山东省枣庄市滕州市善国中学2015年高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)

2015 年山东省枣庄市滕州市善国中学高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设复数 z= A. B. ,则 z=( )

C.1﹣3i D.1+3i

2.设集合 U=R,A={x|y=ln(1﹣x)},B={x|x2﹣3x≥0},则 A∩?UB=( A.{x|0<x<1} B.{x|1<x<3} C.{x|0<x<3} D.{x|x<1}



3.某射击手射击一次命中的概率是 0.7,连续两次均射中的概率是 0.4,已知某次射中,则随后一次射中 的概率是( A. B. ) C. D.

4. = 把函数 y=f (x) 的图象向右平移一个单位, 所得图象恰与函数 y=ex 的反函数图象重合, 则f (x) ( A.lnx﹣1 B.lnx+1 C.ln(x﹣1) D.ln(x+1)



5.下列说法不正确的是(



A.若“p 且 q”为假,则 p、q 至少有一个是假命题 B.命题“?x0∈R,x02﹣x0﹣1<0”的否定是“?x∈R,x2﹣x﹣1≥0” C.“φ= ”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件

D.a<0 时,幂函数 y=xa 在(0,+∞)上单调递减

6.执行如图所示的程序框图,输出的 T=(



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A.29

B.44

C.52

D.62

7.将函数 条对称轴方程可能是( A. B. ) C.

的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,所得图象的一

D.

8.变量 x y、满足线性约束条件

,则目标函数 z=kx﹣y,仅在点(0,2)取得最小值,则

k 的取值范围是( A.k<﹣3

) C.﹣3<k<1 D.﹣1<k<1

B.k>1?

9.函数 y=2sinπx﹣ A.2 B.4 C .6

(﹣2≤x≤4)的所有零点之和为( D.8



10.对于函数 y=f(x),部分 x 与 y 的对应关系如下表: x y 1 3 2 7 3 5 4 9 5 6 6 1 7 8 8 2 9 4

数列{xn}满足:x1=1,且对于任意 n∈N*,点{xn,xn+1)都在函数 y=f(x)的图象上,则 x1+x2+…+x2015= ( )
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A.7554 B.7549 C.7546 D.7539

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知函数 f(x)= ,则 f(f( ))的值是 .

12.已知双曲线

的左焦点

,右焦点



离心率 e=

.若点 P 为双曲线 C 右支上一点,则|PF1|﹣|PF2|=



13.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是



14.已知实数 x,y 满足 x>y>0,且 x+y= ,则

+

的最小值为



15.在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y=﹣x+2 与圆 x2+y2=r2 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若圆上一 点 C 满足 = + 则 r= .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.在△ ABC 中,已知 (1)求 sinA 与 B 的值;
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,cos(π﹣B)=﹣ .

(2)若角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=5,求 b,c 的值.

17.某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果按如下方式分成五 组;第一组[13,14),第二组[14,15),…,第五组[17,18],如图是按上述分组方法得到的频率分布直 方图. (1)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数; (2)设 m,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知 m,n∈[13,14)∪[17,18],求事件“|m﹣n| >1”的概率.

18. AD⊥BD, △ ABC 是边长为 4 的等边三角形, △ ABD 是等腰直角三角形, 如图, 平面 ABC⊥平面 ABD, 且 EC⊥平面 ABC,EC=2. (1)证明:DE∥平面 ABC; (2)证明:AD⊥BE.

19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2+2n,(n∈N*). (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设集合 P={x|x=2an,n∈N*},Q={x|x=2n+2∈N*},等差数列{cn}的任一项 cn∈P∩Q,其中 c1 是 P∩Q 中的最小数,110<c10<115,求数列{cn}的通项公式.
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20.已知以 C 为圆心的动圆过定点 A(﹣3,0),且与圆 B:(x﹣3)2+y2=64(B 为圆心)相切,点 C 的轨迹为曲线 T.设 Q 为曲线 T 上(不在 x 轴上)的动点,过点 A 作 OQ(O 为坐标原点)的平行线交曲 线 T 于 M,N 两点. (I)求曲线 T 的方程; (Ⅱ)是否存在常数 λ,使 总成立?若存在,求 λ;若不存在,说明理由.

21.已知函数 f(x)=lnx﹣ ax2+x,a∈R. (Ⅰ)若 f(1)=0,求函数 f(x)的最大值; (Ⅱ)令 g(x)=f(x)﹣(ax﹣1),求函数 g(x)的单调区间; (Ⅲ)若 a=﹣2,正实数 x1,x2 满足 f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明 x1+x2≥ .

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2015 年山东省枣庄市滕州市善国中学高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设复数 z= A. B. ,则 z=( )

C.1﹣3i D.1+3i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:∵ 故选:A. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. ,

2.设集合 U=R,A={x|y=ln(1﹣x)},B={x|x2﹣3x≥0},则 A∩?UB=( A.{x|0<x<1} B.{x|1<x<3} C.{x|0<x<3} D.{x|x<1}



【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A,求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 补集的交集即可. 【解答】解:由 A 中 y=ln(1﹣x),得到 1﹣x>0,即 x<1, ∴A={x|x<1}, 由 B 中不等式变形得:x(x﹣3)≥0, 解得:x≤0 或 x≥3,即 B={x|x≤0 或 x≥3}, ∴?UB={x|0<x<3}, 则 A∩?UB={x|0<x<1}, 故选:A. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
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3.某射击手射击一次命中的概率是 0.7,连续两次均射中的概率是 0.4,已知某次射中,则随后一次射中 的概率是( A. B. ) C. D.

【考点】相互独立事件的概率乘法公式. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】设“某次射中”为事件 A,“随后一次的射中”为事件 B,则 P(AB)=0.4,P(A)=0.7,利用 P(B|A) = 可得结论.

【解答】解:设“某次射中”为事件 A,“随后一次的射中”为事件 B, 则 P(AB)=0.4,P(A)=0.7, 所以 P(B|A)= 故选:C. 【点评】本题考查条件概率,考查学生的计算能力,比较基础. = .

4. = 把函数 y=f (x) 的图象向右平移一个单位, 所得图象恰与函数 y=ex 的反函数图象重合, 则f (x) ( A.lnx﹣1 B.lnx+1 C.ln(x﹣1) D.ln(x+1)



【考点】反函数;函数的图象与图象变化. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】先求出函数的反函数为 y=lnx,再根据函数图象的平移规律,求得 f(x)的解析式. 【解答】解:由函数 y=ex 可得 x=lny,故函数的反函数为 y=lnx, 由题意可得,把 y=lnx 的图象向左平移一个单位,可得 f(x)=ln(x+1)的图象, 故选 D. 【点评】本题主要考查求函数的反函数,函数图象的平移规律,属于基础题.

5.下列说法不正确的是(



A.若“p 且 q”为假,则 p、q 至少有一个是假命题 B.命题“?x0∈R,x02﹣x0﹣1<0”的否定是“?x∈R,x2﹣x﹣1≥0” C.“φ= ”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件

D.a<0 时,幂函数 y=xa 在(0,+∞)上单调递减
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【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】分别根据复合命题真假之间的关系,含有量词的命题的否定,充分条件和必要条件的定义进行判 断即可. 【解答】解:A.若“p 且 q”为假,则 p、q 至少有一个是假命题,正确. B.命题“?x0∈R,x02﹣x0﹣1<0”的否定是“?x∈R,x2﹣x﹣1≥0”,正确, C.“φ= ”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充分不必要条件,故 C 错误.

D.a<0 时,幂函数 y=xa 在(0,+∞)上单调递减,正确. 故选:C 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及的知识点较多,比较基础.

6.执行如图所示的程序框图,输出的 T=(



A.29

B.44

C.52

D.62

【考点】循环结构. 【专题】算法和程序框图. 【分析】执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,T,n 的值,当 S=12,n=4,T=29 时,满足条件 T >2S,退出循环,输出 T 的值为 29. 【解答】解:执行程序框图,有 S=3,n=1,T=2, 不满足条件 T>2S,S=6,n=2,T=8 不满足条件 T>2S,S=9,n=3,T=17
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不满足条件 T>2S,S=12,n=4,T=29 满足条件 T>2S,退出循环,输出 T 的值为 29. 故选:A. 【点评】本题主要考察了程序框图和算法,属于基本知识的考查.

7.将函数 条对称轴方程可能是( A. B. ) C.

的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,所得图象的一

D.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】根据三角函数的图象变换关系进行求解即可. 【解答】解:将函数 到函数 y=sin( 由 即 = +kπ, ), 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,得

+2kπ,k∈Z, ,

∴当 k=0 时,函数的对称轴为 故选:D.

【点评】本题主要考查三角函数的图象变换关系以及三角函数对称轴的计算,求出函数的解析式是解决本 题的关键.

8.变量 x y、满足线性约束条件

,则目标函数 z=kx﹣y,仅在点(0,2)取得最小值,则

k 的取值范围是( A.k<﹣3

) C.﹣3<k<1 D.﹣1<k<1

B.k>1?

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用.

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【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标取最优解的条件,即可求出 a 的取 值范围. 【解答】解:作出不等式对应的平面区域, 由 z=kx﹣y 得 y=kx﹣z, 要使目标函数 y=kx﹣z 仅在点 A(0,2)处取得最小值, 则阴影部分区域在直线 y=kx﹣z 的下方, ∴目标函数的斜率 k 满足﹣3<k<1, 故选:C.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.根据条件目标函 数 z=kx﹣y,仅在点(0,2)取得最小值,确定直线的位置是解决本题的关键.

9.函数 y=2sinπx﹣ A.2 B.4 C .6

(﹣2≤x≤4)的所有零点之和为( D.8



【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用. 【分析】 由题意函数 y=2sinπx﹣ (﹣2≤x≤4) 的零点即 2sinπx= 的根; 作函数 y=2sinπx 与 y=

的图象可知有 8 个零点;又 y=2sinπt﹣ 在[﹣3,3]上是奇函数,从而求值. 【解答】解:函数 y=2sinπx﹣ 2sinπx= ; 的图象如下,
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(﹣2≤x≤4)的零点即

作函数 y=2sinπx 与 y=

又∵y=2sinπx﹣

=2sinπ(1﹣x)﹣



故 y=2sinπt﹣ 在[﹣3,3]上是奇函数, 故零点之和为 0; 故函数 y=2sinπx﹣ 故选 D. 【点评】本题考查了函数图象的变换及函数的零点与方程及函数图象的关系,属于基础题. (﹣2≤x≤4)的零点之和为 ×2=8;

10.对于函数 y=f(x),部分 x 与 y 的对应关系如下表: x y 1 3 2 7 3 5 4 9 5 6 6 1 7 8 8 2 9 4

数列{xn}满足:x1=1,且对于任意 n∈N*,点{xn,xn+1)都在函数 y=f(x)的图象上,则 x1+x2+…+x2015= ( )

A.7554 B.7549 C.7546 D.7539 【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由题意易得数列是周期为 4 的周期数列,可得 x1+x2+…+x2015=503(x1+x2+x3+x4)+x1+x2+x3,代 值计算可得. 【解答】解:∵数列{x n }满足 x1=1,且对任意 n∈N*,点(xn,xn+1)都在函数 y=f(x)的图象上,∴xn+1=f (xn), ∴由图表可得 x1=1,x2=f(x1)=3,x3=f(x2)=5,x4=f(x3)=6,x5=f(x4)=1, ∴数列是周期为 4 的周期数列,
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∴x1+x2+…+x2015=503(x1+x2+x3+x4)+x1+x2+x3=503×15+9=7554 故选:A 【点评】本题考查函数和数列的关系,涉及周期性,属基础题.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知函数 f(x)= 【考点】函数的值. 【专题】计算题. 【分析】根据对数的运算法则可求出 f(4)的值,从而可将 f(f(4))从内向外去除括号,求出所求. 【解答】解:由题意可得:函数 f(x)= , ,则 f(f( ))的值是 .

∴f( )=log2 =﹣2 ∴f(f( ))=f(﹣2)=3﹣2+1= 故答案为: . .

【点评】本题主要考查了函数求值,解决此类问题的关键是熟练掌握对数的有关公式,并且加以正确的运 算,属于基础题.

12.已知双曲线

的左焦点

,右焦点



离心率 e=

.若点 P 为双曲线 C 右支上一点,则|PF1|﹣|PF2|=

8



【考点】双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用双曲线的焦点坐标以及离心率求出实半轴 a,然后利用双曲线的定义求解即可. 【解答】解:由题意 c=2 ,∵e= .∴a=4,

由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=8. 故答案为:8. 【点评】本题考查双曲线的定义以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.

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13.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是



【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】画出几何体的直观图,然后利用三视图的数据求解几何体的体积即可. 【解答】解:由图知此几何体为边长为 2 的正方体裁去一个三棱锥(如右图),

所以此几何体的体积为:2× 故答案为: .

=



【点评】本题考查几何体的三视图与直观图的关系,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能 力.

14.已知实数 x,y 满足 x>y>0,且 x+y= ,则 【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用.

+

的最小值为 3+2



【分析】令 x﹣y=t,x+3y=s(s>0,t>0),解得 x,y,再由条件可得 s+t=1,则 ( + ),运用基本不等式即可得到最小值. 【解答】解:令 x﹣y=t,x+3y=s(s>0,t>0),
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+

= + =(s+t)

则 x= (s+3t),y= (s﹣t), 由 x+y= ,可得 s+t=1, 则 + = + =(s+t)( + )=3+( + t=2﹣ 时,取得等号. . )≥3+2 .

当且仅当 s= 则 +

的最小值为 3+2 .

故答案为:3+2

【点评】本题考查基本不等式的运用:求最值,注意运用换元法和乘 1 法,以及等号成立的条件,属于中 档题和易错题.

15.在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y=﹣x+2 与圆 x2+y2=r2 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若圆上一 点 C 满足 = + 则 r= .

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】设 可求 距离为 d,进而可求 r 【解答】解:由题意可得, 设 则 ∵ = = + = × ,θ∈[0,π] =r2cosθ =r ,由 = + 两边同时平方可求 cosθ,结合 θ 的范围及公式

,结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心 O 到直线 x+y﹣2=0 的

两边同时平方可得, 即 ∴cosθ= ∵ ∴且 cos



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= =

设圆心 O 到直线 x+y﹣2=0 的距离为 d,则 d=rcos 即 ∴r= 故答案为: .

【点评】本题主要考查了直线与圆心的位置关系,三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.在△ ABC 中,已知 (1)求 sinA 与 B 的值; (2)若角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=5,求 b,c 的值. 【考点】正弦定理. 【专题】三角函数的图像与性质;解三角形. 【分析】(1)利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出; (2)利用正弦定理与余弦定理即可得出. 【解答】解:(1)∵ ∴ , , ,cos(π﹣B)=﹣ .

又∵0<A<π, ∴ ∵ ∴ . , . ,且 0<B<π,

(2)由正弦定理得 ∴ ,

另由 b2=a2+c2﹣2accosB 得 49=25+c2﹣5c, 解得 c=8 或 c=﹣3(舍去), ∴b=7,c=8.
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【点评】本题主要考查解三角形的基础知识,正、余弦定理,诱导公式,同角三角函数的基本关系,两角 和与差的余弦公式等知识,考查了考生运算求解的能力,属于中档题.

17.某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果按如下方式分成五 组;第一组[13,14),第二组[14,15),…,第五组[17,18],如图是按上述分组方法得到的频率分布直 方图. (1)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数; (2)设 m,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知 m,n∈[13,14)∪[17,18],求事件“|m﹣n| >1”的概率.

【考点】用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题. 【分析】(1)利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒的 频率;利用频数等于频率乘以样本容量求出该班在这次百米测试中成绩良好的人数. (2)按照(1)的方法求出成绩在[13,14)及在[17,18]的人数;通过列举得到 m,n 都在[13,14)间或 都在[17,18]间或一个在[13,14)间一个在[17,18]间的方法数,三种情况的和为总基本事件的个数;分 布在两段的情况数是事件“|m﹣n|>1”包含的基本事件数;利用古典概型的概率公式求出事件“|m﹣n|>1”的 概率. 【解答】解:(1)由直方图知,成绩在[14,16)内的人数为:50×0.16+50×0.38=27(人), 所以该班成绩良好的人数为 27 人、 (2)由直方图知,成绩在[13,14)的人数为 50×0.06=3 人, 设为为 x,y,z;成绩在[17,18]的人数为 50×0.08=4 人,设为 A、B、C、D. 若 m,n∈[13,14)时,有 xy,xz,yz 共 3 种情况; 若 m,n∈[17,18]时,有 AB,AC,AD,BC,BD,CD,共 6 种情况;
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若 m,n 分别在[13,14)和[17,18]内时, A x y z xA yA zA B xB yB zB C xC yC zC D xD yD zD

有 12 种情况、 所以,基本事件总数为 3+6+12=21 种,事件“|m﹣n|>1”所包含的基本事件个数有 12 种、 ∴ 【点评】本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量、考查 列举法求完成事件的方法数、考查古典概型的概率公式.

18. AD⊥BD, △ ABC 是边长为 4 的等边三角形, △ ABD 是等腰直角三角形, 如图, 平面 ABC⊥平面 ABD, 且 EC⊥平面 ABC,EC=2. (1)证明:DE∥平面 ABC; (2)证明:AD⊥BE.

【考点】直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】证明题;空间位置关系与距离. 【分析】(1)取 AB 的中点 F,连接 DF,CF,由已知可证 DF 可得 DE∥FC,由 DE?平面 ABC,从而可证 DE∥平面 ABC. (2)以 FA,FC,FD 为 x,y,z 轴的正方向建立直角坐标系,求出向量 即可证明 AD⊥BE. 【解答】证明:(1)取 AB 的中点 F,连接 DF,CF, ∵△ABC 是边长为 4 的等边三角形,△ ABD 是等腰直角三角形,AD⊥BD,平面 ABC⊥平面 ABD, ∴DF⊥CF,
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EC,可得四边形 DEFC 为平行四边形,



的坐标,由

?

=0,

∵DF= BC=2 又∵EC⊥平面 ABC,既有:EC⊥FC,EC=2. ∴DF EC,故四边形 DEFC 为平行四边形,

∴DE∥FC ∴DE?平面 ABC,可得 DE∥平面 ABC. (2)以 FA,FC,FD 为 x,y,z 轴的正方向建立直角坐标系, 则有:A(2,0,0),D(0,0,2),B(﹣2,0,0),E(0,2 =(﹣2,0,2), 由于 ? =0, =(﹣2,2 ,2) ,2)

故 AD⊥BE.

【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系,考查了空间想象能 力和转化思想,属于基本知识的考查.

19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2+2n,(n∈N*). (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设集合 P={x|x=2an,n∈N*},Q={x|x=2n+2∈N*},等差数列{cn}的任一项 cn∈P∩Q,其中 c1 是 P∩Q 中的最小数,110<c10<115,求数列{cn}的通项公式. 【考点】等差数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】(Ⅰ)根据数列{an}的前 n 项和为 Sn,由 an=Sn﹣Sn﹣1,并代入 n=1 验证即可确定出数列{an}的通 项公式; (Ⅱ)根据 P 与 Q 得到两集合的交集为 P,进而确定出 c1,再由{cn}的公差是 4 的倍数,表示出 c10,根 据 c10 的范围求出 m 的值,确定出 c10,进而确定出 d,即可得出数列{cn}的通项公式.
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【解答】解:(Ⅰ)∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2+2n,(n∈N*), ∴当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1,当 n=1 时,a1=S1=3 满足上式, 则数列{an}的通项公式为 an=2n+1; (Ⅱ)∵P={x|x=4n+2,n∈N*},Q={x|x=2n+2,n∈N*}, ∴P∩Q=P, 又∵cn∈P∩Q,其中 c1 是 P∩Q 中的最小数, ∴c1=6, ∵{cn}的公差是 4 的倍数, ∴c10=4m+6(m∈N*), 又∵110<c10<115, ∴ ,

解得:m=27,即 c10=114, 设等差数列的公差为 d,则 d= ∴cn=6+(n﹣1)12=12n﹣6, 则{cn}的通项公式为 cn=12n﹣6. 【点评】此题考查了等差数列的性质,以及等差数列的前 n 项和,熟练掌握等差数列的性质是解本题的关 键. = =12,

20.已知以 C 为圆心的动圆过定点 A(﹣3,0),且与圆 B:(x﹣3)2+y2=64(B 为圆心)相切,点 C 的轨迹为曲线 T.设 Q 为曲线 T 上(不在 x 轴上)的动点,过点 A 作 OQ(O 为坐标原点)的平行线交曲 线 T 于 M,N 两点. (I)求曲线 T 的方程; (Ⅱ)是否存在常数 λ,使 总成立?若存在,求 λ;若不存在,说明理由.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(Ⅰ)判断两圆相内切,求出|CA|+|CB|=8,说明 C 点的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,求出长轴 长,短轴长,即可得到曲线 T 的方程.

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(Ⅱ)当直线 MN 斜率不存在时,求出 MN 的方程为:x=0,然后求出 λ;当直线 MN 斜率存在时,设 M (x1,y1),N(x2,y2),MN:y=k(x+3),则 OQ:y=kx,联立 ,利用韦达定理,

推出

的表达式,通过

求出

,利用

可解得 λ.

【解答】解:(Ⅰ)∵A(﹣3,0)在圆 B 的内部,∴两圆相内切,所以|CA|+|CB|=8>6, ∴C 点的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,2a=8,a=4;2c=6,∴c=3,b= =

∴曲线 T 的方程为:

.…

(Ⅱ)当直线 MN 斜率不存在时,MN 的方程为:x=0,∴ ∴ ,则 ;…



当直线 MN 斜率存在时,设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN:y=k(x+3),则 OQ:y=kx, 由 得(7+16k2)x2+96k2x+144k2﹣112=0,





,…

∴y1y2=k2[(x1+3)(x2+3)]=k2[x1x2+3(x1+x2)+9]=



=y1y2+[(x1+3)(x2+3)]═





得 7x2+16k2x2=112,则 x2=





,由

可解得



综上,存在常数

,使

总成立.…

【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用,椭圆的轨迹方程的求法,向量与椭圆的综合应用,考查分析问 题解决问题的能力.

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21.已知函数 f(x)=lnx﹣ ax2+x,a∈R. (Ⅰ)若 f(1)=0,求函数 f(x)的最大值; (Ⅱ)令 g(x)=f(x)﹣(ax﹣1),求函数 g(x)的单调区间; (Ⅲ)若 a=﹣2,正实数 x1,x2 满足 f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明 x1+x2≥ 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 【专题】导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】(1)先求出 a 的值,然后求原函数的极值即可; (2)求导数,然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性; (3)结合已知条件构造函数,然后结合函数单调性得到要证的结论. 【解答】解:(Ⅰ)因为 f(1)= 此时 f(x)=lnx﹣x2+x,x>0, , 由 f'(x)=0,得 x=1,所以 f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 故当 x=1 时函数有极大值,也是最大值,所以 f(x)的最大值为 f(1)=0. (Ⅱ) , ,所以 a=2. .

所以 当 a≤0 时,因为 x>0,所以 g′(x)>0. 所以 g(x)在(0,+∞)上是递增函数, 当 a>0 时,





令 g′(x)=0,得 所以当 因此函数 g(x)在

. 时,g′(x)>0;当 是增函数,在 时,g′(x)<0, 是减函数.

综上,当 a≤0 时,函数 g(x)的递增区间是(0,+∞),无递减区间; 当 a>0 时,函数 g(x)的递增区间是 (Ⅲ)由 x1>0,x2>0,即 x1+x2>0.
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,递减区间是



令 t=x1x2,则由 x1>0,x2>0 得,

.t>0

可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增. 所以 φ(t)≥φ(1)=1, 所以 又因为 x1>0,x2>0, 因此 成立. ,解得 或 .

【点评】本题难度较大,属于利用导数研究函数的单调性、最值,以及利用导数证明单调性进一步研究不 等式问题的题型.

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