2016届高考数学大一轮复习 第5章 第4节 数列求和课件 文 新人教版_图文

第四节

数列求和

考纲要求:1.掌握等差、等比数列的前 n 项和公式.2.能 用等差、 等比数列前 n 项和公式及性质求一些特殊数列的和.

[基础真题体验] 考查角度[ 等差、等比数列的和] 1 .(2013· 重庆高考)已知{an}是等差数列,a1 =1 ,公差 d≠0,Sn 为其前 n 项和,若 a1,a2,a5 成等比数列,则 S8= ________.

【解析】 ∵a1,a2,a5 成等比数列, ∴a2 2=a1a5 ∴(1+d)2=1×(4d+1), ∴d2-2d=0, ∵d≠0,∴d=2. 8×7 ∴S8=8×1+ ×2=64. 2

【答案】 64

2.(2013· 辽宁高考)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是 {an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x2-5x+4=0 的两个根, 则 S6=________.

【解析】 因为 a1,a3 是方程 x2-5x+4=0 的两个根, 且数列{an}是递增的等比数列,所以 a1=1,a3=4,q=2,所 1-26 以 S6= =63. 1-2

【答案】 63

考查角度[ 错位相减法求和] 3.(2014· 课标全国卷Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列,a2, a4 是方程 x2-5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式;
? ?an? ? ? (2)求数列?2n? 的前 ? ? ?

n 项和.

【解】 (1)方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3, 由题意得 a2=2,a4=3. 1 设数列{an}的公差为 d,则 a4-a2=2d,故 d= , 2 3 从而 a1= . 2 1 所以{an}的通项公式为 an= n+1. 2

?an? (2)设?2n?的前 ? ?

an n+2 n 项和为 Sn.由(1)知 n= n+1 ,则 2 2

n+1 n+2 3 4 Sn= 2+ 3+?+ n + n+1 , 2 2 2 2 n+1 n+2 1 3 4 S = + +?+ n+1 + n+2 . 2 n 23 24 2 2 两式相减得 1 ? 1 3 ? ?1 ? n+2 S = + 23+?+ n+1?- n+2 2 ? 2 2 n 4 ? ? 1 ? 3 1? ? ? n+2 1 - = + ? 2n-1?- n+2 . 4 4? ? 2 n+4 所以 Sn=2- n+1 . 2

[ 命题规律预测] 从近几年高考试题看,数列求和是高考的热点, 命题 规律 主要涉及等差、等比数列求和,错位相减法求和 与裂项相消法求和,题型多样,难度中档,选择 题,填空题中以考查求和基础知识为主,解答题 以考查错位相减法和裂项相消法为主. 预测 2016 年高考仍将把数列求和作为命题热点, 考向 对“错位相减法”与“裂项相消法”的考查不 预测 会降温,对“倒序相加法”,“并项求和法”等 的考查将会涉及,复习时不要忽视.

考向一分组转化求和 [典例剖析] 【例 1】 (2014· 北京高考)已知{an}是等差数列,满足 a1 =3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn-an}为等 比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和.

【思路点拨】 (1)根据等差、等比数列的通项公式,分 别求 an 与 bn;(2)根据 bn 的通项公式,分组求和即可.

【解】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 a4-a1 12-3 d= = =3, 3 3 所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,?). 设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得 b4-a4 20-12 q= = =8,解得 q=2. b1-a1 4-3
3

所以 bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1. 从而 bn=3n+2n-1(n=1,2,?).

(2)由(1)知 bn=3n+2n-1(n=1,2,?). 3 数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1),数列{2n-1}的前 n 项和 2 1-2n n 为 =2 -1. 1-2 3 所以,数列{bn}的前 n 项和为 n(n+1)+2n-1. 2

分组转化法求和的常见类型: (1)若 an=bn± cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采 用分组求和法求{an}的前 n 项和. (2)通项公式为
? ?bn,n为奇数, an=? ? ?cn,n为偶数

的数列,其中数列

{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.

[对点练习] n2+n (2014· 湖南高考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,n 2 ∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前 2n 项和.

【解】

(1)当 n=1 时,a1=S1=1;

n2+n ?n-1?2+?n-1? 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - =n. 2 2 故数列{an}的通项公式为 an=n.

(2)由(1)知 an=n,故 bn=2n+(-1)nn. 记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n,则 T2n=(21+22+?+22n)+(-1+2-3+4-?+2n). 记 A=21+22+?+22n,B=-1+2-3+4-?+2n,则 2?1-22n? 2n+1 A= =2 -2, 1-2 B=(-1+2)+(-3+4)+?+[ -(2n-1)+2n] =n, 故数列{bn}的前 2n 项和 T2n=A+B=22n+1+n-2.

考向二裂项相消法求和 [典例剖析] 【例 2】 (2013· 课标全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式;
? ? 1 ? ? ?的前 (2)求数列? ? ?a2n-1a2n+1? ?

n 项和.

【思路点拨】 (1)结合等差数列的求和公式列出关于首 项和公差的方程组求解;(2)裂项求和,但要注意裂项后的系 数.

【解】

n?n-1? (1)设{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ d. 2
? ?a1=1 , 解得? ? ?d=-1.

? ?3a1+3d=0, 由已知可得? ? ?5a1+10d=-5.

故{an}的通项公式为 an=2-n.

1 1 (2)由(1)知 = a2n-1a2n+1 ?3-2n??1-2n? 1 ? 1? ? 1 ? - = ? , 2?2n-3 2n-1? ?
? ? 1 ? ? ? ?的前 从而数列 ? ?a2n-1a2n+1? ?

n 项和为

1 1 1 1 1 ? 1? ? 1 ? - + - + ? + - 2? 2n-3 2n-1? ?-1 1 1 3 ? n = . 1-2n

利用裂项相消法求和应注意以下两点: (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能 前面剩两项,后面也剩两项. (2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的 两项之差和系数之积与原通项相等.如:若{an}是等差数列, 1 ? 1 ? 1 1? 1 1? ?1 ? ?1 ? - 则 = ?a - , = ?an a + ?. 2 d anan+1 d? n an+1? a a n 2? ? ? n n+2

[对点练习] 已知各项都不相等的等差数列{an}的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N*),且 b1=3,求数
? ?1? ? ? 列?b ? 的前 ? ? n?

n 项和 Tn.

【解】

(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0),
? ?d=2, 解得 ? ? ?a1=5,

? ?6a1+15d=60, 则? 2 ? a ? a + 20 d ? = ? a + 5 d ? , ? 1 1 1

∴ an = 2n +

3.

(2)bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+?+(b2-b1)+b1=an-1 +an-2+?+a1+b1=(n-1)(n+3)+3=n(n+2). 1 ? 1 1 1? ?1 ? ∴ = = ?n- , bn n?n+2? 2? n+2? ? 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ∴Tn= ?1-3+2-4+?+n- 2? n+2? ? 1 1 ? 1? ?3 ? - = ?2- 2? n+1 n+2 ? ? 3n2+5n = . 4?n+1??n+2?

考向三错位相减法求和 [典例剖析] 【例 3】 (2014· 江西高考)已知首项都是 1 的两个数列 {an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. an (1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; bn (2)若 bn=3n-1,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

【思路点拨】 (1)构造等差数列,利用等差数列的通项 公式求解;(2)利用错位相减法求解数列的前 n 项和.

【解】 (1)因为 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈ N*), an+1 an 所以 - =2,即 cn+1-cn=2, bn+1 bn 所以数列{cn}是以首项 c1=1,公差 d=2 的等差数列, 故 cn=2n-1.

(2)由 bn=3n-1 知 an=cnbn=(2n-1)3n-1, 于是数列{an}的前 n 项和 Sn=1· 30+3· 31+5· 32+?+(2n -1)· 3n-1, 3Sn=1· 31+3· 32+?+(2n-3)· 3n-1+(2n-1)· 3n, 相减得-2Sn=1+2· (31+32+?+3n-1)-(2n-1)· 3n=- 2-(2n-2)3n, 所以 Sn=(n-1)3n+1.

1. 如果数列{an}是等差数列, {bn}是等比数列, 求{an· bn} 的前 n 项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同 乘以等比数列{bn}的公比,若公比含参数,要注意分公比等 于 1 和不等于 1 两种情况讨论.

2.用错位相减法求和时,应注意: (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的 情形更值得注意. (2)在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错 项对齐”以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.

[对点练习] 1 2 3 n 求和:Sn= + 2+ 3+?+ n. a a a a

【解】

n?n+1? (1)a=1 时,Sn=1+2+?+n= ; 2

1 2 3 n (2)a≠1 时,Sn= + 2+ 3+?+ n,(ⅰ) a a a a n-1 1 1 2 n S = + +?+ n + n+1,(ⅱ) a n a2 a3 a a 由(i)-(ⅱ)得 1? 1? ? ? 1 - n ? a? a? 1? 1 1 1 1 n n ? ? ? ? - n+1, ?1-a?Sn=a+a2+a3+?+an-an+1= 1 a ? ? 1- a a?an-1?-n?a-1? ∴Sn= . an?a-1?2

综上所述, ? ?n?n+1? ?a=1?, ? 2 Sn=? n ?a?a -1?-n?a-1? ?a≠1?. n 2 ? a ? a - 1 ? ?

满分指导 9 数列求和问题 [典例剖析] 【典例】 (12 分)(2014· 安徽高考)数列{an}满足 a1=1, nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.
? ?an? ? ? (1)证明:数列? n ? 是等差数列; ? ? ?

(2)设 bn=3n· an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

【审题指导】 破题技巧 对 nan+1=(n+1)an+ 数列{an}中,a1=1,nan+1 n(n+1)变形,达到 求证: a (1) =(n+1)an+n(n+1), an n+1 ? - =常数的目 ?an? ? ? ?是等差数列. n+1 n ? ?n? ? 的. ? 由等差数列通项公式 ?an? ? ? ?是等差数列,bn= 写出 an,得到 bn 的通 ?n? (2) ? n ? 用错位相减法 3 · an,求{bn}的前 n 项和 项公式, Sn. 求和. 信息提取

an+1 an an+1 【规范解答】 (1)证明: 由已知可得 = +1, 即 n+1 n n+1 an - =1, n
? ?an? ? a1 ? ? 所以? n ?是以 =1 1 ? ?

2分 为首项,1 为公差的等差数列. 4分

an (2)由(1)得 =1+(n-1)· 1=n,所以 an=n2. n 从而 bn=n· 3n. Sn=1×31+2×32+3×33+?+n· 3n,① 3Sn=1×32+2×33+?+(n-1)· 3n+n· 3n+1.②

6分

n 3· ? 1 - 3 ? 1 2 n n +1 ①-②得,-2Sn=3 +3 +?+3 -n· 3 = - 1-3 n+1 ? 1 - 2 n ? · 3 -3 n+1 n· 3 = . 2

10 分 12 分

?2n-1?· 3n+1+3 所以 Sn= . 4

【名师寄语】

? ?an? ? ?为等 (1)对已知条件变形时要时刻以? ?n? ? ?

an+1 an 差数列为指导思想,即变形目的是得到 - =常数,不 n+1 n 要盲目变形. (2)错位相减法求和时的结果较为复杂,化简时一定要细 心,以防出错.

[对点练习] (2013· 山东高考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4 =4S2,a2n=2an+1. (1) 求数列{an}的通项公式; b1 b2 bn 1 (2)若数列{bn}满足 + +?+ =1- n, n∈N*, 求{bn} a1 a2 an 2 的前 n 项和 Tn.

【解】 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4S2,a2n=2an+1,得
? ?4a1+6d=8a1+4d, ? ? ?a1+?2n-1?d=2a1+2?n-1?d+1. ? ?a1=1, 解得? ? ?d=2.

因此 an=2n-1,n∈N*.

b1 b2 bn 1 (2)由已知 + +?+ =1- n,n∈N*, a1 a2 an 2 b1 1 当 n=1 时, = ; a1 2 1 ? bn 1 ? 1 ? ? 1 - 当 n≥2 时, =1- n-? = n. an 2 ? 2n-1? ? 2 bn 1 所以 = n,n∈N*. an 2

由(1)知 an=2n-1,n∈N*, 2n-1 所以 bn= n ,n∈N*. 2 2n-1 1 3 5 所以 Tn= + 2+ 3+?+ n , 2 2 2 2 2n-3 2n-1 1 1 3 T = + +?+ n + n+1 . 2 n 22 23 2 2

两式相减,得 2 2? 1 1 ? ?2 ? 2n-1 T = + 22+23+?+2n?- n+1 2 n 2 ? 2 ? ? 2n-1 3 1 = - n-1- n+1 , 2 2 2 2n+3 所以 Tn=3- n . 2

课堂达标训练 1.等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1,其前 n 项的 和为
? ?Sn? ? ? Sn,则数列? n ? 的前 ? ? ?

10 项的和为( C.75

) D.100

A.120

B.70

n?3+2n+1? Sn 【解析】 ∵Sn= =n(n+2),∴ =n+2. 2 n
? ?Sn? ? ? ∴数列? n ? 前 ? ? ?

10 项的和为:(1+2+?+10)+20=75.

【答案】 C

2.数列{an}的通项公式是 an= 9,则 n 等于( A.9 C.10 )

,前 n 项和为 n+ n+1

1

B.99 D.100

【解析】 ∵an= 又 a1+a2+?+an

= n+1- n, n+ n+1

1

=-(1- 2+ 2- 3+?+ n- n+1) = n+1-1=9, ∴n=99.

【答案】 B

3.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+ a2+?+a10=( A.15 C.-12 ) B.12 D.-15

【解析】 ∵an=(-1)n(3n-2), ∴a1+a2+?+a10=(-1+4)+(-7+10)+?+(-25+ 28)=3×5=15.

【答案】 A

1 2 3 n 4. + + +? n等于( 2 4 8 2 2n-n-1 A. 2n 2n-n+1 C. 2n

) 2n+1-n-2 B. 2n 2n+1-n+2 D. 2n

?1? ?1? ?1? 1 ? ?2 ? ?3 ? ?n 【解析】 令 Sn=1·+2· + 3· + ? + n · ?2? ?2? ?2? 2 ? ? ? ? ? ?



?1? ?1? ?1? ?1? ?1? + 1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? ?n ? ?n 1 则 Sn=1· + 2· + 3· + ? + ( n - 1)· + n · . ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?


? ?1? ?1? ?1? + 1 1 ? ?1? 2 ? ?3 ? ?n ? ?n 1 ①-②得, Sn = + ?2? + ?2? + ? + ?2? - n· = ?2? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? 1? ? ? ?n? · 1 - ?2? ? ?1? ?1? ?1? 2? ? ? ? ? ? ?n+1 ? ?n ? ?n+1 -n · = 1 - - n · ?2? ?2? ?2? 1 ? ? ? ? ? ? 1- 2
n+1 ?1? ?1? 2 -n-2 ? ? n- 1 ? ?n ∴Sn=2-?2? -n· . n ?2? = 2 ? ? ? ?

【答案】 B


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