【学海导航】高三数学(人教版理B)第一轮总复习课件第6讲 函数的性质(二)——奇偶性、周期性、对称性_图文

第6讲 函数的性质(二)——奇偶性、 周期性、对称性 1 2 1.下列函数中,所有奇函数的序号是 (1)f(x)=2x4+3x2; 1-x (3)f(x)=lg ; 1+x (2)f(x)=x3-2x; (4)y=sin x+tan x. . 3 解析:利用奇函数定义判断,易知(2)(3)(4)是奇函数. 4 2.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则 下列结论恒成立的是( B ) A.f(x)+|g(x)|是奇函数 B.f(x)-|g(x)|是偶函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 5 解析:由条件知 f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). 令 F(x)=f(x)-|g(x)|, 则 F(-x)=f(-x)-|g(-x)|=f(x)-|-g(x)|=f(x)-|g(x)|, 所以 f(x)-|g(x)|是偶函数,故选 B. 6 3.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈ 7 [0,1]时,f(x)=2x-1,则f(2)= . 7 7 7 3 3 1 1 解析:f( )=f( -2)=f( )=f( -2)=f(- )=f( ) 2 2 2 2 2 2 1 =2× -1=0. 2 8 4.设函数y=f(x)(x∈R的图象关于直线x=1对称,且x∈ 3 [0,1]时,f(x)=x ,则f(2)=( B ) 2 1 A.2 3 C.4 1 B.4 9 D.4 9 解析:因为函数 y=f(x)(x∈R)的图象关于直线 x=1 对 3 1 1 1 称,所以 f( )=f(1+ )=f(1- )=f( ),故选 B. 2 2 2 2 10 11 一 函数奇偶性的判定 【例 1】判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=(x+1) 1-x ; 1+x (2)f(x)= x2-1+ 1-x2; 1-x2 (3)f(x)= ; |x+2|-2 ?x2+2 ?x>0? ? (4)f(x)=?0 ?x=0? ? 2 - x -2 ?x<0? ? . 12 1-x 解析:(1)由 ≥0,得-1<x≤1, 1+x 1-x 所以函数 f(x)=(x+1)· 的定义域是(-1,1],不关于 1+x 原点对称,所以函数 f(x)是非奇非偶函数. ?x2-1≥0 (2)由? ,得 x=± 1, 2 ?1-x ≥0 所以函数 f(x)的定义域是{-1,1},此时 f(x)=0, 所以 f(x)= 1-x2+ x2-1既是奇函数又是偶函数. 13 ?1-x2≥0 (3)由? ,解得-1≤x<0 或 0<x≤1,它关于 ?|x+2|-2≠0 原点对称,且此时|x+2|-2=x+2-2=x, 1-x2 从而 f(x)= , x 1-?-x?2 1-x2 从而 f(-x)= =- =-f(x), x -x 1-x2 所以 f(x)= 是奇函数. |x+2|-2 14 (4)当 x>0 时,-x<0, 则 f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当 x<0 时,-x>0, 则 f(-x)=(-x)2+2=x2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当 x=0 时,f(x)=0=-f(-x). 综上有,对一切实数 x,f(-x)=-f(x)恒成立, ?x2+2 ?x>0? ? 故 f(x)=?0 ?x=0? ? 2 ?-x -2 ?x<0? 是奇函数. 15 【拓展演练 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=(x-2) 2+x ; 2-x lg?1-x2? (2)f(x)= 2 ; |x -2|-2 ?x+2 ?x<-1? ? (3)f(x)=?0 ?|x|≤1? ? ?-x+2 ?x>1? . 16 2+x 解析:(1)由 ≥0,得定义域为[-2,2),关于原点不 2-x 对称,故 f(x)为非奇非偶函数. ?1-x2>0 (2)由? 2 得定义域为(-1,0)∪(0,1), ?|x -2|-2≠0 lg?1-x2? lg?1-x2? 这时 f(x)= =- . x2 -?x2-2?-2 lg[1-?-x?2] lg?1-x2? 因为 f(-x)=- =- =f(x), x2 ?-x?2 所以 f(x)为偶函数. 17 (3)x<-1 时,f(x)=x+2,-x>1, 所以 f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x), 当 x>1 时,f(x)=-x+2,-x<-1, 所以 f(-x)=-x+2=f(x). 娄-1≤x≤1 时,f(x)=0,-1≤-x≤1, 所以 f(-x)=0=f(x). 所以对定义域内的每一个 x 都有 f(-x)=f(x). 因此 f(x)是偶函数. 18 二 函数奇偶性的应用 【例 2】若 f(x)=x5+ax3+bx+3 在(0,+∞)上的最大值 是 8,求 f(x)在(-∞,0)上的最小值. 19 分析:注意到 g(x)=x5+ax3+bx 是奇函数, 则 g(-x)+g(x)=0 . 解析: 当 x>0 时, f(x)≤8, 则当 x<0 时, -x>0, f(-x)≤8, 设 x∈(-∞,0),则 f(x)=x5+ax3+bx+3 =-[(-x)5+a(-x)3+b(-x)+3]+6 =-f(-x)+6 ≥-8+6=-2. 所以 f(x)在(-∞,0)上的最小值是-2. 20 【拓展演练 2】 (1)已知 f(x)与 g(x)都是定义在 R 上的奇函数, 若 F(x)=af(x)+bg(x)+3,且 F(-2)=5,则 F(2)= ; (2)已知函数 f(x)=x3+sin x 的定义域为(-1,1),则满足不 等式 f(a2-1)+f(1-2a)<0 的 a 的取值范围是 . 21 解析:(1)因为 f(x)与 g(x)都是奇函数, 所以 f(-x)=-f(x),g

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