高考数学(理)一轮复习配套讲义: 二项分布与正态分布

第5讲 [最新考纲]

二项分布与正态分布

1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念. 2.理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布. 3.能解决一些简单的实际问题.

知 识 梳 理 1.条件概率及其性质 条件概率的定义 条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1 设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A)= P?AB? 为在事 (2)若 B,C 是两个互 P?A? 斥事件, 则 P(B∪C|A) 件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率 =P(B|A)+P(C|A)

2.事件的相互独立性 设 A,B 为两个事件,如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A 与事件 B 相互独立. 若事件 A,B 相互独立,则 P(B|A)=P(B);事件 A 与 B , A 与 B, A 与 B 都相 互独立. 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验,若用 Ai(i=1,2,?,n) 表示第 i 次试验结果,则 P(A1A2A3?An)=P(A1)P(A2)P(A3)?P(An). (2)二项分布 在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发
k n-k 生的概率为 p,则 P(X=k)=Ck (k=0,1,2,?,n),此时称随机变量 X np (1-p)

服从二项分布,记为 X~B(n,p),并称 p 为成功概率. 4.正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数 a,b(a<b),随机变量 X 满足 P(a<X≤b)=?bφμ,σ(x)dx,则称随 ?a

机变量 X 服从正态分布,记为 X~N(μ,σ2).

函数 φμ,σ(x)=

,x∈R 的图象(正态曲线)关于直线 x

1 =μ 对称,在 x=μ 处达到峰值σ 2π. (2)正态总体三个基本概率值 ①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682_6. ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954_4. ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997_4. 辨 析 感 悟 1.条件概率与相互独立事件的概率 (1)若事件 A,B 相互独立,则 P(B|A)=P(B).(√) (2)P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率,P(AB)表示事件 A,B 同时发生的概率,一定有 P(AB)=P(A)· P(B).(×) (3)(教材习题改编)袋中有 5 个小球(3 白 2 黑),现从袋中每次取一个球,不放回 地抽取两次,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是 0.5.(√) 2.二项分布与正态分布

(4)在正态分布函数 φμ,σ(x)=

μ 是正态分布的期望 中,

值,σ 是正态分布的标准差.(√)
k n -k (5) 二项分布是一个概率分布列,是一个用公式 P(X = k) = C k ,k= n p (1 - p)

0,1,2,?,n 表示的概率分布列,它表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生次数 的概率分布.(√) 1 (6)(2014· 扬州调研改编)小王通过英语听力测试的概率是3,他连续测试 3 次,那 1? 4 ?1?1 ? ?3? · ?1-3?3-1= .(×) 么其中恰好第 3 次测试获得通过的概率是 P=C1 3· 9 ? ? ? ? [感悟· 提升] 1. 古典概型中, A 发生的条件下 B 发生的条件概率公式为 P(B|A)= P?AB? n?AB? = , P?A? n?A?

其中,在实际应用中 P(B|A)=

n?AB? 是一种重要的求条件概率的方法. n?A?

2.P(A· B)=P(A)· P(B)只有在事件 A、B 相互独立时,公式才成立,此时 P(B)= P(B|A),如(1),(2). 3.判断一个随机变量是否服从二项分布,要看两点: 一是是否为 n 次独立重复试验.在每次试验中事件 A 发生的概率是否均为 p. 二是随机变量是否为在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数.且 P(X=k)=
k n-k Ck 表示在独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率. np (1-p)

考点一

条件概率

【例 1】 (1)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为 偶数”,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)等于( 1 A.8 1 B.4 2 C.5 1 D.2 ).

(2)如图,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形.将一颗豆子随机 地扔到该圆内, 用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”, B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴 影部分)内”, 则 P(B|A)=________.
2 C2 4 2 C2 1 3+C2 2 解析 (1)P(A)= C2 =10=5,P(AB)=C2=10. 5 5

1 10 P?AB? 1 由条件概率计算公式,得 P(B|A)= = 4 =4. P?A? 10 (2)由题意可得,事件 A 发生的概率 P(A)= 事件 AB 表示“豆子落在△EOH 内”, 1 ×12 S△EOH 2 1 则 P(AB)= = 2= . S圆O π×1 2π S正方形EFGH 2× 2 2 = = . π S圆O π×12

1 P?AB? 2π 1 故 P(B|A)= = 2 =4. P?A? π 答案 (1)B 1 (2)4 P?AB? . P?A?

规律方法 (1)利用定义,求 P(A)和 P(AB),则 P(B|A)=

(2)借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再求事件 A 与 事件 B 的交事件中包含的基本事件数 n(AB),得 P(B|A)= n?AB? . n?A?

【训练 1】 已知 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球,2 号箱中有 5 个白球和 3 个红 球,现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱,然后从 2 号箱随机取出一球,则 两次都取到红球的概率是( 11 A.27 8 C.27 ). 11 B.24 9 D.24

解析 设从 1 号箱取到红球为事件 A,从 2 号箱取到红球为事件 B. 由题意,P(A)= 3+1 4 4 2 =3,P(B|A)= = , 2+4 8+1 9

2 4 8 ∴P(AB)=P(B|A)· P(A)=3×9=27, 8 所以两次都取到红球的概率为27. 答案 C 考点二 相互独立事件同时发生的概率

【例 2】 (2013· 陕西卷改编)在一场娱乐晚会上,有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台 演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票 上选 3 名歌手,其中观众甲是 1 号歌手的歌迷,他必选 1 号,不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名.观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱,因此在 1 至 5 号中选 3 名歌手. (1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求“X≥2”的事件概率.

审题路线 (1)甲选择 3 号和乙没选择 3 号是相互独立事件,利用相互独立事件 概率乘法可求;(2)“X≥2”表示事件“X=2”与“X=3”的和事件,根据互斥 事件、相互独立事件的概率公式计算. 解 (1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”,B 表示事件“观众乙选中 3 号 歌手”,
1 2 C2 2 C4 3 则 P(A)=C2=3,P(B)=C3=5. 3 5

∵事件 A 与 B 相互独立,A 与 B 相互独立. 则 A·B 表示事件“甲选中 3 号歌手,且乙没选中 3 号歌手”. 2 2 4 ∴P(A B )=P(A)· P( B )=P(A)· [1-P(B)]=3×5=15, (2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”, C2 4 3 则 P(C)=C3=5,
5

依题意,A,B,C 相互独立, A , B , C 相互独立,且 AB C ,A B C, A BC, ABC 彼此互斥. 又 P(X=2)=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC) 2 3 2 2 2 3 1 3 3 33 =3×5×5+3×5×5+3×5×5=75, 2 3 3 18 P(X=3)=P(ABC)=3×5×5=75, 33 18 17 ∴P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=75+75=25. 规律方法 (1)解答本题关键是把所求事件包含的各种情况找出来,从而把所求事 件表示为几个事件的和事件. (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. ②正面计算较繁或难以入手时,可从其对立事件入手计算. 1 【训练 2】 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为2 1 与 p,且乙投球 2 次均未命中的概率为16.

(1)求乙投球的命中率 p; (2)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率. 解 (1)设“甲投一次球命中”为事件 A,“乙投一次球命中”为事件 B. 1 由题意得:P( B )P( B )=16, 1 1 于是 P( B )=4或 P( B )=-4(舍去). 3 故 p=1-P( B )=4. 3 所以乙投球的命中率为4. (2)法一 1 1 由题设知,P(A)=2,P( A )=2.

故甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率为 3 1-P( A ·A )=1-P( A )P( A )=4. 1 1 法二 由题设知,P(A)=2,P( A )=2. 故甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率为 3 C1 2P(A)P( A )+P(A)P(A)= . 4 考点三 正态分布下的概率

【例 3】 已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(X<4)=0.8,则 P(0<X<2) =( ).

A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 解析 由 P(X<4)=0.8, 得 P(X≥4)=0.2, 由题意知正态曲线的对称轴为直线 x=2, P(X≤0)=P(X≥4)=0.2, ∴P(0<X<4)=1-P(X≤0)-P(X≥4)=0.6, 1 ∴P(0<X<2)=2P(0<X<4)=0.3. 答案 C 规律方法 (1)求解本题关键是明确正态曲线关于 x=2 对称,且区间[0,4]也关于 x

=2 对称. (2)关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法 ①熟记 P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值. ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1. 【训练 3】 若在本例中,条件改为“已知随机变量 X~N(3,1),且 P(2≤X≤4) =0.682 6,”求 P(X>4)的值. 解 ∵随机变量 X~N(3,1), ∴正态曲线关于直线 x=3 对称, 由 P(2≤X≤4)=0.682 6, 1 1 得 P(X>4)=2[1-P(2≤X≤4)]=2(1-0.682 6)=0.158 7. 考点四 独立重复试验与二项分布

【例 4】 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样, 1 购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为6.甲、乙、丙 三位同学每人购买了一瓶该饮料. (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; (2)求中奖人数 X 的分布列. 审题路线 (1)甲、乙、丙各购买一瓶饮料是否中奖,相互独立,由相互独立事

件同时发生的概率乘法公式,第(1)问可求;(2)依题意随机变量 X 服从二项分布, 不难求出分布列. 解 (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A,B,C,且相互独立,那么 A, B , C 相互独立. 1 又 P(A)=P(B)=P(C)=6, 1 ?5?2 25 ?6? = ∴P(A·B ·C )=P(A)P( B )P( C )=6· , ? ? 216 25 即甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为216. 1? ? (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,且 X~B?3,6?, ? ? ?1?k?5?3-k ∴P(X=k)=Ck (k=0,1,2,3). 3?6? ?6? ? ?? ?

3 125 0 5 则 P(X=0)=C3 · 3= 6 216, 1 2 C3 · 5 25 P(X=1)= 63 =72, 2 C3 · 5 5 P(X=2)= 63 =72, 3 C3 1 P(X=3)= 63 =216,

所以中奖人数 X 的分布列为 X P 0 125 216 1 25 72 2 5 72 3 1 216

规律方法 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行 的一种试验,在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要 么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的. (2)求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,看复杂事件能转化为几个 彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件, 然 后求概率. 【训练 4】 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B,系统 1 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为10和 p. 49 (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为50,求 p 的值; (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 X,求 X 的 概率分布列及数学期望 E(X). 解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么 1 49 1 1-P( C )=1-10· p=50,解得 p=5. 1 ? 1 ?3 (2)由题意,P(X=0)=C0 , 3?10? = ? ? 1 000 1? 27 1? 1 ?2 ? ?10? ×?1-10?= P(X=1)=C3 , ? ? ? ? 1 000 1? 1 ? 243 2 P(X=2)=C3 ×10×?1-10?2=1 000, ? ?

1? 729 3? ?1-10?3= P(X=3)=C3 . ? ? 1 000 所以,随机变量 X 的概率分布列为 X P 0 1 1 000 1 27 1 000 2 243 1 000 3 729 1 000

故随机变量 X 的数学期望为 1 27 243 729 27 E(X)=0×1 000+1×1 000+2×1 000+3×1 000=10.

1.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响, 计算式为 P(AB)=P(A)P(B). 互 斥事件是指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为 P(A∪B)=P(A) +P(B). 2.在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次可看做是 Ck n个互斥事件的和, 其中每一个事件都可看做是 k 个 A 事件与(n-k)个 A 事件同时发生, 只是发生的 次序不同,其发生的概率都是 pk(1-p)n-k.因此 n 次独立重复试验中事件 A 恰好
k n-k 发生 k 次的概率为 Ck . np (1-p)

3.若 X 服从正态分布,即 X~N(μ,σ2),要充分利用正态曲线的对称性和曲线 与 x 轴之间的面积为 1. 易错辨析 11——对二项分布理解不准致误

【典例】 一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有 6 个交通岗,假设他 1 在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是3. (1)设 X 为这名学生在途中遇到红灯的次数,求 X 的分布列; (2)设 Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求 Y 的分布列. 1 解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验,则遇到红灯的概率为3,且每次试验结 果是相互独立的, 1? ? 故 X~B?6,3?. ? ?

?1?k ?2?6-k ? ? ,k=0,1,2,3,4,5,6. 所以 X 的分布列为 P(X=k)=Ck 6?3? · ? ? ?3? (2)由于 Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数,显然 Y 是随机变量,其取 值为 0,1,2,3,4,5,6.其中:{Y=k}(k=0,1,2,3,4,5)表示前 k 个路口没有遇上红灯,但 在第 k+1 个路口遇上红灯,故各概率应按独立事件同时发生计算. ?2? 1 P(Y=k)=?3?k· (k=0,1,2,3,4,5), ? ? 3 而{Y=6}表示一路没有遇上红灯. ?2? 故其概率为 P(Y=6)=?3?6, ? ? 因此 Y 的分布列为: Y P 0 1 3 1 2 9 2 4 27 3 8 81 4 16 243 5 32 729 6 64 729

[易错警示] 由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立,可以利用二 项分布解决,二项分布模型的建立是易错点;另外,对“首次停车前经过的路口 1 数 Y”理解不当,将“没有遇上红灯的概率也当成3”. [防范措施]
k n k 独立重复试验中的概率公式 Pn(k)=Ck 表示的是 n 次独立 np (1-p)


重复试验中事件 A 发生 k 次的概率,p 与(1-p)的位置不能互换,否则该式子表 示的意义就发生了改变,变为事件 A 有 k 次不发生的概率了. 【自主体验】 (2013· 辽宁卷)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对每道甲类题的 3 4 概率都是5,答对每道乙类题的概率都是5,且各题答对与否相互独立.用 X 表 示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和数学期望. 解 (1)设事件 A=“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”,则有 A =“张 同学所取的 3 道题都是甲类题”. C3 1 5 6 因为 P( A )=C3 =6,所以 P(A)=1-P( A )=6. 10

(2)X 所有的可能取值为 0,1,2,3. 4 0 ?3?0 ?2?2 1 ?5? · ?5? · = P(X=0)=C2 · ; ? ? ? ? 5 125 ?3?0 ?2?2 1 ?3?1 ?2?1 1 ?5? · ?5? · +C0 ? ?· P(X=1)=C2 · 2?5? · ? ? ? ? 5 ? ? ?5? 4 28 5=125; ?3?1 ?2?1 4 57 2 ?3?2 ?2?0 1 ?5? · ? ? · +C1 ?5? · ? ? ·= P(X=2)=C2 · ; 2· ? ? ?5? 5 ? ? ?5? 5 125 36 2 ?3?2 ?2?0 4 ?5? · ?5? · = P(X=3)=C2 · . 5 125 ? ? ? ? 所以 X 的分布列为: X P 0 4 125 1 28 125 2 57 125 3 36 125

4 28 57 36 所以 E(X)=0×125+1×125+2×125+3×125=2.

基础巩固题组 一、选择题 1? ? 1.设随机变量 X~B?6,2?,则 P(X=3)的值是( ? ? 3 A.16 5 B.16 7 C.16 5 D.8 ).

答案 B 2.已知随机变量 X 服从正态分布 N(0,σ2).若 P(X>2)=0.023,则 P(-2≤X≤2) =( ). C.0.954 D.0.977

A.0.477 B.0.628 答案 C

1 3.(2014· 湖州调研)国庆节放假,甲去北京旅游的概率为3,乙、丙去北京旅游的 1 1 概率分别为4,5.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为( ).

59 A.60

3 B.5

1 C.2

1 D.60

答案 B 4.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知 目标被击中,则它是被甲击中的概率为( A.0.45 B.0.6 C.0.65 D.0.75 答案 D 5 . (2013· 湖北卷改编 ) 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N(800,502)的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0.则 p0 的值为( ). ).

(参考数据:若 X~N(μ,σ2),有 P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4.) A.0.954 4 答案 D 二、填空题 6.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次 16 的概率为25,则该队员每次罚球的命中率为________. 3 答案 5 7.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回 答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率 都是 0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋 级下一轮的概率等于________. 答案 0.128 8.有一批种子的发芽率为 0.9,出芽后的幼苗成活率为 0.8,在这批种子中,随 机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________. 答案 0.72 三、解答题 9.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不 购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. B.0.682 6 C.0.997 4 D.0.977 2

(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率; (2)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

10.某公交公司对某线路客源情况统计显示,公交车从每个停靠点出发后,乘客 人数及频率如下表: 人数 频率 0~6 0.10 7~12 0.15 13~18 0.25 19~24 0.20 25~30 0.20 31 人及以上 0.10

(1)从每个停靠点出发后,乘客人数不超过 24 人的概率约是多少? (2)全线途经 10 个停靠点,若有 2 个以上(含 2 个)停靠点出发后乘客人数超过 18 人的概率大于 0.9,公交公司就考虑在该线路增加一个班次,请问该线路需要增 加班次吗?

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.设随机变量 X 服从正态分布 N(μ,σ2),函数 f(x)=x2+4x+X 没有零点的概率 1 是2,则 μ=( ). D.不能确定

A.1 B.4 C.2

解析 根据题意函数 f(x)=x2+4x+X 没有零点时,Δ=16-4X<0,即 X>4,根据 1 正态密度曲线的对称性,当函数 f(x)=x2+4x+X 没有零点的概率是2时,μ=4. 答案 B 2.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定 义数列{an}: ?-1,第n次摸取红球, an=? 如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和, 那么 S7=3 的概率 ?1,第n次摸取白球, 为( ). ?2?2 ?1?5 ? ? B.C2 7?3? · ? ? ?3? ?1?2 ?2?5 ? ? D.C3 7?3? · ? ? ?3?

?1?2 ?2?5 ? ? A.C5 7?3? · ? ? ?3?
5?1?2 ?1?5 ?3? · ? ? C.C7 ? ? ?3?

解析 S7=3 即为 7 次摸球中,有 5 次摸到白球,2 次摸到红球,又摸到红球的 2 1 ?2?2?1?5 概率为3,摸到白球的概率为3.故所求概率为 P=C2 7?3? ?3? . ? ?? ? 答案 B 二、填空题 3.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下 落. 小球在下落的过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知 1 小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是2,则小球落入 A 袋 中的概率为________. 解析 记“小球落入 A 袋中”为事件 A,“小球落入 B 袋中”为事件 B,则事件 A 的对立事件为 B,若小球落入 B 袋中,则小球必须一直向左落下或一直向右落 1 3 ?1? ?1? 1 下,故 P(B)=?2?3+?2?3=4,从而 P(A)=1-P(B)=1-4=4. ? ? ? ? 3 答案 4 三、解答题 4.(2013· 山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利, 1 比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是2外,其余每局比赛甲队获胜的概率 2 都是3.假设各局比赛结果相互独立. (1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利的概率. (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1, 则胜利方得 3 分, 对方得 0 分; 若比赛结果为 3∶ 2,则胜利方得 2 分、对方得 1 分.求乙队得分 X 的分布列及数学期望. 解 (1)记“甲队以 3∶0 胜利”为事件 A1,“甲队以 3∶1 胜 利”为事件 A2,“甲队以 3∶2 胜利”为事件 A3,由题意知,各局比赛结果相互 独立, 8 ?2? 故 P(A1)=?3?3=27, ? ? 2? 2 8 ?2?2? P(A2)=C2 3?3? ?1-3?× = , ? ?? ? 3 27

2?2 1 4 ?2?2? P(A3)=C2 4?3? ?1-3? × = . ? ?? ? 2 27 8 4 所以,甲队以 3∶0 胜利,以 3∶1 胜利的概率都为27,以 3∶2 胜利的概率为27. (2)设“乙队以 3∶2 胜利”为事件 A4, 由题意知,各局比赛结果相互独立, 2?2?2?2 ? 1? 4 ? 所以 P(A4)=C2 4?1-3? ?3? ×?1-2?= . ? ?? ? ? ? 27 由题意知,随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3, 根据事件的互斥性得 16 P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=27, 4 又 P(X=1)=P(A3)=27, 4 P(X=2)=P(A4)=27, 3 P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=27, ∴X 的分布列为 X P 0 16 27 1 4 27 2 4 27 3 3 27

16 4 4 3 7 ∴E(X)=0×27+1×27+2×27+3×27=9.


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