【多彩课堂】2015-2016学年高中数学人教A版选修2-1课件:2.3.1《双曲线及其标准方程》_图文

2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程(1)

问题1:椭圆的定义是什么?

平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2| ) 的点的轨迹叫做椭圆。
问题2:椭圆的标准方程是怎样的?
x2 y2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a b

ab ,c ,

关系如何?

a 2 ? b2 ? c 2

问题3:如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那 么动点的轨迹会发生怎样的变化?

数学实验:
[1]取一条拉链; [2]如图把它固定在板上的两点F1、F2 [3] 拉动拉链(M)。 思考:拉链运动的轨迹是什么? ①如图(A),|MF1|-|MF2|=常数 ②如图(B), |MF2|-|MF1|=常数 由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 常数(差的绝对值)

上面两条合起来叫做双曲线
用拉链绘制双曲线 http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId =55d6bf5daf508f0099b1c742

麦克唐奈天文馆

生活中的双曲线

法拉利主题公园

巴西利亚大教堂

双曲线定义
先通过三个小动画理解双曲线的定义
双曲线1
http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaV o.resId=55d6bf58af508f0099b1c73c

双曲线2
http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo. resId=55d6bf59af508f0099b1c73e

双曲线3
http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=55d6bf 5aaf508f0099b1c740

一、双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小 于|F1F2|,且不等于0)的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做 双曲线的焦距。 通常情况下,我们把|F1F2|记为2c(c>0); 常数记为2a(a>0).
问题3:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数? 问题4: 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)?如 果不对常数加以限制 ,动点的轨迹会是什么?

分3种情况来看:
①若2a=2c,则轨迹是什么? 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线

F1 F2 ②若2a>2c,则轨迹是什么?
此时轨迹不存在 ③若2a=0,则轨迹是什么? 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线

F1

F2

二、双曲线标准方程的推导
① 建系
使 轴经过两焦点 F1 , F2 ,y 轴为线段 F1 , F 的 2 垂直平分线。

y

x

M
F1
O

F2 x

② 设点
设 M ( x, y ) 是双曲线上任一点, 焦距为 2c(c ? 0),那么 焦点 F 又设|MF1|与|MF2| 1 (?c,0), F 2 (c,0) 2 a 的差的绝对值等于常数 。

③ 列式


MF1 ? MF2 ? 2a

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ?2a

④化简

?x ? c ?2 ? y 2 ? ?x ? c ?2 ? y 2

? 2a
? ?2a

将上述方程化为:

?x ? c ?2 ? y 2 ? ?x ? c ?2 ? y 2
2

2 cx ? a ? ?a 移项两边平方后整理得:

?x ? c ?2 ? y 2

两边再平方后整理得: ?c
2 2 2

? a2 x2 ? a2 y2 ? a2 c2 ? a2

?

?

?

2 2 x y 两边同时除以 a ?c ? a ? 得: ? 2 ?1 2 2 a c ?a 2 2 ? c ? a ?0 2 c ? 2 a c ? a 即: 由双曲线定义知:

设 c 2 ? a 2 ? b 2 ?b ? 0? 代入上式整理得:

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
这个方程叫做双曲线的标准方程 ,它所表示的双曲线的焦 点在x轴上,焦点是 F1(-c,0),F2(c,0). 其中c2=a2+b2.

2

2

若建系时,焦点在y轴上呢?
y M y

M
F2 x

F1

O

F2

x

O
F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

三.双曲线两种标准方程的比较
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y
M F1
O F2

x

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y M F2 x O F1

① 方程用“-”号连接。 ② 分母是 ③

a 2 , b2 , a ? 0, b ? 0 但 a, b 大小不定。

c 2 ? a 2 ? b2 。
2

④如果 x 的系数是正的,则焦点在 y 点在 轴上。

轴上;如果 x

2 y的系数是正的,则焦

问题1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

看 x , y 前的系数,哪一个为正,则 在哪一个轴上
问题2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程
有何区别与联系?

2

2

双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定 义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方 程

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
F(±c,0) F(0,±c)

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
F(±c,0) F(0,±c) a>0,b>0,但a不一定大 于b,c2=a2+b2

焦 点

a.b.c的 关系

a>b>0,a2=b2+c2

判断下列方程是否表示双曲线?若是,求出

a, b, c 及焦点坐标。

x2 y2 ?1? ? ? 1 4 2 x2 y2 ?3? ? ? ?1 4 2
答案:

x2 y2 ?2? ? ? 1 2 2 x2 y2 ?4? ? ? 1(m ? 0, n ? 0) m n

题后反思:

?1?a ? 2, b ? 2, c ? 6 (? 6,0).( 6,0) 先把非标准方程化 成标准方程,再判 ?2?a ? 2, b ? 2, c ? 2 (?2,0).(2,0) 断焦点所在的坐标 ?3?a ? 2, b ? 2, c ? 6 (0, 6 ).(0,? 6 ) 轴。 ?4?a ? m, b ? n , c ? m ? n ( m ? n ,0).(? m ? n ,0)

例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0),双曲线上一点P到焦点 的距离差的绝对值等于8,求双曲线的标准方程。
解:因为双曲线的焦点在 x轴上,所以设它的标准方程为 2 2

根据已知条件,|F1F2|=10. ||PF1|-|PF2||=8,
所以2c=10,2a=8。即a=4,c=5 那么b2=c2-a2=25-16=9 x2 y2 ? ? 1. 因此,双曲线的标准方程为

x y ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 2 2 a b

16

9

变式训练
1.若|PF1|-|PF2|=8呢?
x y ? ? 1.( x ? 0) 16 9
2 2

题后反思: 求标准方程要做到 先定型,后定量。

2.若||PF1|-|PF2||=10呢?
3.若||PF1|-|PF2||=12呢?

轨迹不存在 两条射线

求适合下列条件的双曲线的标准方程。 ①焦点在在轴

②焦点在在轴
答案: ①

x 上, a ? 4, b ? 3 ; x 上,经过点 ( ? 2 ,? 3 ), (

x2 y2 ? 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ② 设双曲线的标准方程为 2 a b
代入点 (? 2 ,? 3 ), ( 15 , 2 ) 得 3 3 ? 2 2m ? 3n ? 1 ? 1 1 ? ? 1 ? ? a2 令 m ? 2 , n ? 2 则 ?5 b2 a b m ? 2n ? 1 ? 5 2 ? ?3 ? ? 2 ?1 2 b ? 3a

x2 y2 ? ?1 16 9

15 , 3

2 .)

1 ? ?m ?1 解得 ? n ? ? 3 ?

故所求双曲线的标准方程为

x

2

y2 ? ? 1. 3

几点说明:
通常|F1F2|记为2c;距离的差的绝对值记为2a. (1) 定义中强调在平面内,否则轨迹不是双曲线。 (2)定义中为什么 0〈2a〈|F1F2|? ①当 2a=| | MF1|-|MF2| |=0时, 轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
F1
O

F2

②当2a=|F1F2|时

M

P

F1

F2

Q

| | MF1|-|MF2| | =|F1F2 | 时,M点一定在上图中的
射线F1P,F2Q 上,此时点的轨迹为两条射线F1P,F2Q。

(1)先把非标准方程化成标准方程,再判断焦点所在的坐标轴。

x2 y 2 ? ? 1(m n ? 0)是否表示双曲线? ( 2) m n ?m ? 0 表示焦点在 x 轴上的双曲线; ? ?n ? 0

?m ? 0 ? ?n ? 0

表示焦点在 y 轴上的双曲线。

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,求 2 ? m m ?1
答案: m

m 的范围。

? ?1或m ? ?2 。

x2 y2 ? ? 1表示双 变式训练3.如果方程 2? m m ?1 曲线,求m的取值范围.

解:由(2 ? m)(m ? 1) ? 0 得m ? ?2或m ? ?1

∴ m 的取值范围为 (??, ?2) ? (?1, ??)

1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足 |PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹为( A.双曲线和一直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条射线 D.双曲线的一支和一条直线

) C

2.若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的
双曲线,则k? (-1, 1) .

3 4 5)和P2 ( 7, 4) 两点,求双曲线 3.已知双曲线过 P1 ( ?2, 2 3

的标准方程.

解:因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线方程 为 mx +ny =1(mn<0),因 P1,P2 在双曲线上,所以有
45 1 ? ? ? 4 m + 4 n= 1 , ?m=-16 , ? 解得? 1 ?16× ? ? 9 7m+16n=1 , ? n= 9 ,
2 2

所以所求双曲线方程为-

+ =1,即 - =1. 16 9 9 16

x2

y2

y2

x2

1.双曲线定义及标准方程;
2.双曲线焦点位置的确定方法; 3.求双曲线标准方程的关键(定位,定量); 4.双曲线与椭圆之间的区别与联系.

典例展示
例 1 已 知 两 定 点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程.

解: ∵ F1F2 ? 10 >6,
∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)

PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线,
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b

∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

变式训练 1:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 ? 10 ,求动点 P 的轨迹方程.

∵ F1F2 ? 10 , PF1 ? PF2 ? 10 解:

∴ 点 P 的轨迹是两条射线,
轨迹方程为 y ? 0( x ≥ 5 或x ≤ ?5) .

变式训练 2:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足

PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解: ∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6
∴ 由双曲线的定义可知,
点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支),
∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b

∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

2

2

2

例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s, 且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的 距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹 是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上. 如图所示,建立直角坐标系xOy ,使A、B两点在x轴上,并且点O与 线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y),则

y

P

PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680

即 2a=680,a=340 ? A B ? 8 0 0
? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c2 ? a 2 ? 44400 ? 800 ? PA ? PB ? 680 ? 0 ,? x ? 0 2

A

o

B

x

x y2 ? ? 1( x ? 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400

思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的 轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差,可以 确定爆炸点在某条曲线上, 但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生 活中为了安全,我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能 确定爆炸点的准确位置呢?
答:再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间 差,可以求出另一个双曲线的方程,解这两个方程组成的方程组,就能 确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

课后练习

课后习题


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