 时,函数 f(x)在区间 (0,??) 上是单调递增;

当 a ? 2 时 , 函 数 f(x) 在 区 间 (0, a ? a2 ? 2 ) 上 单 调 递 增 ; 在 区 间 2

(a ?

a2 ? 2 a ? ,

a2 ? 2 ) 上单调递减;在区间 (a ?

a2 ? 2 ,??) 上单调递增.

9

2

2

2


( III ) 不 等 式 2x ln x ? ?x2 ? ax ? 3 在 区 间 (0, e] 上 恒 成 立 等 价 于 2ln x ? ?x ? a ? 3 . x
10 分

令 g(x) ? 2ln x ? x ? a ? 3 , x

g/ (x) ?

2 x

?1?

3 x2

?

x2

? 2x ? 3 x2

?

(x ? 3)( x ?1) , x2

在区间 (0,1) 上, g / (x) ? 0 ,函数 g(x)为减函数;

在区间 (1,e] 上, g / (x) ? 0 ,函数 g(x)为增函数;

12 分

g(x)min ? g(1) ? 1 ? a ? 3 ? 0 得 a ? 4 , 所以实数 a 的范围是 a ? 4 .
考点:1.导数的几何意义;2.函数的单调性;3.不等式很犀利问题;4.分类讨论思想. 22.(1)奇函数 (2)见解析 (3)[-6,6]
(4)( 9 ,+∞) 8
【解析】解:(1)取 x=y=0,则 f(0+0)=2f(0),∴f(0)=0. 取 y=-x,则 f(x-x)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 恒成立,∴f(x)为奇函数.
- 15 -

(2)证明: 任取 x1,x2∈(-∞,+∞),且 x1<x2,则 x2-x1>0,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0, ∴f(x2)<-f(-x1),又 f(x)为奇函数, ∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)是 R 上的减函数. (3)由(2)知 f(x)在 R 上为减函数, ∴对任意 x∈[-3,3],恒有 f(3)≤f(x)≤f(-3), ∵f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=-2×3=-6, ∴f(-3)=-f(3)=6,f(x)在[-3,3]上的值域为[-6,6]. (4)f(x)为奇函数,整理原式得 f(ax2)+f(-2x)<f(x)+f(-2), 则 f(ax2-2x)<f(x-2), ∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,∴ax2-2x>x-2, 当 a=0 时,-2x>x-2 在 R 上不是恒成立,与题意矛盾;
当 a>0 时,ax2-2x-x+2>0,要使不等式恒成立,则 Δ =9-8a<0,即 a> 9 ; 8
当 a<0 时,ax2-3x+2>0 在 R 上不是恒成立,不合题意.
综上所述,a 的取值范围为( 9 ,+∞). 8
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