ks2924.vip:高中数学(苏教版)选修1-1精品课件:第三章第1节第1课时平均变化率_图文

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首 上一页 下一页 末 页 第 1 课时 平均变化率 首 上一页 下一页 末 页 首 上一页 下一页 末 页 某病人吃完退烧药,他的体温变化如下: x(min) 0 10 20 30 40 50 60 y(℃) 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.8 问题 1:试比较时间 x 从 0 min 到 20 min 和从 20 min 到 30 min 体温变化情况,哪段时间体温变化较快? 提示:从 20 min 到 30 min 变化快. 问题 2:如何刻画体温变化的快慢? 提示:用平均变化率. 问题 3:平均变化率一定为正值吗? 提示:不一定.可正、可负、可为零. 首 上一页 下一页 末 页 1.平均变化率 一 般 地 , 函 数 f(x) 在 区 间 [x1 , x2] 上 的 平 均 变 化 率 为 f(x2)-f(x1) . x2-x1 2.平均变化率与曲线变化关系 平均变化率是曲线陡峭程度的“ 数量化 ”,或者说,曲 线陡峭程度是平均变化率的“ 视觉化 ”. 首 上一页 下一页 末 页 对平均变化率的理解 (1)由平均变化率的定义知,平均变化率可正、可 负、可为零. (2)平均变化率刻画函数值在区间 [x1,x2]上变化 的快慢. 首 上一页 下一页 末 页 首 上一页 下一页 末 页 [例 1] 已知函数 f(x)=2x2+1. (1)求函数 f(x)在区间[1,1.1]上的平均变化率; (2)求函数 f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率. [思路点拨] 即可. 直接利用平均变化率的定义求解 首 上一页 下一页 末 页 [精解详析] f(1.1)-f(1) (1) 1.1-1 2×1.12-2×12 0.42 = = =4.2. 0.1 0.1 f(2.01)-f(2) 2×2.012-2×22 (2) = 0.01 2.01-2 8.080 2-8 0.080 2 = = =8.02. 0.01 0.01 首 上一页 下一页 末 页 [一点通] 率的步骤: 求函数 f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化 第一步:求 x2-x1; 第二步:求 f(x2)-f(x1); f(x2)-f(x1) 第三步:由定义得出 . x2-x1 首 上一页 下一页 末 页 π π π 1.求函数 y=sin x 在 0 到 之间和 到 之间的平均 6 3 2 变化率. π sin -sin 0 π 6 3 解:在 0 到 之间的平均变化率为 = ; 6 π π -0 6 π π sin -sin π π 2 3 在 到 之间的平均变化率为 = 3 2 π π - 2 3 3(2- 3) . π 首 上一页 下一页 末 页 2.如图是函数 y=f(x)的图象,则: (1)函数 f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为________; (2)函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________. 首 上一页 下一页 末 页 解析: (1) 函数 f(x) 在区间 [ - 1 , 1] 上的平均变化率为 f(1)-f(-1) 2-1 1 = = . 2 2 1-(-1) (2)由函数 f(x)的图象知, ?x+3 ? ,-1≤x≤1, 2 f(x)=? ? ?x+1,1<x≤3. 所 以 函 数 f(x) 在 区 间 [0 , 2] 上 的 平 均 变 化 率 为 3 f(2)-f(0) 3-2 3 = = . 2 4 2-0 1 3 答案:(1) (2) 2 4 首 上一页 下一页 末 页 [例 2] 已知气球的体积为 V(单位: L)与半径 r(单位: dm) 4 3 之间的函数关系是 V(r)= πr . 3 (1)求半径 r 关于体积 V 的函数 r(V); (2)比较体积 V 从 0 L 增加到 1 L 和从 1 L 增加到 2 L 时半 径 r 的平均变化率,哪段半径变化较快(精确到 0.01)?此结论 可说明什么意义? [思路点拨] 首先由球的体积公式变形得到函数 r(V)的解 析式,再根据求平均变化率的步骤运算. 首 上一页 下一页 末 页 4 3 [精解详析] (1)∵V= πr , 3 3 3V 3V ∴r = ,r= , 4π 4π 3 3 3V ∴r(V)= . 4π (2)函数 r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为 3 r(1)-r(0) = 1-0 首 1 3× -0 4π ≈0.62(dm/L). 1 上一页 下一页 末 页 函数 r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为 3 3 r(2)-r(1) 2 1 =- 3× - 3× ≈0.16(dm/L). 2-1 4π 4π 显然体积 V 从 0 L 增加到 1 L 时,半径变化快,这说明随着 体积的增加,气球的半径增加的越来越慢. 首 上一页 下一页 末 页 [一点通] 平均变化率在实际问题中有很大作用, 要把 实际问题中的量与函数中的量对应起来,从而能利用平均 变化率的定义来解决实际问题. 首 上一页 下一页 末 页 3.已知某一细菌分裂的个数随时间 t s 的变化满 足函数关系式 f(t)=3t+1,分别计算该细菌在[1,2], [3,4],[5,6]时间段内分裂个数的变化率,由此你能 得出什么结论? 首 上一页 下一页 末 页 解:细菌分裂的个数在[1,2]内的平均变化率为 f(2)-f(1) =32-3=6, 2- 1 细菌分裂的个数在[3,4]内的平均变化率为 f(4)-f(3) =34-33=54. 4- 3 细菌分裂的个数在[5,6]内的平均变化率为 f(6)-f(5) =36-35=486. 6- 5 由此得出随时间的增加,细菌分裂的个数增加速度越来 越快

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