函数组合型不等式的导数证法_论文

证明 令厂 ( z ) 一   (  ) :堕   , 则  ( 0 <2 <  由 于 当o < z < 号 时, x  ̄ t a n  , 所以f   ( z ) < o ,   即   ( z ) 在 ( o , 号 ) 内 单 调 递 减 . 从 而 , 当O < x < 2 1  ̄ ,   ◇ 广东 王 健 发  , ( z ) > , ( 号 ) , 即   >  . 所 以 , 当0 < z < 号 时 ,   s i n   z>   z.   欲 证 给定 区 间 内不 等式 厂( z ) ≥g( z ) 恒成 立 , 常  规方 法有 3种 ; ① 通 过 作差 构 造 函 数 h (  ) 一, ( z ) 一  g (  ) , 然 后利 用导 数 求 出 h (  ) 在 给 定 区 间 上 的最 小  值; ②先 求 出函数 - 厂 (  ) 在 给 定 区 间 内 的最小 值  , 再  求 出 函数 g(  ) 在 给 定 区 间 内 的最 大 值 M , 若 满 足  ≥M , 则 不 等式 , ( z ) ≥g ( z) 恒成立; ③ 先 对所 证不  等式 - 厂 (  ) ≥g (  ) 进 行变 形 , 然 后 选用 上 述 2种 方法  证 明. 本 文 主要 分 析 3 , 一e   , Y—I n   z , Y —  (  E   N) ,   彝   这 里 利 用 “ 当 o <   < 号 时 , 不 等 式 z < t a n   z   恒成立’ ’ 这 一简单 性质 , 构 造 函数 , ( z ) 一   明; 另外, 也 可 以运 用 方法① 进 行证 明.   类型 3  y =l n   X与 Y =  ( n ∈N) 的 组合  ,’   I 进行 证  —s i n   z或 —C O S   z这 4种 特 殊 的类 型 函数 组合 在  一 例3  当 z ∈( o , e ] 时, 证明:   e  一 起时 , 应该 如何 变形 才能 利用 导数 进行证 明 .   类型 1  y =e  与 Y =  ( , l ∈N) 的组 合  ,.   j 号 z > ( z - 4 - 1 ) 1  .   证 明  因为 z∈( 0 , e ] , 所 以不 等 式 可 以 变 形 为  :   例 l 证 明不 等式 :   z z 一 1 n   z >   + 要 .   令厂 ( z ) 一e z x- -I n  , g( z ) 一  e2一   . e   >1 +z +÷z 。 , z∈( 0 , +o o ) .   +  5 , 则厂( z ) 一   证明  设 厂 (  ) :e   一1 一z一_ 砉 _ z   , 则f   (  ) 一   e   一1 一z . 令g ( z ) 一e   一1 一z, 则g   ( z ) =e   一1 . 当  x >O 时, g   (  ) =e   一1 >0 . 所以 g ( z ) 在( 0 , +∞ ) 上  令厂   (  ) :o , 得  一  1 .  当 o <z <  1时 ,   (  ) < 0恒 成 立 ; 当  1< < e   单 调递增 .   又 g ( O ) 一0 , 所以 g ( z ) >g ( 0 ) 一0 .从 而 g ( z ) >  0在 ( O , +。 。 ) 上恒 成立 , 即f   ( z ) >0在 ( 0 , +。 。 ) 上 恒  时 , ,   ( z ) > o 恒 成 立 , 所 以 厂 ( z ) 在 ( 0 , 吉 ) 上 单 调 递   减, 在(   1, e ) 上 单调 递增 . 从而 , 当z :  I时 ,   成立, 所以厂 (  ) 在( 0 , +。 。 ) 上 单调 递增 .   注意到 厂 ( 0 ) 一0 , 所以 e   一l -X -÷z 。 >o , 即   e   >1 +3 7 +÷z   ,  ∈( 0 , +∞) .   fm i n ( z)   .   又g   ( z ) = = =   , 令g   ( z ) 一o , 得  =e . 当0 <  彝耋   凳   小 于幂 函数 , 再运 用 方 法① 进 行 证 明.这 样 做 的理 论  依 据是 幂 函数在 经过  次 求 导 (   是 题 中幂 的最 高 次  x <e 时, g   ( z ) >O 恒成立 , 即 g( z ) 在( O , e ) 上 单调 递  增 . 从 而 当 z : e 时 , g   ( z ) = = : g ( e ) 一 { + 号 .   显然 f  ( z ) >g  ( z ) . 故 当 xE( 0 , e ] 时, e   z   一  数) 后就 变 成 了常数. 这 时只 须 解指 数 不 等 式 , 就 能得  到前  ~1次 求 导后 函数 的 单调 性 , 从 而使 不 等 式得  以 证 明.   号 z > (   + 1 ) l n   .   类型 2  y =s i n   x或 =C O S   x与  =x   ( , l ∈N) 的组 合  例 2  当 0 <z <  时 , 求证 s i n   z >  z .   彝茎   决, 则一般 是构 造 函数  进 行 证 明.   . 豢   39   一 日学 一 日功 , 一 日不 学 十 日空  救 I :   竺 :   类型 4 指 数 函数 与对数 函数 的组 合  :   一例4 ( 2 0 1 2年 山东 卷 有删减 ) 已知 函数 F( . z ) 一  ( e 一2 . 7 1 8   2 8 … 是 自然 对 数 的底 数 ,   为

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