庆余年 32,33集http://www:高中数学第一章立体几何初步117柱锥台和球的体积学案新人教B版必修2(数学教案)

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1.1.7 柱、锥、台和球的体积 [学习目标] 1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式.2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式 求简单几何体的体积.3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题. [知识链接] 1.长宽高分别为 a、b、c 的长方体的表面积 S=2(ab+bc+ac),体积 V=abc. 2.棱长为 a 的正方体的表面积 S=6a ,体积 V=a . 3.底面半径为 r,母线长为 l 的圆柱侧面积 S 侧=2π rl,表面积 S=2π rl+2π r . 4.底面半径为 r,母线长为 l 的圆锥侧面积 S 侧=π rl,表面积 S=π r +π rl. [预习导引] 1.祖暅原理 (1)“幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平 面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.” (2)作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. (3)说明:祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想,是推导柱、锥、台体积公式 的理论依据. 2.柱、锥、台、球的体积 其中 S′、S 分别表示上、下底面的面积,h 表示高,r′和 r 分别表示上、下底面圆的半径, 2 2 2 3 R 表示球的半径. 名称 柱 体 锥 体 棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 棱台 圆台 体积(V) Sh πrh 1 Sh 3 1 2 πrh 3 1 h(S+ SS′+S′) 3 1 2 2 π h(r +rr′+r′ ) 3 2 台 体 1 球 4 3 πR 3 要点一 柱体的体积 例 1 某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.8-2π π C.8- 2 答案 B B.8-π π D.8- 4 1 解析 这是一个正方体切掉两个 圆柱后得到的几何体, 4 如图,几何体的高为 2, V=23- ×π ×12×2×2=8-π . 规律方法 1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图,然后根据三视图中的数据 在直观图中求出计算体积所需要的数据. 2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成,求几何体的体积时,依据需要先将几何 体分割分别求解,最后求和. 跟踪演练 1 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m . 3 1 4 2 答案 4 解析 此几何体是两个长方体的组合,故 V=2×1×1+1×1×2=4. 要点二 锥体的体积 例 2 如图三棱台 ABC-A1B1C1 中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥 A1-ABC,三棱锥 B-A1B1C,三 棱锥 C-A1B1C1 的体积之比. 解 设棱台的高为 h,S△ABC=S,则 S△A1B1C1=4S. 1 1 ∴VA1-ABC= S△ABC·h= Sh, 3 3 VC-A1B1C1= S△A1B1C1·h= Sh. 1 7 又 V 台= h(S+4S+2S)= Sh, 3 3 ∴VB-A1B1C=V 台-VA1-ABC-VC-A1B1C1 7 Sh 4Sh 2 = Sh- - = Sh, 3 3 3 3 ∴体积比为 1∶2∶4. 规律方法 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥,分割后可求锥体的体积和柱体或台体的 体积关系,割补法在立体几何中是一种重要的方法. 跟踪演练 2 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求 A 到平面 A1BD 的距离 d. 1 3 4 3 解 在三棱锥 A1-ABD 中,由题意知 AA1 为三棱锥的高,AB=AD=AA1=a, A1B=BD=A1D= 2a, 3 ∵VA1-ABD=VA-A1BD, 1 1 2 1 1 3 ∴ × a ·a= × × 2a× · 2a·d. 3 2 3 2 2 ∴d= 3 a. 3 要点三 台体的体积 例 3 已知正四棱台两底面边长分别为 20 cm 和 10 cm,侧面积是 780 cm .求正四棱台的体 积. 解 如图所示,正四棱台 ABCD?A1B1C1D1 中,A1B1=10 cm,AB=20 cm.取 A1B1 的中点 E1,AB 的 中点 E,则 E1E 是侧面 ABB1A1 的高.设 O1、O 分别是上、下底面的中心,则四边形 EOO1E1 是直 1 角梯形,由 S 侧=4× (10+20)·E1E=780,得 EE1=13. 2 2 1 在直角梯形 EOO1E1 中,O1E1= A1B1=5, 2 OE= AB=10, ∴O1O= E1E - OE-O1E1 1 3 2 2 1 2 =12, V 正四棱台= ×12×(102+202+10×20) =2 800(cm ). 故正四棱台的体积为 2 800 cm . 规律方法 求台体的体积关键是求出上、 下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的 直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系. 跟踪演练 3 本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为 2 cm 和 4 cm,侧棱长为 2 cm,求该棱台的体积.” 解 如图,正四棱台 ABCD?A1B1C1D1 中,上、下底面边长分别为 2 cm 和 4 cm, 3 3 则 O1B1= 2cm, OB=2 2cm, 4 过点 B1 作 B1M⊥OB 于点 M,那么 B1M 为正四棱台的高,在 Rt△BMB1 中, BB1=2 cm,MB=(2 2- 2)= 2(cm). 根据勾股定理 2 2 MB1= BB1 -MB = 2- 2 2 2 = 2(cm). S 上=22=4(cm2), S 下=42=16(cm2), 1 ∴V 正四棱台= × 2×(4+ 4×16+16) 3 1 28 = × 2×28= 3 3 要点四 球的体积 例 4 过球面上三点 A,B,C 的截面到球心 O 的距离等于球的半径的一半,且 AB=BC=CA=3 cm,求球的体积和表面积. 解 如图,设过 A、B、C

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