2016海淀区高二数学期中理科答案

2016 海淀区高二数学期中理科答案

海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案

数 学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分.

2016.4

AABD CCCD

二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 4 分,共 16 分.

9. 2 ? i

10. ?4

1 11. ?
(x ?1)2

12. 1

三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

13.(本小题 12 分) (Ⅰ)6,3.

------------------------------------------------------------------4 分

(Ⅱ)解: f '(x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,--------------------------------------------------------------5 分

由已知表格可得

? ? ?

f f

'(1) '(3)

? ?

8, 0,

解得

??a ? ? 2 ?3 ?? b ? 2.

,

---------------------------------------------7



(Ⅲ)解:由(Ⅱ)可得 f '(x) ? ?2x2 ? 4x ? 6 ? ?2(x ? 3)(x ?1) ,-----------------------8 分

由 f '(x) ? 0可得 x ?(??,?1) (3,??) ,------------------------------------------------9 分
因为 f (x) 在 (m, m ? 2) 上单调递减, 所以仅需 m ? 2 ? ?1或者 m ? 3, ------------------------------------------------------11 分 所以 m 的取值范为 m ? 3或 m ? ?3 .-----------------------------------------------------12 分
14.(本小题 10 分)
(Ⅰ)证明:欲证平面 ABE ? 平面 BCD, 只需证 AB ?平面 BCD , ---------------------------------------------------------------2 分 由已知 AB⊥BC,只需证 AB ? DC ,----------------------------------------------------4 分 由已知 DC⊥平面 ABC 可得 DC⊥AB 成立, 所以平面 ABE⊥平面 BCD.

(Ⅱ)证明:假设在平面 ABE 内存在直线与 DC 平行,------------------------------------6 分

又因为 DC ? 平面 ABE ,所以 DC / / 平面 ABE .

又因为平面 ACDE 平面 ABE = AE ,

所以 DC // AE ,

------------------------------------------8 分

又因为 DE //AC,所以 ACDE 是平行四边形,

所以 AC ? DE ,这与 AC ? 2DE 矛盾,-----------------------------------------------10 分

所以假设错误,原结论正确.

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15.(本小题 12 分)

(Ⅰ)解: f '(x) ? 1 ? a ? 1? ax , x ? 0 .----------------------------------------------------------2 分

x

x

由已知可得 f '(1) ?1? a ? 2 ,解得 a ?1.---------------------------------------------------3 分

因为 f (1) ?1,所以在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2x ?1.------------------------4 分

(Ⅱ)解 1:若对任意 x ? (0,??) ,都有 f (x) ? 1 成立,即 a ? 1? ln x 成立.------------6 分
x

设 g(x) ? 1? ln x , x

--------------------------------------------------------------7 分

g

'(x)

?

ln

x? x2

2

,令

g

'(x)

?

0

,解得

x

?

e2



则 g '(x), g(x) 的情况如下:

x g '(x) g(x)

(0,e2 ) ?

e2

(e2 ? ?)

0

?

---------------------------------------------9 分

所以 g(x) 的最小值为 g(e2 ) ? ?e?2 , ------------------------------------------10 分

所以,依题意只需实数 a 满足 a ? ?e?2 ,---------------------------------------11 分

故所求 a 的取值范围是 (??, ?e?2 ] . --------------------------------------------12 分

解 2:当 a ? 0 时, f '(x) ? 0 恒成立,所以函数 f (x) 的单调递增区间为 (0,??)

又因为 f (1? 1) ? ln(1? 1) ? a ?1 ?1 ,所以不符题意,舍.--------------------6 分

a

a

当 a ? 0 时,令 f '(x) ? 0 ,得 x ? ? 1 .----------------------------------------------7 分 a
所以 f '(x), f (x) 随 x 的变化如下表所示:

x

(0,? 1) ? 1

(? 1 , ??)

a

a

a

f '(x)

?

0

?

f (x)

-----------------------------------------9 分

所以 f (x) 的最大值为 f (? 1) ,------------------------------------------------------10 分 a

所以,依题意只需 f (? 1) ? ln(? 1) ?1?1 即可,解得 a ? ?e?2 .---------------11 分

a

a

综上, a 的取值范围是 (??, ?e?2 ] .---------------------------------------------------12 分

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16. (本小题 8 分) 解:对于集合中最大的数 a4 ,因为 a4 ? a4 ? a4 , 3 ? a4 ? a4 ,1? a4 ? a4 -----------------2 分

所以 a4 ? a4 , a4 ? 3 , a4 ?1, a4 ? a1 都属于该集合.--------------------------------------------4 分

又因为 0 ? a1 ?1 ? 3 ? a4 ,所以 a4 ? a4 ? a4 ? 3 ? a4 ?1 ? a4 ? a1 .-----------------------6 分

所以 a1 ? a4 ? a4 ? 0 , a4 ? 3 ? 1,------------------------------------------------------------------7 分

即 a1 ? 0, a4 ? 4 .-------------------------------------------------------------------------------------8 分 17. (本小题 10 分)

(Ⅰ)解:由题意知, Ci

?

2( xi

?

f

(xi ))

?

2( xi

?

1 xi

)

(i

? 1, 2,

, n) ,

所以

2Si

?

xi

?

1 xi

(i ?1,2,

, n) .--------------------------------------------------------------1 分



i=1,得

2S1

?

x1

?

1 x1



又 S1 ? x1 ,且 x1 >0,故 x1 ?1 .---------------------------------------------------------------2 分

(Ⅱ)解:令

i=2,得 2S2

?

x2

?

1 x2



又 S2 ? x1 ? x2 , x1 ?1 ,且 x2 >0,故 x2 ? 2 ?1 ;------------------------------------3 分



i=3,得

2S3

?

x3

?

1 x3



又 S3 ? x1 ? x2 ? x3 , x1 ?1 , x2 ? 2 ?1 ,且 x3 >0,故 x3 ? 3 ? 2 ;----------4 分

由此猜想, xn ? n ? n ?1 (n∈N+).-------------------------------------------------------5 分 下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时, x1 ?1 ,命题成立;---------------------------------------------------------6 分

②假设 n=k 时命题成立,即 xk ? k ? k ?1 (k∈N+), -----------------------------7 分

则当 n=k+1 时, 2Sk?1

?

xk ?1 ?

1 xk ?1

,又 Sk?1

? Sk

? xk?1 , 2Sk

? xk

?

1 xk



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故 (xk

?

1 xk

)

?

2xk ?1

?

xk ?1

?

1 xk ?1



由 xk ?

k?

k

?1

,得

x2 k ?1

?

2

k xk?1 ?1 ? 0 ,--------------------------------------8 分

所以 xk?1 ? k ? 1 ? k ( ? k ?1 ? k 舍去).-------------------------------------------9 分 即当 n=k+1 时命题成立。 综上所述,对任意自然数 n,都有 xn ? n ? n ?1 成立.--------------------------------10 分

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