高二数学 椭圆的几何性质知识精讲 新人教版(文)

高二数学 椭圆的几何性质知识精讲 新人教版(文) 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 椭圆的几何性质 二. 本周教学重、难点: 1. 重点: 椭圆的几何性质,椭圆的第二定义。 2. 难点: 焦半径,焦点三角形 三. 知识梳理: x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2 y B A1 F1 O B1 F2 A x 【典型例题】 [例 1] 设 P 为椭圆上一点,F1、F2 是椭圆的两个焦点,若 ?PF 1 F2 ? 75? , ?PF2 F 1 ? 15? , 求椭圆的离心率为多少? y r r1 75° 2 15° F2 F1 O P x 解:方法一:∵ r1 ? sin 15? 2c r2 ? sin 75? 2c 又 ∵ r1 ? r2 ? 2a ∴ sin 15? ? sin 75? ? ∴ 2c sin 15? ? 2c sin 75? ? 2a a c 6? 2? 6? 2 a ? 4 c ∴ c 6 ?e? a 3 ∴ S ?F1PF2 ? b ? tan 2 方法二:∵ ?F1 PF2 ? 90? 90? 1 ? b 2 ? ? 2c ? y P 2 2 ∴ b2 ∴ yP ? c 又 ∵ yP yP ? ? 2a sin 75? sin 15? yP 6? 2 4 ∴ ? yP 6? 2 4 ? 2a ∴ 2 6 y P ? 2a b2 6? ?a c ∴ e? ∴ 6 (a 2 ? c 2 ) ? ac c c 6 ? 6( )2 ? a a ∴ 6 ? 6e 2 ? e 6 3 [例 2] 过点 M(1,1)作直线与椭圆 线方程。 x2 y2 ? ? 1 交于 A、B 两点,M 恰为 AB 中点,求直 9 4 解:设 A( x1 , y1 )B( x2 , y2 ) ∴ x12 y12 ? ?1 ① 9 4 2 x2 y2 ? 2 ?1 ② 9 4 ①-②: 1 1 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 9 4 ∴ y ? y2 1 1 ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y 2 ) 1 ?0 9 4 x1 ? x2 y ? y2 1 1 ? 2 ? ? 2? 1 ?0 9 4 x1 ? x2 4 ( x ? 1) 9 ∴ k?? ∴ 4 9 ∴ y ?1 ? ? 即 4 x ? 9 y ? 13 ? 0 [例 3] 椭圆 x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , e ? ,P 为任一点,当 ?F1 PF2 最大时,是否存在 2 2 a b 一直线过点( 0,? a )交椭圆于 A、B 两点,且 A、B 在以 P 为圆心的圆上。 解:设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的斜率为 k ,线段 AB 中点 M( x0 , y0 ) ∴ x12 y12 ? ?1 ① a2 b2 2 2 x2 y2 ? ?1 ② a2 b2 ①-②: 1 1 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 2 ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 2 a b ∴ b 2 x0 ? a 2 ky0 ? 0 ③ ∴ 1 1 y ? 2 0 ?k ? 0 2 a b x0 ∴ 又 ∵ PM⊥AB y0 ? b 1 ?? x0 k ④ ∴ y0 ? kx0 ? a ⑤ 又 ∵ e? 3 2 5 2 ∴ 设 a ? 2m , b ? m , c ? 3m 联立③、④、⑤ ∴ k ?? ∴ 这样的直线存在 方程为 y ? a ? ? 5 x 2 [例 4] 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是一个顶点,若椭圆 的长轴长是 6,且 cos ?OFA ? 2 ,求椭圆的方程。 3 2 解:∵ 椭圆的长轴长是 6, cos ?OFA ? 3 ∴ 点 A 不是长轴的端点(是短轴的端点) ∴ | OF |? c , | AF |? a ? 3 ∴ c 2 ? 3 3 2 2 2 ∴ c ? 2 ,b ? 3 ? 2 ? 5 ∴ 椭圆的方程是 x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 9 5 5 9 [例 5] 已知点 A(1,2)在椭圆 使 | PA | ?2 | PF | 最小。 x2 y2 ? ? 1 内,F 的坐标为(2,0) ,在椭圆上求一点 P 16 12 解:∵ a ? 16 , b ? 12 2 2 2 ∴ c ? 4,c ? 2 2 1 ? 4 2 1 设 P 到右准线的距离为 d ,则 | PF |? d , d ? 2 | PF | 2 ∴ F 为椭圆的右焦点,并且离心率为 ∴ | PA | ?2 | PF |?| PA | ?d 由几何性质可知, 当 P 点的纵坐标 (横坐标大于零) 与 A 点的纵坐标相同时,| PA | ? d 最小。 把 y ? 2 代入 x2 y2 4 6 4 6 ? ? 1 ,得 x ? (负舍之) ,即 P( ,2 )为所求 16 12 3 3 [例 6] 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 3 3 ,已知点 P(0, )到这 2 2 个椭圆上的点的最远距离是 7 ,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点 P 的距离等于 7 的 点的坐标。 解法一:设椭圆的参数方程为 ? ? x ? a cos? (其中 a ? b ? 0 , 0 ? ? ? 2? ) ? y ? b sin ? 由e ? 2 c2 b 3 ? 1 ? ( ) 2 ? ,得 a ? 2b 2 a 4 a 设椭圆上的点( x, y )到点 P 的距离为 d 则 d ? x ? ( y ? ) ? a cos ? ? (b s

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