01 集合含义表示与集合间的基本关系

课后 学生 评价 教师 课题 重点 难点

一、 学生对于本次课的评价






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授课日期

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授课时段

第一讲 集合含义表示与集合间的基本关系
1. 集合含义与表示、集合间的基本关系(重点) 2. 集合元素的特性集体、数形结合、含参数问题(难点) 一、课前导入 1、交流学习情况 2、作业检查与上堂课作业讲解 二、查漏补缺 集合的含义与表示 【要点回顾】 1、集合与元素 2、集合中元素的特性 3、集合中元素与集合的关系 4、常见集合的符号表示 5、集合的分类 6、集合的 3 种表示方法:列举法、描述法、韦恩图 集合间的基本关系 【要点回顾】 1、子集:A 中任意一元素均为 B 中的元素; 即由任意 x ? A 能推出 x ? B . 2、真子集:A 中任意一元素均为 B 中的元素,且 B 中至少有一元素不是 A 的元素; 集合 A 是集合 B 的子集( A ? B ),包含两种情况. 3、集合相等:集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同; 若 A ? B ,又 B ? A 则 A ? B ;反之,如果 A ? B ,且 B ? A 则 A ? B . 4、空集:不含元素的集合为空集,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 5、集合间的关系的几个重要结论 6、有限集合的子集个数 【例题讲解】 三、课堂小结 1、集合的含义与表示; 2、集合间的基本关系. 四、作业布置:见讲义

教 学 步 骤 及 教 学 内 容

教导处签字: 日期: 年 月 日
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二、 教师评定 1、 学生上次作业评价

O好

O 较好

O 一般

O差

2、 学生本次上课情况评价

O 好 作业 布置

O 较好

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O 差

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家长 意见

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第一讲

整式称出与因式分解
2

一、课前导入
1、交流学习情况 2、上堂课作业检查

二、查漏补缺 集合的含义与表示
【要点回顾】 1、集合与元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合(大写字母表示) ,这些研究对象叫做元素(小写字母 表示).
必须是确定的 ?确定性:集合中的元素 ? 元素是互不相同的 2、集合中元素的特性: ?互异性:集合中任两个 ?无序性:集合与组成它 的元素顺序无关 ?

注意:这三条性质对于研究集合有着很重要的意义,经常会渗透到集合的各种题目中,应当重视. 3、集合中元素与集合的关系: 元素与集合的关系:①如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A ,记作: ②如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A ,记作: 注意:属于或不属于( ?, ? )一定是用在表示元素与集合间的关系上 用表格表示如下: 文字语言 属于 不属于 符号语言 ? ?

4、常见集合的符号表示 (1)非负整数集(自然数集) :全体非负整数的集合.记作 N (2)正整数集:非负整数集内排除 0 的集.记作 N*或 N+ (3)整数集:全体整数的集合.记作 Z (4)有理数集:全体有理数的集合.记作 Q (5)实数集:全体实数的集合.记作 R 用表格表示如下: 数集 自然数集 符号
N

正整数集
N ? 或 N?

整数集

有理数集
Q

实数集

复数集
C

Z

R

注意: (1)自然数集与非负整数集是同一集合. (2)自然数集包括 0,且 0 是唯一一个属于 N 但不属于 N*的元素.
3

5、集合的分类:集合的种类通常分为:有限集(集合含有有限个元素) 、无限集(集合含有无限 ? 表示) 个元素) 、空集(不含任何元素的集合,用记号 6、集合的 3 种表示方法:列举法、描述法、韦恩图; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“ ? ?”括起来的表示方法。例: A ? ? ,2? 1 描述法:在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围,再画一条竖线,在竖线后 写出这个集合中元素所具有的共同特征。例: B ? ?x x ? 4?(如果元素的取值范围是全体实数,范 围可省略不写) 。 图示法(即维恩图法) :用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。 例题讲解 例 1 用符号 ? 和 ? 填空。 1) 设集合 A 是正整数的集合,则 0_______A, 2 ________A, ?? 1? ______A;
0

2) 设集合 B 是小于 11 的所有实数的集合,则 2 3 ______B,1+ 2 ______B; 3) 设 A 为所有亚洲国家组成的集合,则中国_____A,美国_____A,印度_____A,英国____A 4) 0 __ N
3.14 _____Z

? ______Q

5)若 A ? x x 2 ? 2 x ,则 ? 2 _____A

?

?

6)若 B ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 3 _____B

?

?

例 2 判断下列说法是否正确,并说明理由。 1)某个单位里的年轻人组成一个集合; 2) 1,
3 6 1 1 , , ? , 这些数组成的集合有五个元素; 2 4 2 2

3) 由 a,b,c 组成的集合与 b,a,c 组成的集合是同一个集合。 变式练习 1.判断下列说法是否正确,并说明理由 1)大于 5 的自然数集可以构成一个集合; 2)由 1,2,3,2,1 构成一个集合,这个集合共有 5 个元素; 3)所有的偶数构成的集合是无限集; 4)著名的数学家可以构成一个集合; 5)集合 ?x, y, z?与集合 ?y, x, z?是不同集合.

4

例 3 用列举法表示下列集合(思考描述法): ⑴ 小于 10 的所有自然数组成的集合 A; ⑵ 方程 x 2 = x 的所有实根组成的集合 B;

⑶ 由 1~20 中的所有质数组成的集合 C.

例 4 用适当的方法表示下列集合

?? 6 17 ?? ?? 6 17 ?? ? 6 17 ? 1 1)一次函数 y ? 2 x ? 1 与 y ? ? x ? 4 的交点组成的集合。 ?? , ?? ?? , ?? ? , ? 区别 2 ?? 5 5 ?? ?? 5 5 ?? ? 5 5 ?
是什么?

2)绝对值等于 3 的全体实数构成的集合。

3)大于 0 的偶数。

提升练习 1.集合 A ? ?x, y ? x ? 2 y ? 7, x, y ? N ,用列举法表示集合 A 。

?

?

例 5 已知 x ? {1,0,x},求实数 x 的值。
2

5

例 6 已知集合 A ? x ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R , ⑴ 若 A 中只有一个元素,求 a 的取值.

?

?

⑵ 若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围.

例 7 已知集合 A={a + 2,(a + 1) 2 ,a 2 + 3a + 3},若 1 ? A,求实数 a 的值.

集合间的基本关系
表示 文字语言 集合 A 与集合 B 中的所有 元素都相同 子集 A 中任意一元素均为 B 中 的元素 A 中任意一元素均为 B 中 真子集 的元素,且 B 中至少有一 元素不是 A 的元素 空集 不含元素的集合为空集, 是任何集合的子集,是任 ? ? A , ? 何非空集合的真子集 符号语言
A ? B且 B ? A ?

相等

A?B
A ? B或B ? A

A

B

B(B ?? )

1、子集 (1)集合 A 是集合 B 的子集含义是:集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,即由任意
x ? A 能推出 x ? B .

(2)当 A 不是 B 的子集时,我们记作 A ? B . (3) 任何一个集合都是它本身的子集, 因为对于任何一个集合 A, 它的每一个元素都属于它本身, 记作 A ? A .
6

2、集合相等 两个集合相等,则两个集合元素完全相同:1.元素个数相等;2.对于其中一个集合的任一个 元素,在另一个集合中都可以找到这个元素. 注意: (1)若 A ? B ,又 B ? A 则 A ? B ;反之,如果 A ? B ,且 B ? A 则 A ? B .这样,我们得 到,若欲证两个集合相等,即欲证 A ? B ,只需证 B ? A 且 A ? B 即可. (2)两个集合相等,则两个集合元素完全相同,与元素顺序无关. 3、真子集 集合 A 是集合 B 的子集( A ? B ), 包含两种情况: 一是集合 A 是集合 B 的真子集; 二是集合 A 与集合 B 相等,即 A ? B ? A ? B 或 A

B.

4、空集 (1)空集 ? 与 ?0? 是不同的,? 是不含任何元素的集合,而 ?0? 表示只含有一个元素的集合. (2)注意 ??? 与
? 的区别.

(3)是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 5、集合间的关系的几个重要结论 (1)空集是任何集合的子集,即 ? ? A (2)任何集合都是它本身的子集,即 A ? A (3)子集、真子集都有传递性,即若 A ? B , B ? C ,则 A ? C 6、有限集合的子集个数: n 个元素的集合的子集、真子集、非空子集、非空真子集个数. 7、子集(真子集)性质 集合是其本身的子集 集合相等 真子集、子集包含关系的传递性

例题讲解
例 1 用适当的符号填空 ? ? ? 1) 2 __ ?1, 2,3? 2) a __ ?a, b? 3) ?a? _____ ?a, b, c? 4) ? __ ?0?

5) ?1,4,7? ____ ?7,1,4?

6) ?0,1 ____ N ?

7) ? ____ x ? R x ? ?1
2

?

?
7

例 2 已知集合 A ? ??2,0,1 ,那么 A 的非空真子集有_________个. ?

解:A的非空真子集指的是,除A集合本身与?后所有子集 含有1个元素的??2??0??1? 含有2个元素的??2, ?2, 1, 0? 0?? 1??

给出计算子集的公式,全部子集个数 ? 2n,n表示元素个数。
变式练习 1.写出集合{a、b、c}的所有子集,并指出其中哪些是真子集,哪些是非空真子集.

2. 已知{1,2} ? M ? {1,2,3,4,5},则这样的集合 M 有__________个.

例3

设集合 A={1,3,a},B={1,a 2 - a + 1},且 A ? B,求 a 的值

变式练习 已知集合 A={x,xy,x - y},集合 B={0, x ,y},若 A=B,求实数 x,y 的值.

利用集合间的关系求字母参数问题 例4 已知集合 A={x︱1<ax<2},B={x∣ x <1},求满足 A ? B 的实数 a 的范围.

变式练习 设集合 A={x∣x 2 + 4x=0,x ? R},B={x∣x 2 + 2(a + 1)x + a 2 - 1=0,x ? R },若 B ? A,求实数 a 的值.

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数形结合思想: 1. 用 Venn 图解题 例 5 设集合 A={x︱x 是菱形},B={x︱x 是平行四边形},C={x︱x 是正方形},指出 A、B、C 之间的关系。

2.用数轴解题 例 6 已知 A={x︱x<-1 或 x>5},B={x ? R︱a<x<a + 4},若 A ? B,求实数 a 的取值范围.

三、课堂总结 1.集合的含义与表示 2.集合间的基本关系 四、练习作业 一、选择题 1.下列各组对象 ①接近于 0 的数的全体; ②比较小的正整数全体; ③平面上到点 O 的距离等于 1 的点的全体;④正三角形的全体; ⑤ 2 的近似值的全体. 其中能构成集合的组数有( A.2 组 B.3 组 2. 下列各式中,正确的个数是( ) C.4 组 ) D.5 组

(1) {0} ? {0,1,2}; (2){0,1,2} ? {2,1,0}; (3) ? ? {0,1,2}; (4) ? ? {0}; (5){0,1}={(0,1)}; (6)0={0}。 A. 1 B. 2 ? 3. 集合 ? x ? N x ? 3 ? 2? 用列举法可以表示为 ( A. ?0, 1, 2, 3, 4? C. ?0, 1, 2, 3, 4, 5? C. 3 ). D. 4

B. ?1, 2, 3, 4? D. ?1, 2, 3, 4, 5?

4.下列各选项中的 M 与 P 表示同一个集合的是( ) 2 2 A.M={x∈R|x +0.01=0},P={x|x =0} B.M={(x,y)|y=x2+1,x∈R},P={(x,y)|x=y2+1,x∈R} C.M={y|y=t2+1,t∈R},P={t|t=(y-1)2+1,y∈R} D.M={x|x=2k,k∈Z},P={x|x=4k+2,k∈Z}
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二、填空题 5.对于集合 A={2,4,6},若 a∈A,则 6-a∈A,那么 a 的值是______. ? ? 6 6.集合 ? x ? Z y ? . , y ? Z ? 中的元素有 x ?1 ? ?

7.已知-3 ? m ? 1,3m, m 2 ? 1 , 求 m 值?______. 三、解答题 8.已知集合 A={x∣x>0,x ? R},B={x∣x 2 - x + p=0},且 B ? A,求实数 p 的范围.

?

?

9.已知 A={x∣x 2 - 3x + 2=0},B={x∣ax - 2=0},且 B ? A,求实数 a 组成的集合 C.

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