用二分法求方程的近似解课件3_图文

3.1.2 用二分法求方程的近似解 (4)

1.函数零点的定义: 方程 f ( x) ? 0 有实根 ? 函数 y ? f ( x) 图象与

一.基础知识

函数 y ? f ( x) 有零点。 2.函数变号零点与不变号零点(二重零点)性质: (1)定理:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ a , b ]上的图象

?

x

轴有交点

a )? f( b )? 0 是连续不间断的一条曲线,并且有 f( 那么函数 y ? f ( x) 在区间 ( a , b ) 内有零点,即存在 c ?(a, b) 使得 f (c) ? 0 ,
这个

c

也就是方程 f ( x) ? 0 的实数根。

(2)连续函数变号了一定有零点 (能证明f(x)单调则有且只有一个零点); 不变号不一定无零点(如二重零点): 在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。

b 3.(1)一次函数y=ax+b的零点:x ? ? a 一定为变号零点
2 y ? ax ? bx ? c的零点: (2)二次函数

借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
方法一: 用计数器或计算机作出x,f(x)的对应值表 方法二: 用《EXCLE》软件,演示 用几何画板作出函数y=f(x)的图象 用《几何画板》软件,演示 方法三: 画出y=2x及y=-3x-7的图象

二分法的解题步骤
给定精确度 ? ,用二分法求函数f(x)零点近似解的步骤如下:

a ) ?f( b )? 0,给定精确度 ⑴确定区间[a,b],验证 f(
⑵求区间(a,b)的中点

?



⑶计算f( x ); 1 ①若f( x 1 )=0,则 x 1 就是函数的零点; ② f( a )?f( x )? 0 ,则令b= x 1 ( 此时零点 x0 ?(a, x1) ); 1 若 ③若 f( x )?f( b )? 0,则令a= x 1 (此时零点 x0 ?(x1, b)); 1 ⑷判断是否达到精确度 :即若|a-b|< 为a(或b);否则重复⑵~⑷

x 1;

?

?

,则得到零点近似值

关于二分法的适用范围和精确度
(1)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的 变号零点适合,对函数的不变号零点不使用; (2)若起始区间是长度是1,则经过n次二分法以后,精 确度为 1 ,估计达到精确度 至少需要使用二

2

n

?

分法的次数:满足 (3) |( f x ) | ? 0 . 0 0 1 , 并 不 表 示 x 是 满 足 精 度 的 近 似 解 .
n n

1 ?? n ,的最小自然数n. 2

? x? 2 x? x ? 2 例1.求函数 y
3 2

的零点,并画出它的图象。
解:
3 2

y ? x ?? 2 x x ? 2 ? ( x ??? 2 ) ( x 1 ) ( x 1 )
所以零点为 ? 1,1, 2 ,3个零点把横轴

分成4个区间,然后列表描点画图

例2.已知函数 f () x? a x? b x? c x ? d 的图象如图所示,则 (? ? ,0 ) B. A.b? b ? (0,1) D. b?(2 ,? ? ) C. b ? (1, 2)
3 2

2 1

() x? m x? ( m ? 3 ) x ? 1 例3.已知函数 f 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数
2

m

的取值范围是( )

A.( 0

,1]

B. D.

(0 ,1)

C. ( ?? ,1)

( ?? ,1]

例4.求 3
解: x= 3 3

3

的近似值。(精确度0.1)

3 ?x ? 3

? x? 3 ? 0再利用二分法求近似根
3

例5(上海02高考)、
x ? 2 ? ? x )? a? a ? 1 已知函数 f( x ? 1
x

1 ,? ? ) 为增函数。 (1)求证:f(x)在 (?

(2)若a=3,求方程f(x)=0的正根(精确到0. 1)

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