www.178664.com:三角形内有关角的三角函数恒等式的证明_图文

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三角形内有关角的三角函数恒等式的证明
张思明

课型和教学模式:习题课,“导学探索,自主解决”模式 教学目的: (1)掌握利用三角形条件进行角的三角函数恒等式证明的主要方法,使学生熟悉三角变换的一些常用 方法和技巧(如定向变形,和积互换等)。 (2)通过自主的发现探索,培养学生发散、创造的思维习惯和思维能力,体验数形结合、特殊一般转 化的数学思想。并利用此题材做学法指导。 (3)通过个人自学、小组讨论、互相启发、合作学习,培养学生自主与协作相结合的学习能力和敢于 创新,不断探索的科学精神。 教学对象:高一(5)班 教学设计: 一.引题:(A,B 环节) 1.1 复习提问:在三角形条件下,你能说出哪些有关角的三角恒等式? 拟答:



……





……

这些结果是诱导公式



的特殊情况。

1.2 今天开始的学习任务是解决这类问题:在三角形条件下,有关角的三角恒等式的证明。学习策略 是先分若干个学习小组(四人一组),分头在课本 P233---P238,P261-266 的例题和习题中,找出有三角 形条件的所有三角恒等式。 1.3 备考:期待找出有关△ABC 内角 A、B、C 的三角恒等式有: (1)P233:例题 10:sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2 (2)P238:习题十七第 6 题:sinA+sinB-sinC=4sinA/2sinB/2cosC/2. (3) cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2. (4) sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC. (5)cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC. (6)P264:复参题三第 22 题:tgA+tgB+tgC = tgAtgBtgC.

(7)

也许有学生会找出:P264--(23)但无妨。 1.4 请各组学生分工合作完成以上恒等式的证明: 提示:建议先自学例题 10,注意题目之间的联系,以减少证明的重复劳动。 二.第一层次的问题解决(C,D 环节) 2.1 让一个组上黑板,请学生自主地挑出有“代表性”的 3 题(不超过 3 题)书写证明过程。然后请其 他某一个组评判或给出不同的证法。 证法备考:(1)左到右:化积---->提取----->化积。 (2)左到右:化积---->提取----->化积 sin(A+B)/2=cosC/2

(3)左到右:化积--->

--->留“1”提取-->化积

(4)左到右:化积--->提取---->化积 sin2C=sin2(A+B)

(5)左到右:

(6)左到右:tgA+tgB=tg(A+B)(1-tgAtgB) (7)左到右:通分后利用(4)的结果 2.2 教师注意记录学生的“选择”,问:为什么认为你们的选择有代表性? 体现学法的“暗导”。选择的出发点可以多种多样,如从品种、不同的证法、逻辑源头等考虑。 2.3 另一组学生判定结果或给出其他解法,(解法可能多样。)也可对前一组学生所选择书写的“例 题”的“代表性”进行评价。教师记录之。注意学生的书写中的问题(不当的跳步等……)。 2.4 其他证法备考: 1.如右到左用积化和差,(略) 2.利用已做的习题:

先一般后特殊…… 3.几何直观:









由此得证(4)

图 1 4.用 /2-A/2, /2-B/2, /2-C/2 代换 A,B,C(仍保持三个角之和为 )可速由(4)推出(1);

由(5)推出(2)……

三.探索发现练习(回朔与 E 环节) 3.1 请学生以小组为单位通过观察、联想、对比、猜想、发现解决以下几项任务 (1)找出更多的三角恒等式。 (2)用发散的方式寻求更多的结果。 可以自主肯定的结论记为“定理”,还不能肯定的结论暂记为“猜想” 3.2 小组活动 10 分钟后,组代表上前表述“发现”,交流结果。 3.3 教师注意记录学生的发现结果,挖掘“再发现”的潜力。 3.4 结果的“予储” (1)结果一般化:如

对 cos, tg 亦有类似结果……

(2)变维发散三角形变四边形,如对四边形 ABCD 有



sinA+sinB+sinC+sinD=4sin(A+B)/2*[cos(A-B)/2+cos(C-D)/2] =4sin(A+B)/2*cos(A+C-B-D)/4*cos(A+D-B-C)/4 =sin(A+B)/2*sin(B+C)/2*sin(C+A)/2 两边换成 cos 亦正确 进一步可探索四边形 ABCD 是平行四边形或是圆内接四边形时的相应结论。 (3)逆序发散: 如对(6),原等式成立,能推出 A+B+C= 举反例可知不行,可推出 A+B+C=k (4)变形式发散: 吗?

,k 是整数。

再如对偶联想:上面的式子该成 cos 怎样?…… (5)批判式的发散: 等式的反面是不等式,可以思考在三角形条件下有哪些三角函数的不等式? 如对锐角三角形 ABC,有 sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC sinAsinBsinC>cosAcosBcosC。对一般三角形 tgA+tgB+tgC=ctgA+ctgB+ctgC 恒不成立…… 特别注意记录“意外”。 3.5 评论与小结: 请学生评述本课解决的问题、自认为用到的重要方法和得到重要结果、并做小结。

教师记录补充(与学生互补之)---重点是学法和思维方法:怎样复习,怎样提高做题的效率,怎样学 会“举一反三”,怎样用发散思维的方式提出问题……。 3.6 作业:A 类:阅读 P257---P261 B 类:(1)选择学生课上提出的三个结果,给出证明或证伪。 (2)改写或重写本章的小结(参看 P257---P261),补充在本章的学习过程中你认为重要的方法、技 巧和自己解题的心得与出错之处。 C 类:(1)在三角形条件下,如对△ABC,你能说出哪些有关角的三角函数不等式?试找出 3 个并证 明之。 (2)对代数练习册(上)第三章的复习题三中的解答题进行“压缩”处理,只选出你认为有代表性的 10 个习题。


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