2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第8章+第51讲+直线与圆的综合应用_图文

1.若圆x2 ? y2 ? 2x ? 4y ? 0的圆心到直线x ? y ? a ? 0

的距离为

2 2

,则a的值为 

2或0 .

2.已知两圆相交于两点A ?1, 3?,B(m,? 1),两圆圆心

都在直线x ? y ? c ? 0上,则m ? c的值是 3  . 

3.动点P到点A?8,0?的距离是到点B ?2,0?的距离的2

倍,那么点P的轨迹方程为 x2 ? y2 ? 16  .

4.过圆C:? x ?1?2 ? ? y ?1?2 ? 1的圆心,作直线分别交
x、y正半轴于点A、B,VAOB被圆分成四部分(如图),
若这四部分图形面积满足SⅠ ? SⅣ ? SⅡ ? SⅢ,则直线
AB有 一 条.

解析:如图,由已知,得SⅣ ? SⅡ ? SⅢ ? SⅠ,第Ⅱ, Ⅳ部分的面积是定值,所以SⅣ ? SⅡ为定值,即SⅢ ?SⅠ为定值,当直线AB绕着圆心C移动时,SⅢ ? SⅠ
随? (? ? (0,? ))的增大而
2 增大,所以只可能有一
个位置符合题意,即直
线AB只有一条.

5.设有一组圆Ck:? x ? k ?1?2 ? ? y ? 3k ?2 ? 2k 4 (k ? N*).
下列四个命题: ①存在一条定直线与所有的圆均相切; ②存在一条定直线与所有的圆均相交; ③存在一条定直线与所有的圆均不相交; ④所有的圆均不经过原点.
其中真命题的代号是 ②④  .(写出所有真命题
的代号)

解析:圆心为?k ?1,3k ?,半径为k 2,圆心在直线 y ? 3? x ?1?上,所以直线y ? 3? x ?1?必与所有的
圆相交,②正确;由C1、C2、C3的图象可知①、
③不正确;若存在圆过原点?0, 0?,则有??k ?1?2
?9k 2 ? 2k 4 ? 10k 2 ? 2k ?1 ? 2k 4 (k ? N* )因为左边 为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立, 即所有圆不过原点.故填②、④.

直线与圆相切
【例1】 已知E(-2,4),F(4,1),G(8,9),△EFG的内 切圆记为⊙M. (1)试求出⊙M的方程;

(2)设过点P(0,3)作⊙M的两条切线,切点分 别记为A,B;又过P作⊙N:x2+y2-4x+λy +4=0的两条切线,切点分别记为C,D.试 确定λ的值,使AB⊥CD.

【解析】?1?由题意,易得EG的方程为x-2y+10=0,

EF的方程为x+2y-6=0,FG的方程为2x-y-7=0.

设 e M的方程为(x-a)2+( y-b)2=r2 (r>0),则有

?a ? ?

?

2b ?10 5

?

r

? ?

a

?

2b

?

6

?

r

,,解得a=3,b=4,r= 5,

?5

? ?2a ? ?

?b 5

?

7

?

r

所求方程为(x-3)2+( y-4)2=5.

?2?当且仅当PM ? PN时,AB ? CD.

因为kPM=

1 3

,

故k


PN

?

??
2 2

3

=-3,

解得?=6.

当?=6时,P点在圆N外,

故?=6即为所求的满足条件的解.

为了减少计算量,本题中的三条直线,两条互 相垂直,两条关于水平直线对称.因而也可以通过 求角平分线的交点而得出圆心.事实上,一条水平 线为y=4,两条互相垂直直线的角平分线所在直线 的斜率为tan(α+π/4 )=-3(tanα=2),直线方程为y =-3x+13,两直线交于点(3,4),即为圆心,后利 用圆心到任一条直线的距离即就是圆的半径.另外, 本题中涉及线性规划,几何概型等考点,但仅是给 出它们的背景,不要深入挖掘.将知识点有机组合 而成的综合问题,是命题的一种趋势.

【变式练习1】 已 知 圆 x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 , 点 A(2a,0) , B(0,2b),且a>1,b>1. (1)若圆与直线AB相切时,求线段AB的中点的 轨迹方程; (2)若圆与直线AB相切,且△AOB面积最小时, 求直线AB的方程及△AOB面积的最小值.

【解析】?1?圆的方程化为(x-1)2+( y-1)2=1,

则圆心C ?1,1?,半径r=1.

直线AB所在的直线方程为 x ? y =1(a ? 1,b ? 1). 2a 2b
因为圆与直线AB相切,

| 1 ? 1 ?1| 所以1= 2a 2b

? | a ? b ? 2ab |,

? 1 ?2 ? ? 1 ?2

a2 ? b2

2a 2b

所以a2+b2=(a+b-2ab)2 =a2+b2+2ab-4ab(a+b)+4a2b2, 所以2a+2b-2ab-1=0. 设线段AB的中点坐标为M (x,y), 则a=x,b=y, 代入上式得线段AB的中点的轨迹方程 为2x+2y-2xy-1=0(x ? 1,y ? 1).

?2?因为2ab+1=2a+2b ? 4 ab,

即2( ab)2-4 ab+1 ? 0(a ? 1,b ? 1),

所以ab ? ( 2 ? 2 )2=3 ? 2 2 ,

2

2

当且仅当a=b= 2 ? 2 时,等号成立. 2
所以直线AB的方程为x+y-2- 2=0.

VAOB面积的最小值为 1g2ag2b=3+2 2 2

直线和圆的方程的综 合应用
【例2】 求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点, 且满足下列条件之一的圆的方程. (1)过原点; (2)有最小面积.

【解析】?1? 设所求圆的方程为 x2 ? y2 ? 2x ? 4y ?1? ? ?2x ? y ? 4? ? 0,
即x2 ? y2 ? 2(1? ?)x ? (? ? 4) y ? (1? 4?) ? 0. ① 又此圆过原点,所以1? 4? ? 0,? ? ? 1 .
4 故所求圆的方程为x2 ? y2 ? 3 x ? 17 y ? 0.
24

? 2 ? 解法一:当半径最小时,圆面积也最小,对

方程①左边配方,

得[x ? (1 ? ?)]2 ? ( y ? ? ? 4)2 ? 5 (? ? 8)2 ? 4 ? 4 .

2

4 5 55

所以当? ? 8,此圆面积最小,
5

故满足条件的圆的方程为(x ? 13)2 ? ( y ? 6)2 ? 6 .

5

55

解法二:当圆心在直线2x ? y ? 4 ? 0上时,圆

面积最小,易求得圆心坐标为(?(1 ? ?),? ? ? 4),
2

代入直线方程得 ? 2(1 ? ?) ? ?-4 ? 4 ? 0,解得? ? 8

2

5

.所以当l ? 时,此圆面积最小.故满足条件的圆的

方程为x2 ? y2 ? 26 x ? 12 y ? 37 ? 0. 55 5

联立直线与圆的方程,通过解方程 组求出交点坐标.进而求出圆的方程计 算繁琐.可以用过直线与圆交点的圆系 方程进行求解.
设 直 线 l : Ax+By+C=0 与 圆 C : x2+y2+Dx+Ey+F=0 相 交 , 则 方 程 x2+y2+Dx+Ey+F+ (Ax+By+C)=0 表 示过 直线l与圆C的交点的圆系方程.

【变式练习2】 (2011? 盐城二模卷)如图,在平面直角坐标系 xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而 成,两相接点M、N均在直线x ? 5上.圆弧 C1的圆心是坐标原点O,半径为13;圆弧C2过
点A?29, 0?.

?1? 求圆弧C2的方程; ?2?曲线C上是否存在点P,满足PA ? 30PO?若存
在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由;
?3?已知直线l:x ? my ?14 ? 0与曲线C交于E、F两
点,当EF ? 33时,求坐标原点O到直线l的距离.

解析:(1)圆弧C1所在圆的方程为x2 ? y2 ? 169,
令x ? 5,解得M ?5,12?,N (5,?12).则线段AM中 垂线的方程为y ? 6 ? 2? x ?17?,令y ? 0,得圆弧 C2所在圆的圆心为O2 ?14, 0?.
又圆弧C2所在圆的半径为r2 ? 29 ?14 ? 15,
所以圆弧C2的方程为? x ?14?2 ? y2 ? 225(x ? 5).

?2?假设存在这样的点P(x,y),则由PA ? 30PO,

得x2 ? y2 ? 2x ? 29 ? 0.

由?? ?

x2 x2

? ?

y2 y2

? 2x ? 29 ? 0 ? 169??13 ? x

?

,解得x 5?

?

?70(舍去);

由?? x 2 ?? x

? y2 ? 2x ? 29 ? 0 ?14?2 ? y2 ? 225?5

?

x

?

,解得x 29?

?

0(舍去),

?3?因为EF>2r2,EF>2r1,所以E、F两点分别在
两个圆弧上.设点O到直线l的距离为d,
因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心 ?14, 0 ?,
所以EF ? 15 ? 132 ? d 2 ? 142 ? d 2, 即 132 ? d 2 ? 142 ? d 2 ? 1 ? 8,解得d 2 ? 1615,
16 所以点O到直线l的距离为 1615 .
4

动圆性质的探究
【例3】 已知t∈R,圆 C:x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0. (1)若圆C圆心在直线x-y+2=0上,求圆C的方 程; (2)圆C是否过定点?如果过定点,求出定点的 坐标;如果不过定点,说明理由.

【解析】 (1)圆C的方程可化为(x-t)2+(y-t2)2=t4+t2- 4t+4,其圆心为(t,t2), 则由题意有t- t2+2=0,所以t=-1或t=2, 故圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=10 或(x-2)2+(y-4)2=16.

? 2 ? 方法1:当t=0时,圆C:x 2+y 2=4;

当t=1时,圆C:x2+y2-2x-2y=0.

解方程组

?? x 2

? ??

x2

? ?

y2 y2

? ?

4 2x

?

2

y

?

, 解得 0

?x

? ?

y

? ?

0或 2

?x

? ?

y

? ?

2 0



? ? ?

x y

? ?

0 2

代入圆C的方程,左边=-4t

2+4t不恒等于0;



?x

? ?

y

? ?

2 0

代入圆C的方程,左边=0=右边,

故圆C过定点?2, 0?.

方法2:将圆C的方程整理为( x 2+y 2-4)

+(-2x+4)t+(-2y)t 2=0.

?x2 ? y2 ? 4 ? 0

令 ???2x ? 4 ? 0 ???2 y ? 0

,

解得

?x

? ?

y

? ?

2 .
0

故圆C过定点?2, 0?.

动圆过定点问题有两种解法: 一是先从动圆系中取出两个已知圆, 求出它们的交点坐标,再将求得的坐标代 入动圆中验证; 二是将动圆方程改写为关于参数t的等 式,再利用多项式恒等理论列出关于x,y的 方程组,解得定点坐标.

【变式练习3】 已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问是 否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得弦 AB,以AB为直径的圆经过原点,若存在, 写出直线l的方程;若不存在,请说明理 由.

【解析】假设存在直线l:y=x+m,

由??x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 0,消去y, ?y ? x?m
得2x 2+(2m+2) x+m 2+4m-4=0.①

因为以AB为直径的圆过原点,

所以OA ? OB.设A(x1,y1),B(x2,y2 ),

则kOA ·kOB=

y1 x1

?

y2 x2

=-1,即x1x2+y1 y2=0.

由方程①,得x1+x2=-m-1,

x1x2= m2

?

4m 2

?

4

因为y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2 )+m2, 所以x1x2+y1y2=2x1x2+m(x1+x2 )+m2=0. 把②代入得m2+3m-4=0,

解得m=1或m=-4.

将m=1和m=-4分别代入方程①,检验得? ? 0,

所以存在直线l,方程为x-y+1=0和x-y-4=0.

1.过点P(0,1)与圆x2+y2-2x-3=0相交的所 有直线中,被圆截得的弦最长时的直线方 程是____x_+__y_-__1_=__0____
2.已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+ (y-1)2=2,则C上各点到l的距离的最大值 与最小值之差为___2__2_____

3.已知圆(x-3)2+( y+5)2=36和点A?2, 2?、
B(-1,-2),若点C在圆上且VABC的面 积为 5,则满足条件的点C的个数是__3_.
2

【解析】由VABC的面积为 3 知,点C到直线AB 2
的距离为1,直线AB的方程为4x-3y-2=0,与
直线AB平行且距离为1的直线为l1:4x-3y+3=0 和l2:4x-3y-7=0,圆心C到直线l1的距离为d1= 6,圆心C到直线l2的距离为d2=4.
所以圆(x-3)2+( y+5)2=36与直线l1相切与 直线l2相交,满足条件的点C的个数是3.

4.已知P是直线3x ? 4y ? 8 ? 0上的动点,PA、PB是 圆x2 ? y2 ? 2x ? 2y ?1 ? 0的两条切线,A、B是切点,
C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值为 9  .
解析:设P点坐标为(x,y),

则 PC ? ? x ?1?2 ? ? y ?1?2 . 由勾股定理及 AC ? 1,

得 PA ? | PC |2 ? | AC |2 ? ? x ?1?2 ? ? y ?1?2 ?1,

从而S四边形 PACB

? 2SVPAC

? 2? 1 2

PA

?

AC

? PA ? . ? x ?1?2 ? ? y ?1?2 ?1

故欲求S四边形PACB的最小值,只需求 PA 的
最小值,即定点C ?1,1?与直线上动点P(x,y)的 距离的平方的最小值,它也就是点C ?1,1?到直
线3x ? 4y ? 8 ? 0的距离的平方.即这个最小值 d 2 ? (| 3?1 ? 4 ?1 ? 8 |)2 ? 9,
32 ? 42 所以S四边形PACB最小值 ? 9-1 ? 2 2. 

5.已知圆x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若圆C的切线在x轴上和y轴上的截距的 绝对值相等,求此切线的方程; (2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线, 切点为M,O是坐标原点,且有|PM|=|PO|, 求使|PM|最小的P点坐标.

【解析】圆的方程化为(x+1)2+( y-2)2=2, 则圆心C(-1, 2),半径r ? 2
?1? ①当圆C的切线在x轴上和y轴上的截距都为0时,
设切线方程为y=kx, 则圆心到直线的距离d= | k ? 2 | = 2
1? k2 所以k=2 ? 6, 所以所求切线的方程为y=(2 ? 6)x.

②当圆C的切线在x轴上和y轴上的截距都不为0时, 设切线的方程为x+y+a=0或x-y+b=0. 由| ?1 ? 2 ? a |= 2,得a=-3或1.
2 所以切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0. 又由| ?1 ? 2 ? a |= 2,得b=5或1.
2 所以切线的方程为x-y+1=0或x-y+5=0.
所以满足条件的切线的方程为y=(2 ? 6)x 或x+y+1=0或x+y-3=0或x-y+1=0或x-y+5=0.

?2?依题意,PM 2 = PC 2 -r2=(x+1)2+( y-2)2-2

=x2+y2+2x-4y+3,PO 2 =x2+y2.

因为 PM = PO ,所以2x-4y+3=0,

即点P(x,y)在直线l:2x-4y+3=0上.

要使 PM 最小,需 PO 最小,

即原点O到直线l:2x-4y+3=0的距离最小. 此时,OP ? l,

所以直线OP的斜率为k=-2,方程为y=-2x.

解方程组

?2x ??2x

? ?

y?0 4y ?3

?

,得P点的坐标为(- 3

0

10

,

3). 5

1.求圆的方程通常用待定系数法.若 所求的圆过已知两圆的交点或一直线与圆的 交点,一般用圆系方程.
2.如果圆心问题转化为三角函数问题 更方便求解,则将圆上的点的坐标用参数式 表示,特别是求最值的问题.

3.有关直线和圆的位置关系,一般要由 圆心到直线的距离与半径的大小来确定.
4.直线与圆所涉及的知识都是平面解析 几何的最基础的内容,并渗透到解析几何的 各个部分,尤其是直线与圆的位置关系等, 构成了解析几何问题的基础.因此,要在这 些基础知识的内在的联系和基本方法的运用、 通法的熟练程度上下狠功夫.


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