2015年江西省高考适应性测试理科数学试卷

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2015 年江西省高考适应性测试 理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和 答题卡相应位置上。 2. 回答第Ⅰ卷时.选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后,再 选涂其它答案标号.写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答且卡一并交回.

x ( ) ? ln x ,若实数 x0 满足 f ( x0 ) ? log 1 sin 10.已知函数 f ( x) ?

1 2

?
8

? log 1 cos
8

?
8

,则 x0 的取值范围是

8

A. (??,1)

B. (0,1)

C. (1, ??)

D. ( , ??)

1 2

?? x 2 ? 2 x, ?2 ? x ? 0 ? 11.已知函数 f ( x) ? ? ,若 g ( x) ?| f ( x) | ?ax ? a 的图像与 x 轴有 3 个不同的交点,则实数 a 的取值 1 , 0? x?2 ? ln ? x ?1
范围是 A.

1 (0, ) e 2 3

B.

(0,

1 ) 2e 4 3 3 2

C. [

ln 3 1 , ) 3 e

D. [

ln 3 1 , ) 3 2e

12.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. B.1 C. D.

第I卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 5} , B ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,则 A
2

1

正视图
1 2 俯视图

侧视图

A. (0,3) 2.复数 z ?

B. (3,5)

C. (?1, 0)

?R B ? D. (0,3]

1 ? ai (a ? R且a ? 0) 对应的点在复平面内位于 a
B.第一、三象限
2

A.第一、二象限 A. ?x ? R, x2 ? x

C.第二、四象限 C. ?x ? R, x 2 ? x

D.第三、四象限 D. ?x ? R, x 2 ? x

3.命题“ ?x ? R, x ? x ”的否定是 B. ?x ? R, x2 ? x 4.已知函数 f ( x) ? x ?2 , g ( x) ? x3 ? tan x ,那么 A. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 C. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 B. D.

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22-第 24 题为选考题,考生 根据要求作答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. D.有最大值 ?6

f ( x) ? g ( x) 是偶函数 f ( x) ? g ( x) 是偶函数
C. 有最小值 6 或最大值 ?6

5.已知等比数列 {an } 中, a2 a10 ? 9 ,则 a5 ? a7 A. 有最小值 6 B. 有最大值 6 6.下列程序框图中,则输出的 A 值是

1 4 . x 14. 已知向量 a ? (2,1) , b ? (?1,3) ,若存在向量 c ,使得 a ? c ? 6 , b ? c ? 4 ,则 c =
13. ( x ? 2 ? ) 展开式中的常数项为

.

开始

A ? 1, i ? 1

A?

A 3A ?1

i ? i ?1

i ? 10



输出A

结束


A.

1 28

B.

1 29

C.

1 31

D.

7.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0, ? ? 图象可由 y ? cos 2 x 的图象 A.向右平移

?
2

1 34
则 y ? f ( x) 的

)的部分图像如图所示,

? ? 个长度单位 B.向左平移 个长度单位 3 3 ? ? C.向右平移 个长度单位 D.向左平移 个长度单位 6 6 2 8.已知抛物线 C : y ? 4 x ,那么过抛物线 C 的焦点,长度为不超过

? x ? 1, ? x y 15.若变量 x, y 满足约束条件 ? y ? x, ,则 w ? 4 ? 2 的最大值是 . ?3 x ? 2 y ? 15 ? x2 y 2 a2 16.对椭圆有结论一:椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (c, 0) ,过点 P ( , 0) 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点, a b c 点 M 关于 x 轴的对称点为 M ' ,则直线 M ' N 过点 F 。类比该结论,对双曲线有结论二,根据结论二知道:双曲线 3 x2 C ' : ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,过点 P( , 0) 的直线与双曲线 C ' 右支有两交点 M , N ,若点 N 的坐标是 (3, 2) ,则在直 2 3 线 NF 与双曲线的另一个交点坐标是__________.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 2, a2 ? 8, a3 ? 24 , {an?1 ? 2an } 为等比数列. (Ⅰ)求证: {

2015 的整数的弦条数是 A. 4024 B. 4023 C.2012 D.2015 9.学校组织同学参加社会调查,某小组共有 5 名男同学,4 名女同学。现从该小组中选出 3 位同学分别到 A, B, C 三地进 行社会调查,若选出的同学中男女均有,则不同安排方法有 A. 70 种 B. 140 种 C. 840 种 D. 420 种

an 1 } 是等差数列; (Ⅱ )求 的取值范围. n 2 Sn

高三理科数学第 1 页

18. (本小题满分 12 分) 某校进行教工趣味运动会,其中一项目是投篮比赛,规则是:每位教师投二分球四次,投中三个可以再投三分球一次,投 中四个可以再投三分球三次,投中球数小于 3 则没有机会投三分球,所有参加的老师都可以获得一个小奖品,每投中一个 三分球可以再获得一个小奖品。某位教师二分球的命中率是

24.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x | , g ( x) ? ? | x ? 4 | ?m (Ⅰ)解关于 x 的不等式 g[ f ( x)] ? 2 ? m ? 0 ; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图像恒在函数 g ( x) 图像的上方,求实数 m 的取值范围.

1 1 ,三分球的命中率是 . 2 3

(Ⅰ)求该教师恰好投中四个球的概率; (Ⅱ )记该教师获得奖品数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 如图,已知在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AA1 ? 2 , ?ACB ? (Ⅰ)求证: AC 1 ∥平面 AB 1D ; (Ⅱ) 当三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积最大时, 求直线 A1D 与平面 AB1D 所 20. (本小题满分 12 分)
A D B A1 B1 C1

?
3



点 D 是线段 BC 的中点.

成角 ? 的正弦值.

C x2 y 2 l 的方程是 x ? 4 , 点 P 是椭圆 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别是 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) ,直线 a b C 上动点(不在 x 轴上) ,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 l 于点 Q ,当 PF1 垂直 x 轴时,点 Q 的坐标是 (4, 4) .

2015 年江西省高考适应性测试参考答案 理科数学
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
题号 1 D 2 B 3 D 4 A 5 C 6 C 7 A 8 B 9 D 10 B 11 C 12 C 答案

(Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )判断点 P 运动时,直线 PQ 与椭圆 C 的公共点个数,并证明你的结论. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a ln x ? b (其中 a ? 2且a ? 0 ) ,函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线过点 (3, 0) . x 2 的图像在 (0, 2] 有且只有一个交点,求实数 a 的取值范围. x

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 70 14. (2,2) 15.512 16. ( , ?

(Ⅰ )求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )若函数 f ( x ) 与函数 g ( x ) ? a ? 2 ? x ?

9 5

2 ) 5

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.解: (Ⅰ) a2 ? 2a1 ? 4 , a3 ? 2a2 ? 8 ,?an?1 ? 2an ? 4 ? 2n?1

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号.

?

an ?1 an a ? n ? 1 ,{ n } 是以1 为首项,公差 d ? 1 的等差数列 n ?1 2 2 2n

…………6 分

(Ⅱ ) 22.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图,圆内接四边形 ABCD 的边 BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的延长线上.

an ? n ? 2n ,

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ?

? n ? 2n ……..① Sn ? (n ?1)2n?1 ? 2 ………8 分
1 1 ? (0, ] …………12 分 Sn 2

2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ?
当 n ? 1 时,

? n ? 2n?1 ……..②, 由①-②得

EC 1 ED 1 DC ? , ? ,求 的值; EB 3 EA 2 AB 2 (Ⅱ )若 EF // CD ,证明: EF ? FA ? FB .
(Ⅰ )若

F A

Sn?1 ? Sn ? (n ? 1)2n?1 ? 0 , {Sn } 从第 1 项开始递增, ?

D

B

18.解: (Ⅰ)该位教师投中四个球可以分为两个互斥事件,投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球,所以概率是

E

C

1 1 1 2 11 3 P ? C4 ? ( ) 4 ? ? ( ) 4 ? ( )3 ? ; 2 3 2 3 108
(Ⅱ ) ? 可能取值有 1, 2,3, 4 ,

……………4 分

23.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 ;坐标系与参数方程 在 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 以 坐 标 原 点 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 已 知 某 圆 的 极 坐 标 方 程 为 :

? 2 ? 4? cos? ? 2 ? 0 .
(Ⅰ)将极坐标方程化为普通方程; (Ⅱ)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

1 1 1 2 1 2 377 3 3 P(? ? 1) ? 1 ? C4 ? ( ) 4 ? ( ) 4 ?C4 ? ( ) 4 ? ? ( ) 4 ? ( )3 ? , 2 2 2 3 2 3 432 1 1 1 1 2 1 3 1 P(? ? 2) ? C4 ? ( ) 4 ? ? ( ) 4 ? C3 ? ? ( )2 ? , 2 3 2 3 3 9 1 1 2 1 1 4 1 3 1 P (? ? 3) ? ( ) 4 ? C32 ? ( ) 2 ? ? , P(? ? 4) ? ( ) ? ( ) ? , 2 3 3 72 2 3 432

……………9 分

高三理科数学第 2 页

所以 ? 的分布列是

?
P

1

2

3

4

1 1 1 9 72 432 377 2 3 4 53 ? ? ? ? 数学期望是 E? ? 。 432 9 72 432 48
19.(Ⅰ )证明:记 A 1B

377 432

……………12 分

AB 1 ? O , OD 为三角形 A1BC 的中位线,

OD , OD ? 平面 AB1D , A1C ? 平面 AB1D , AC 1 ∥ 所以 AC 平面 AB1D ???4 分 1 ∥ (Ⅱ)当三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面积最大时,体积最大,

3( x0 ? 1) y0 x?4 ? 所以直线 PQ 的方程为: , 3( x0 ? 1) x0 ? 4 y0 ? y0 x?4 即 y0 y ? 3( x0 ? 1) ? [ y0 2 ? 3( x0 ? 1)] , x0 ? 4 x?4 3 即 y0 y ? 3( x0 ? 1) ? [3 ? x0 2 ? 3( x0 ? 1)] , x0 ? 4 4 xx y y 化简得: 0 ? 0 ? 1 , 4 3 y?
代入椭圆方程得: (4 y02 ? 3x02 ) x2 ? 24x0 x ? 48 ?16 y02 ? 0 , 化简得: x ? 2 x0 x ? 4 ?
2

……………9 分

A1 C1 O

B1

4 ? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos

?

3

? 2 AC ? BC ? AC ? BC ? AC ? BC 当 AC ? BC ,三角形 ABC 为正三角形时取最大值???7 分 d ,由 VA1 ? AB1D ? VC ? AB1D ? VB1 ? ACD 得 设点 A 1 到平面 AB 1D 的距离为

4 2 y0 ? 0 , 3
……………12 分

A D C

B

x0 2 y0 2 ? ? 1) ? 0 ,所以直线 PQ 与椭圆有一个公共点。 判别式△ ? 16( 4 3
21.解: (1) f ( x) ?

1 1 3 2 S△AB1D ? d ? AD ? DB1d ? ?d ? 3 6 3 5 2 d 2 35 sin ? ? ? 5 ? A1 D 35 7
则 A( 3 ,0,0), B (0,?1,0), B1 (0,?1,2), A1 ( 3 ,0,2), 设面 AB1 D 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,
A1

???10 分

???12 分
z

(另解) (Ⅱ)依题意,如图以 D 为原点,直线 DA,DC 分别为 x,y 轴建立空间坐标

系,
B1

a ln x ? b a ? b ? a ln x |x ?1 ? a ? b ,? f (1) ? b , f '( x) ? x x2 ? y ? b ? (a ? b)( x ? 1) ,切线过点 (3, 0) ,? b ? 2a a ? b ? a ln x a (ln x ? 1) f '( x) ? ?? 2 x x2 1 1 ① 当 a ? (0, 2] 时, x ? (0, ) 单调递增, x ? ( , ??) 单调递减 e e 1 1 ② 当 a ? (??,0) 时, x ? (0, ) 单调递减, x ? ( , ??) 单调递增 ……………5 分 e e

? ?n ? DA ? 3 x ? 0 ? ? ?n ? DB1 ? ? y ? 2 z ? 0
设 y ? 2, z ? 1 ,? n ? (0,2,1) , ???10 分
x A

C1

a ln x ? 2a 2 ? a ? 2 ? x ? 在 (0, 2] 只有一个根 x x 2 即 x ? (a ? 2) x ? a ln x ? 2a ? 2 ? 0 在 (0, 2] 只有一个根
(2)等价方程 令 h( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x ? 2a ? 2 ,等价函数 h( x) 在 (0, 2] 与 x 轴只有唯一的交点
2

B D y C

? DA1 ? ( 3 ,0,2)
? sin ? ?| cos DA1 , n |? | DA1 ? n | | DA1 || n | ? 2 35 35
???12 分

20.解: (Ⅰ )由已知得 c ? 1 ,当 PF 1 ? x 轴时,点 P ( ?1, 由 F2 P ? F2Q ? 0 得 (?2)(4 ? 1) ? 4
2

b ), a

2

(2 x ? a)( x ? 1) x ① 当 a ? 0 时, h( x) 在 x ? (0,1) 递减, x ? (1, 2] 的递增 当 x ? 0 时, h( x) ? ?? ,要函数 h( x) 在 (0, 2] 与 x 轴只有唯一的交点 2 ? h(1) ? 0 或 h(2) ? 0 ,? a ? ?1 或 a ? ? ln 2 ? h '( x) ?
②当 a ? (0, 2) 时, h( x) 在 x ? (0, ) 递增, x ? ( ,1) 的递减, x ? (1, 2] 递增

?????9 分

b ? 0 ? 2b2 ? 3a ? 0 ? 2a2 ? 3a ? 2 ? 0 , a x2 y 2 ? ? 1。 解得 a ? 2 , b ? 3 ,所以椭圆 C 的方程是 4 3
(Ⅱ )设点 P( x0 , y0 ) ,则

a 2

a 2

……………4 分

a h( ) ? h(1) ? a ? 1 ? 0 ,当 x ? 0 时, h( x) ? ?? , h(e?4 ) ? e?8 ? e?4 ? 2 ? 0 2 a ? h( x) 在 x ? (0, ) 与 x 轴只有唯一的交点 ……………10 分 2
③当 a ? 2 , h( x) 在 x ? (0, 2] 的递增
?4 ?8 ?4 f(e )? e ? e ?2 ? 0 ,

x0 2 y0 2 3 ? ? 1 ? 3x0 2 ? 4 y0 2 ? 12 ? y0 2 ? 3 ? x0 2 ,设点 Q(4, t ) , 4 3 4 ?3( x0 ? 1) 由 F2 P ? F2Q ? 0 得: ( x0 ?1)(4 ?1) ? y0t ? 0 ,所以 t ? ,……………6 分 y0

f ( 2? )

? 2

l n?2

0

? h( x) 在 x ? (0, 2] 与 x 轴只有唯一的交点 2 故 a 的取值范围是? a ? ?1 或 a ? ? 或0 ? a ? 2 . ln 2
22. 证明: (Ⅰ) ? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF ,
高三理科数学第 3 页

……………12 分

又? ?CED ? ?AEB ,? ?CED ∽ ?AEB ,?

EC ED DC ? ? , EA EB AB
F A

?

EC 1 ED 1 DC 6 ? , ? ,? .……………5 分 ? EB 3 EA 2 AB 6

(Ⅱ)? EF // CD ? ?FEA ? ?EDC , 又? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF ,

? ?FEA ? ?EBF , 又? ?EFA ? ?BFE ,? ?FAE ∽ ?FEB , EF FB ? ? ? EF 2 ? FA ? FB ……………10 分 FA FE
23. 解: (Ⅰ)ρ2=x2+y2 ρcosθ=x,ρsinθ=y ???5 分

D

B

E

C

? 2 ? 4? cos? ? 2 ? x2 ? y 2 ? 4x ? 2
∴圆的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 (Ⅱ)由 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 ? (x-2)2+y2=2 设? ??????7 分

? ? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? y ? 2 sin ?

(α 为参数)

π x ? y ? 2 ? 2(cos ? ? sin ? ) ? 2 ? 2sin(? ? ) 4
所以 x+y 的最大值 4,最小值 0 ???????10 分 24. 解: (Ⅰ)由 g[ f ( x)] ? 2 ? m ? 0 得 || x | ?4 |? 2 ,??2 ?| x | ?4 ? 2 ? 2 ?| x |? 6 故不等式的解集为 [?6, ?2] [2,6] …………5 分 (Ⅱ)∵函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方 ∴ f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 m ?| x ? 4 | ? | x | 恒成立 ∵ | x ? 4 | ? | x | ? | ( x ? 4) ? x |? 4 , ∴ m 的取值范围为 m ? 4 . …………………………………………10 分 ………………8 分

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