最新高中数学典型例题解析:第三章_基本初等函数Ⅱ三角函数优秀名师资料

第三章 基本初等函数?(三角函数) 3.1 任意角三角函数 一、知识导学 1(角:角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的 几何图形. 角的三要素是:顶点、始边、终边.角可以任意大小,按旋转的方向分类有正 角、负角、零角. l,,l2(弧度制:任一已知角的弧度数的绝对值,其中是以作为圆心角时所对圆 弧,,r 的长,为圆的半径.规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的 弧度数为 r 零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. ,,180,,,,,1,,0.1745rad3(弧度与角度的换 算:;;1.rad,,57.30360,2,rad,,180,,, ,用弧度为单位表示角的大小时,弧度(rad)可以省略不写.度,,不可省略. 112S,lr,|,|rl4(弧长公式、扇形面积公式:,其中为弧长,为圆的半 rl,,r,扇 形 22 径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当时的情形.,,2,5(任意 角的三角函数定义:设是一个任意大小的角,角终边上任意一点 P 的坐标 是,,,,,它与原点的距离是,那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分 x,yr(r,0), yxyxrr,,,,,,sin,,cos,,tan,,cot,,sec,,csc,别是.这六个函数统称 rrxyxy 为三角函数. 6(三角函数的定义域 三角函数 定义域 y,sinxR y,cosx R ,,, xx,k,,k,Zy,tanx ,,,2,, y,cotx ,,xx,k,,k,Z ,,,y,secx xx,k,,k,Z ,,,2,, y,cscx ,,xx,k,,k,Z7(三角函数值的符号:各三角函数值在第个象限的符号如 图所示(各象限注明的函数为正,其余为负值) 可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 二、疑难知识导析 1(在直角坐标系内讨论角 (1)角的顶点在原点,始边在轴的正半轴上,角的终边在第几象 x 限,就称这个角是第几象限角(或说这个角属于第几象限).它的前提是“角的 顶点为原点,角的始边为轴的非负半轴.否则不能如此判断 x 某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限. 角终边相同的角的集合表示.(2)与, ,,,,其中为任意角.终边相同的角不一定相等,相等的角终边 一,,,k,360,,,k,Z, ,定相同,终边相同的角有无数多个,它们相差整数倍.360 2(值得注意的几种范围角的表示法 ,,,,“0,间的角”指;“第一象限角”可表示为 900,,,90 ,,,,,,,,,,k,360,,,k,360,90,k,Z;“小于 90 的角”可表示为,,,90. l3(在弧度的定义中与所取圆的半径无关,仅与角的大小有关.r 4(确定三角函数的定义域时,主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当 终边在坐标轴上时点 P 坐标中必有一个为 0. 5(根据三角函数的定义可知:(1)一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有 关,即角, ,,,k,360(k,Z)与的同名三角函数值相等;(2),故有 x,r,y,r ,这是三角函数中最基本的一组不等关系.cos,,1,sin,,1 6(在计算或化简三角函数关系式时,常常需要对角的范围以及相应三角函数值 的正负情况进行讨论.因此,在解答此类问题时要注意:(1)角的范围是什么,(2)对 应角的三角函数值是正还是负,(3)与此相关的定义、性质或公式有哪些, 三、经典例题导讲 ,,ABC[例 1] 若 A、B、C 是的三个内角,且,则下列结论中正确的个数 A,B,C(C,)2 是( ) sinA,sinCcotA,cotCtanA,tanCcosA,cosC?. ?. ?. ?.A(1 B.2 C.3 D.4 ?A,CsinA,sinCtanA,tanC 错解: ? ,故选 B 错因:三角形中大角对大边定理不熟悉,对函数单调性理解不到位导致应用错 误 ?A,C,ABC 正解:法 1 在中,在大角对大边,?c,a,?sinC,sinA 法 2 考虑特殊情形,A 为锐角,C 为钝角,故排除 B、C、D,所以选 A .[例 2] 已知角的终边关于 y 轴对称,则与的关系为 .,,,,, ,,,,,2k,错解:?角的终边关于 y 轴对称,?+,(,,,k,z)22 错因:把关于 y 轴对称片认为关于 y 轴的正半轴对称. 正解:?角的终边关于 y 轴对称,,, ,,,,,,k,,(k,Z)? 即,,,,,,2k,,(k,z)22 x 说明:(1)若角的终边关于轴对称,则与的关系为,,,,,,,,,2k,,(k,Z) 角的终边关于原点轴对称,则与的关系为(2)若,,,,,,,,,(2k,1),,(k,Z) (3)若角的终边在同一条直线上,则与的关系为,,,,,,,,,k,,(k,Z) 34,,sin,,cos,,,[例 3] 已知 ,试确定的象限.2525 ,3,4,sin,,0,cos,,,0 错解:?,?是第二象限角,即 22525 ,2k,,,2k,,,,k,z.2 从而 4k,,,,4k,,2,,k,z. ,y 故是第三象限角或第四象限角或是终边在轴负半轴上的角. ,,3,4sin,,0,cos,,,0 错因:导出是第二象限角是正确的,由即可确定,22525 34,,sin,,cos,,而题中不仅给出了符号,而且给出了具体的函数值,通过其值 可进 2525 ,,一步确定的大小,即可进一步缩小所在区间.22 ,3,4,sin,,0,cos,,,0 正解:?,?是第二象限角,22525 ,,3233,,2k,,,2k,,k,z,,,sinsin,,,又由知 422524 ,34k,,,,,4k,,2,,k,z,,故是第四象限角.2 [例 4]已知角的终边经过,求的值.P(,4a,3a)(a,0)sin,,cos,,tan,,cot,, 22 错解:?x,,4a,y,3a,?r,x,y,5a 3a3,4a43a3,4

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