高二数学知识点总结大大全(必修)

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第 1 章 空间几何体 1
1 .1 柱、锥、台、球的结构特征 1. 2 空间几何体的三视图和直观图
11 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下
22 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等

3 圆锥的表面积 S ? ?rl ? ?r2

4 圆台的表面积 S ? ?rl ? ?r2 ? ?Rl ? ?R2

5 球的表面积 S ? 4?R2

(二)空间几何体的体积

1 柱体的体积 V ? S底 ? h

2 锥体的体积 3 台体的体积 4 球体的体积

1 V ? 3 S底 ? h

V

?

1( S 3



?

S上S下 ? S下) ? h

V ? 4 ?R3 3

第二章 直线与平面的位置关系

33 直观图:斜二测画法 44 斜二测画法的步骤:
(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图
1.3 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和
2 圆柱的表面积 S ? 2?rl ? 2?r 2

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

1 平面含义:平面是无限延展的

2 平面的画法及表示

(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行

四边形,锐角画成 450,且横边画成邻边的 2 倍长(如

D

C

图)

α

(2)平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面 A

B

α 、平面β 等,也可以用表示平面的平行四边形的四个

顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。

3 三个公理:

(1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内

-1-

符号表示为

A∈L B∈L A∈α

=> L α

A
α·
L

B∈α

公理 1 作用:判断直线是否在平面内

(2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。

A

B

α· C ·

·

公理 2 作用:确定一个平面的依据。

(3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点

的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据

β

α

P
·

L

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a ⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

1 空间的两条直线有如下三种关系:

相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线
平行直线:同一平面内,没有公共点;

异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。

2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为:设 a、b、c 是三条直线

a∥b

=>a∥c

c∥b

强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。

公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补

4 注意点:

① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了

? 2



a∩α =A

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

a∥α

2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该

直线与此平面平行。

简记为:线线平行,则线面平行。

符号表示:





=> a∥α

a∥b

-2-

2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这 两个平面平行。

符号表示: aβ bβ a∩b = P β ∥α a∥α b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示:

a∥α



a∥b

α ∩β = b

作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。

β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义
如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂 直,记作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线 与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。
L
p α
2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂 直。
注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化

2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

符号表示:

α ∥β

α ∩γ = a

a∥b

的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A

-3-

2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这 两个平面平行。

符号表示: aβ bβ a∩b = P β ∥α a∥α b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示:

a∥α



a∥b

α ∩β = b

作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。

β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义
如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂 直,记作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线 与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。
L
p α
2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂 直。
注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化

2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

符号表示:

α ∥β

α ∩γ = a

a∥b

的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A

-4-

梭l

β

B

α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面

垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章知识结构框图
平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

1、直线的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直 线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重 合时, 规定α = 0°. 2、 倾斜角α 的取值范围: 0°≤α <180°.
当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写 字母 k 表示,也就是
k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式:
给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜 率:

空间直线、平面的位置关系

直线与直线的位置关系
3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率

直线与平面的位置关系 第三章 直线与方程

斜率公式: 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如 平面与平面的位置关系 果它们的斜率相等,那么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前 提,结论并不成立.即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如
-5-

果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.2.1 直线的点斜式方程

1、 直线的点斜式方程:直线 l 经过点 P0 (x0 , y0 ) ,且斜率为 k y ? y0 ? k(x ? x0 )
2、、直线的斜截式方程:已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0,b)

y ? kx ? b
3.2.2 直线的两点式方程

1 、 直 线 的 两 点 式 方 程 : 已 知 两 点 P1 (x1, x2 ), P2 (x2 , y2 ) 其 中

(x1 ? x2 , y1 ? y2 )

y ? y1 y2 ? y1

?

x ? x1 x2 ? x1

( x1

?

x2 ,

y1

?

y2 )

2、直线的截距式方程:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ,与 y 轴的交点为

B (0,b) ,其中 a ? 0,b ? 0

3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:关于 x, y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不
同时为 0) 2、各种直线方程之间的互化。

3.3.1 两直线的交点坐标 1、给出例题:两直线交点坐标
L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0

解:解方程组

?3x ? 4y ? 2 ? 0 ??2x ? 2y ? 2 ? 0

得 x=-2,y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2)

3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式

P1P2 ? ? x2 ? x2 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2
3.3.3 点到直线的距离公式 1.点到直线距离公式:

点 P(x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B2

2、两平行线间的距离公式:

已知两条平行线直线 l1 和 l2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l2 的距离为 d ?

C1 ? C2 A2 ? B2

-6-

4.1.1 圆的标准方程

第四章

圆与方程

1、圆的标准方程: (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2

圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程

2、点 M (x0 , y0 ) 与圆 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法:

(1) (x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外

(2) (x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上

(3) (x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内
4.1.2 圆的一般方程

1、圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

2、圆的一般方程的特点:
(1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0.
②没有 xy 这样的二次项.
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数, 圆的方程就确定了.
(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明 显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 设直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆的半径为 r ,
圆心 (? D , ? E ) 到直线的距离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几 22
点: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交;
4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系. 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C2 相离;
(2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C2 外切;
(3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C2 相交;
(4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C2 内切;
(5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C2 内含; 4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 2、过程与方法 -7-

用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素, 将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 4.3.1 空间直角坐标系

R M

O

Q

y

P

M'

x

z

O
M1 N1

P2 P1
M M2 H N2 y N

x

P1P2 ? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (z1 ? z2 )2

1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 (x, y, z) , x 、 y 、 z 分别是 P、Q、R 在 x 、 y 、 z 轴上的坐标 2、有序实数组 (x, y, z) ,对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 (x, y, z) 来表示,该数组叫做点 M
在此空间直角坐标系中的坐标,记 M (x, y, z) , x 叫做点 M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫做点 M 的竖坐标。
4.3.2 空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点 P1 (x1, y1, z1 ) 到点 P2 (x2 , y2 , z2 ) 之间的距离公式
-8-


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