安徽省淮南市第二中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

淮南二中 2017 届高二下学期期中教学检测 数学试题(理科)
一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1.若复数 A.3

6 ? ai (其中 a ? R, i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则 a ? ( 3?i
B.4 C.6 D.12



2.观察下列各式: a ? b ? 1 , a 2 ? b 2 ? 3 , a 3 ? b 3 ? 4 , a 4 ? b 4 ? 7 , a 5 ? b5 ? 11, ?, 则a ?b
10 10

?(

) B. 76 C.123
? ?

A. 28
?

D. 199

3.已知 a ? (2, ?1,3) , b ? (?1, 4, ?2) , c ? (7,5, ? ) ,若 a, b, c 三向量共面,则实数 ? 等 于( A. )

62 63 64 65 B. C. D. 7 7 7 7 4.用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,假设正确的是( A.三个内角中至少有一个钝角 B.三个内角中至少有两个钝角 C.三个内角都不是钝角 D.三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
5. 用数学归纳法证明



1 1 1 1 ? ? ?? ? 1 ( n ? N * 且 n ? 1 )由 n ? k 到 n ? k ? 1 n n ?1 n ? 2 2n
) B.

时,不等式左边应添加的项是( A.

1 2(k ? 1)
1 1 1 ? ? 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1

1 1 1 ? ? 2k ? 1 2k ? 2 k

C.

D.

1 1 1 1 ? ? ? 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 k ? 2

6.六位选手依次演讲, 其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲, 则不同的演讲次序共有 ( ) A.240 种 B.360 种 C.480 种 D.720 种 7.由直线 y ? A. 2 ln 2

1 1 , y ? 2 ,曲线 y ? 及 y 轴所围成的封闭图形的面积是( x 2 1 5 ln 2 B. 2 ln 2 ? 1 C. D. 2 4



8.在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M 是 AB 的中点,则点 C 到平面 A1 DM 的距 离为( )

1

A.

6 a 3

B.

6 a 6

C.

2 a 2

D.

1 a 2


9.已知函数 f ( x) ? x3 ?12x ? a(a ? 16) ,则下列说法正确的是( A. f ( x ) 有且仅有一个零点 C. f ( x ) 至多有两个零点 B. f ( x ) 至少有两个零点 D. f ( x ) 一定有三个零点

10.若点 O 和点 F 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 4 3

OP ? FP 的最大值为(
A. 2 B. 3

) C. 6 D. 8

11.已知定义在实数集 R 的函数 f ( x) 满足 f (1) ? 4 ,且 f ( x) 导函数 f ' ( x) ? 3 ,则不等式

f (ln x) ? 3ln x ? 1的解集为(
A. (1, ??) B. (0, e)

) D. (e, ??)

C. (0,1)

12.已知点 P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点, F1 , F2 分别为双曲线的左 右 a2 b2

焦点,且 | F1 F2 |? 为( )

b2 , I 为三角形 PF1 F2 的内心,若 S?IPF ? S?IPF ? ?S?IF F , 则 ? 的值 1 2 1 2 a

A.

1? 2 2 2

B. 2 3 ? 1

C. 2 ? 1

D. 2 ? 1

2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分)
1 13.已知正三角形内切圆的半径 r 与它的高 h 的关系是: r ? h ,把这个结论推 广到空间正 3

四面体,则正四面体内切球的半径 r 与正四面体高 h 的关系是



14.如图,一环形花坛分成 A 、B、C、D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块里种 一种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为 .

15. 过 抛 物 线 y ? 4 x 的 焦 点 F 作 直 线
2

l 与 其 交 于 A, B 两 点 , 若 AF ? 4 , 则

BF ?

.

16. 已知 (a ? 1) x ? 1 ? ln x ? 0 对于任意 x ? ? ,2? 恒成立,则 a 的最大值为 2

?1 ? ? ?

.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分) 17.(本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? b) ln x ? bx ? 3 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 . (1)求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的极值.

18. (本小题满分 10 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是 ? ABC ? 60 的菱形, M 为棱 PC 上的动点,且
0

PM ? ? (? ? [0,1]) . PC

(1) 求证: BC ? PC ; (2) 试确定 ? 的值,使得二面角 P ? AD ? M 的余弦值为

2 5 . 5

3

19.(本小题满分 10 分) 数学归纳法证明: 1 ?

1 1 1 1 4n ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? (n ? N * ) . 2 2 3 4 n 2n ? 1

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,离心率等于 (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,交 y 轴于 M 点,若

2 5 2 5 ,且过点 (1, ). 5 5

???? ???? ???? ??? ? MA ? ?1 AF, MB ? ?2 BF ,求证: ?1 ? ?2 为定值.

21. (本小题满分 12 分) . 已知函数 f ( x) ? x(ln x ? 1) (1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)设 F ( x) ? ax ? f ( x)(a ? R) ,讨论函数 F ( x ) 的单调性;
2 '

(3) 若斜率为 k 的直线与曲线 y ? f ( x) 交于 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 两点,求证:
'

x1 ?

1 ? x2 . k

4

5

淮南二中 2017 届高二下学期期中教学检测 数学试题(理科)答案与评分细则 一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 B 6 C 7 A 8 A 9 C 10 C 11 B 12 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分)

4 1 14. 84 15. r? h 4 3 三、填空题(本大题共 5 小题,共 52 分)
13.

16. 1 ? 2 ln 2

17.解(1)因为 f ?1? ? ?b ? 3 ? 2 ,所以 b ? 1 ;...............................1 分 又 f ?? x? ?

b 1 ? a ln x ? a ? b ? ? a ln x ? a ? 1 , . ..................... ........2 分 x x

而函数 f ? x ? ? ? ax ? b? ln x ? bx ? 3 在 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 , 所以 f ? ?1? ? 1 ? a ?1 ? 0 ,所以 a ? 0 ;......................... .............3 分

?

?

(2)由(1)得 f ? x ? ? ln x ? x ? 3 , f ? ? x ? ? 当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;

1 ?1 , x

所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增, f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减,....................6 分 所以 f ? x ? 有极大值 f ?1? ? 2 ,无极小值. ......................................8 分 18.解: (Ⅰ)取 AD 中点 O,连结 OP,OC, ∵侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直, 底面 ABCD 是∠ABC=60°的菱形, ∴△ADC 是等边三角形,PO、AD、CO 两两垂直,. 以 O 为原点,OC 为 x 轴,OD 为 y 轴,OP 为 z 轴,建立空间直角坐标 系, ........................................................................2 分 由题意得 P(0,0, ) ,C( ,0,0) ,B( ,﹣2,0) , =(0,﹣2,0) , ∴ (Ⅱ)由 =(﹣ ,0, ) ,...................................3 分

= 0,∴CB⊥CP....................................................4 分 =λ 可得点 M 的坐标为( λ ,0, ).....................5 分

6



=(

λ ,1,

) ,

=(

λ ,﹣1,

) ,

平面 AMD 的法向量 =(x,y,z) , 则

令 z=λ ,得 =(λ -1,0,λ ) ,............................................ ....7 分 由题意平面 PAD 的法向量 =(1,0,0) , ∵二面角 P﹣AD﹣M 的平面角余弦值为 ∴|cos< , >|= = . ,

由 λ ∈[0,1]) ,解得 λ = ...................................................10 分

19.证明: (ⅰ)当 n ? 1 时,左边=

左边 ? 右边,即不等式成立;.................................................2 分 (ⅱ)假设 n ? k (k ? N ) 时,不等式成立,即
*

1 4 ?1 4 ? 1 ,右边= ? , 2 1 2 ?1 ? 1 3

1?

1 1 1 1 4k ........... ........................3 分 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? 2 2 3 4 k 2k ? 1
1 1 1 1 1 4k 1 ..........4 分 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? ? ? 2 2 2 3 4 k (k ? 1) 2k ? 1 (k ? 1) 2

则当 n ? k ? 1 时, 1 ?

问题可通过证明

4k 1 4(k ? 1) 来实现...........................5 分 ? ? 2 2k ? 1 (k ? 1) 2(k ? 1) ? 1

7

要证:

4k 1 4(k ? 1) 4k ? 4 ? ? ? 2 2k ? 1 (k ? 1) 2(k ? 1) ? 1 2k ? 3 1 4k ? 4 4k ? ? 2 (k ? 1) 2k ? 3 2k ? 1 1 4 ? 2 (k ? 1) (2k ? 3)(2k ? 1)

只需证:

只需证:

只需证: (2k ? 1)(2k ? 3) ? 4(k ? 1) 2 只需证: 4k ? 12k ? 3 ? 4k ? 12k ? 4
2 2

∵3 ? 4 ∴

4k 1 4(k ? 1) ? ? 2 2k ? 1 (k ? 1) 2(k ? 1) ? 1

即当 n ? k ? 1 是不等式也成立............... ..................................9 分 综上:由(ⅰ) (ⅱ)可得,对于一切的 n ? N ? 不等式恒成立. ...................10 分 20.解: (Ⅰ)∵椭圆 C 的焦点在 x 轴上, ∴设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

∵离心率等于

2 5 2 5 ,且过点( 1 , ) , 5 5



,解得



∴椭圆 C 的标准方程为

. ..........................................4 分

证明: (Ⅱ)设点 A,B,M 的坐标分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(0,y0) , 又由题意知 F 点的坐标为 F(2,0) ,直线 l 存在斜率,设直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程是 y=k(x﹣2) ,

联立

,消去 y 并整理得(1+5k x ﹣20k x+20k -5=0,..............6 分

2 2

2

2

8





,......................................7 分

又∵



=



将各点坐标代入得



,............................... .9 分



=

=

=﹣10...........................................12 分

20.解 : (1) f ?( x) ? ln x ? 2( x ? 0), 令f ?( x) ? 0, 得x ?

1 . e2

1 1 )时,f `( x) ? 0;当x ? ( 2 , ??)时,f `( x) ? 0 . 2 e e 1 1 +?)上递增 则 f ( x)在(0, 2 )上递减,在( 2 , e e 当x ? (0, ?当x ? 1 1 1 1 时, f ( x) min ? 2 (ln 2 ? 1) ? ? 2 . 2 e e e e
......................3 分

(2) F ( x) ? ax ? ln x ? 2, F ?( x) ? 2ax ?
2

1 2ax2 ?1 ? ( x ? 0). x x

.............4 分

① 当a ? 0 时,恒有 F ?( x) ? 0 , F ( x ) 在 (0,??) 上是增函数; ② 当a ? 0 时 , 令F ?( x) ? 0,即2ax2 ? 1 ? 0, 解得0 ? x ? ?

1 ; 2a

令F ?( x) ? 0,即2ax2 ? 1 ? 0, 解得x ? ?

1 ; 2a

综上,当 a ? 0 时, F ( x ) 在 (0,??) 上是增函数; .........................5 分

当a ? 0 时, F ( x) 在 (0, ?

1 1 ) 上单调递增,在 ( ? ,??) 上单调递减....6 分 2a 2a
9

(3) k ?

f ' ( x2 ) ? f ' ( x1 ) ln x2 ? ln x1 ? . x2 ? x1 x2 ? x1
x2 ? x1 1 ? x2 ,即证 : x1 ? ? x2 . k ln x2 ? ln x1

要证 : x1 ?

x2 ?1 x1 x x 等价于 : 1 ? ? 2 .令t ? 2 . x x1 x1 ln 2 , x1
则只要证: 1 ?

t ?1 ? t ,由 t ? 1, 知ln t ? 0, 1nt
...............................8 分

故等价于证: ln t ? t ? 1 ? t ln t (t ? 1) (*) ① 设g (t ) ? t ? 1 ? ln t (t ? 1),

1 则g ?(t ) ? 1 ? ? 0(t ? 1),? g (t )在(1, ??)上是增函数, t

当t ? 1时,g (t ) ? t ? 1 ? ln t ? g (1) ? 0,
? t ? 1 ? ln t. ......................................................10 分
② 设h(t ) ? t ln t ? (t ?1)(t ? 1), 则h (t ) ? ln t ? 0(t ? 1),

?

? h(t )在(1, ??)上是增函数,
?当t ? 1时, h(t ) ? t ln t ? (t ? 1) ? h(1) ? 0,

?t ln t ? t ? 1(t ? 1),
由①②知(*)成立,? x1 ?

1 ? x2 . k

.......................................12 分

10


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