基本初等函数指数对数与幂函数强化训练专题练习(四)含答案人教版高中数学新高考指导

高中数学专题复习
《基本初等函数指数函数对数函数与幂函数》单 元过关检测
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1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)

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评卷人 得分

一、选择题

1.函数 y ? ax ? a( a ? 0, a ? 1)的图象 可能是

(2020 四川文)

[答案]C
[ 解析 ] 采 用 特殊 值 验 证 法 . 函数 y ? ax ? a( a ? 0, a ? 1)恒 过( 1,0) , 只 有 C 选 项符
合. 2.已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是

3.设 a>1, 且 m ? loga (a2 ?1), n ? loga (a ?1), p ? loga (2a) ,则 m, n, p 的大 小关系


A. n>m>p 安徽文 8)

B. m>p>n

C. m>n>p

D. p>m>n(2020

4.设

a

?(3)52 ,b

?(

2

3
)5,c

?(

2

2
)5





a,b,c

的大小关系是(



5

5

5

A.a>c>b 安徽文 7)

B.a>b>c

C.c>a>b

D.b>c>a(2020

5.已知 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 ()

A.(0,1)

B.(1,2)

(2020 全国理 11)

C.(0,2)

D.[2,+∞)

6.设 a ?1,函数

f ( x) ?

l o ga

x在区间 [a, 2a ]上的最大值 与最 小值之 差 为

1 2

,则

a?( )

A. 2

B.2

C. 2 2

D.4(2020 全国 1)

7.设函数

f (x)

?

?x2 ?

? 4x ? 6, x ? 0 则不等 式

f (x) ?

f (1) 的解集是(



?x ? 6, x ? 0

A (?3,1) ? (3,??) B (?3,1) ? (2,??) C (?1,1) ? (3,??) D (??,?3) ? (1,3)

8 .若 loga 3 ? logb 3 ? 0 , 那 么 a, b 间的关系 是 ----- ---- ---- ---- ( )

A. 0? a ?b ?1 B.1? a ?b C. 0?b ? a ?1 D.1? b ? a
9.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:

x

-1.6

-1.4

-1.2 -1 -0.8

-0.6

-0.4 -0.2 0 …

y ? 2x 0.3298 0.3789 0.4352 0.5 0.5743 0.6597 0.7578 0.8705 1 …

y ? x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 …

那么方程 2x ? x2 有一个根位于下列区间的 A. (?1.6, ?1.2) B. (?1.2, ?0.8) C. (?0.8, ?0.6) D. (?0.6, ?0.2)

10.设 f(x)=|log3x|,若 f(x)>f( 7 ),则 x 的取值范围是(



2

A,(0, 2 )∪(1, 7 )

7

2

B,( 7 ,+∞) 2

D,( 2 , 7 )(湖南示范) 72

C,(0, 2 )∪( 7 ,+∞)

7

2

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明

评卷人 得分

二、填空题

11 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 定 点 A(a, a) , P 是 函 数 y ? 1 ( x ? 0 ) 图 象 上 一 x
动 点 , 若 点 P,A 之 间 的 最 短 距 离 为 2 2 , 则 满 足 条 件 的 实 数 a 的 所 有 值 为
_______.(2020 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校 对纯 WORD 版含附加题))

12 . 若 函 数 y = |log2x| 在 区 间 (0 , a] 上 单 调 递 减 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _______.

1 3 . 设 a ? 0.33 , b ? 30.3 , c ? log3 0.3 , 则 a , b , c 从. 小. 到. 大.依.次. 为





1 4 . 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? { x | 2 x ? 2 x? 0, }B ? {x | y ? lg(x ?1)} , 则 (?U A) B ? .

答案 {x | 1? x ? 2}

1 5 . 计 算 : i(1? i )2 ? _ _ _ _ _ _

16.函数

y

?

lo g2

x2 x?2

的最小值是

,此时 x 的值为

。(

评卷人 得分

三、解答题

17.如图扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图,其中∠AOB 的圆心角为
2? , 半 径 OA 为 1 Km , 为 了 便 于 游 客 观 光 休 闲 , 拟 在 观 光 区 内 铺 设 一 条 从 入 口 3
A 到出口 B 的观光道路,道路由圆弧 AC、线段 CD 及线段 BD 组成。其中 D 在线 段 OB 上,且 CD//AO,设∠AOC=θ ,
(1) 用θ 表示 CD 的长度,并写出θ 的取值范围。
(2) 当θ 为何值时,观光道路最长?

18.函数 f (x) ? ? 1 x2 ? x 的定义域 为 ?m, n? ,值域为 ?3m, 3n? ,求 m ? n的值。
2
19.已知 函数 F(x)= -x3+ax2+b (a,b∈R)。(1)若设函数 y=F(x)的图象上任意两
个不同的点的连线的斜率小于 1,求证:|a|< 3 ;(2)若 x∈[0,1],设函数
y=F(x)的图象上任意一点处的切线的斜率为 k,试讨论|k|≤1 成立的充要条件。

20.设函数f(x)=

c2 x2 ? a x?

,其中a为实数. a

(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围; (Ⅱ)当f(x)的定义域为R时,求f(x)的单减区间. (陕西理)

【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除

评卷人 得分

一、选择题

1.

2. (3,??)

3.AB

解 析 : 设 a > 1, ∴

a2 ?1 ? 2a , 2a ? a ?1 ,

m ? loga (a2 ?1), n ? loga (a ?1), p ? loga (2a) , ∴ m, n, p 的 大 小 关 系 为 m > p > n ,
选 B。

4.A

y

?

2
x5



x

?

0时是增函数,所以

a

?

c



y

?

(2)x



x

?

0时是减函数,所以

5

c?b。

5.B

6.D

7.A(2020 天津卷文)

【解析】由已知,函数先增后减再增
当 x ? 0, f (x) ? 2 f (1) ? 3 令 f (x) ? 3,

解得 x ? 1, x ? 3 。

当 x ? 0, x ? 6 ? 3, x ? ?3

故 f (x) ? f (1) ? 3 ,解 得 ? 3 ? x ? 1或x ? 3

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的 求解。 8. 9.C
10.C
解析:作图象,选 C
第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明

评卷人 得分

二、填空题

11.或 12.(0,1] 13. 14.
1 5. ?2 16.)

评卷人 得分

三、解答题

17. 18. 19 . ( 1 ) 函 数 y=F(x) 的 图 象 上 任 意 两个 不同 的 点 为 P1 、 P2 且 x1 ≠ x2 , 则
y1 ? y2 < 1 , 即 : x1 ? x2

? x13

? ax12 ? x23 x1 ? x2

? ax22

? 1< = = > ? x12

? x1x2

? x22

? a(x1

? x2 ) ? 1

< = = > ? x12 ? (a ? x2 )x1 ? x22 ? ax2 ?1 ? 0 , ∵ x 1 是 任 意 实 数 , ∴ △ 1= (a ? x2 )2 ? 4(?x22 ? ax2 ?1) ? 0

即 : ? 3x22 ? 2ax2 ? a 2 ? 4 ? 0 ∵ x 2 是 任 意 实 数 , ∴ △ 2 = 4 a 2 + 1 2 ( a 2 - 4 ) < 0 ∴ | a | < 3

(2)当 x∈[0,1]时,k=F /(x)=-3x2+2ax,则题意得:-1≤-3x2+2ax≤1 当 x∈ [0,1]都成立。

若 x=0, 则 a∈R; 若 x≠ 0,则 ? 1 ? 3x ? 2a ? 1 ? 3x ,

x

x

∵在 (0,1] 上,

f (x)

?

?1 x

? 3x 是增函数,∴ (? 1 x

? 3x)max

?

2

g(x) ? 1 ? 3x ? 2 3 ,当 x= 3 时取等号,∴2≤2a≤2 3 即:1≤a≤ 3

x

3

∴使|k|≤1 成立的充要条件是 1≤a≤ 3 。
另解(2)|k|≤1 成立的充要条件是 F /(x)=-3x2+2ax (0≤x≤1)的最大值 M≤2, 最小值 m≥-1
∵ F /( x ) = - 3 x 2+ 2 a x = ? 3(x ? a )2 ? a 2 , F /( 0 ) = 0 33

??0 ?

?

a 3

?

1

∴ ??F / ( a ) ? a 2

?3 3

?F / (1) ? ?1

?

1或

?a

? ?

3

?1



?a

? ?

3

?

0

解得:1≤a≤

??F / (1) ? 1 ??F / (1) ? ?1

3

?

?

20.( Ⅰ) f (x) 的定义域 为 R ,? x2 ? ax ? a ? 0 恒成立 , ?? ? a2 ? 4a ? 0 ,

?0 ? a ? 4 ,即当 0 ? a ? 4 时 f (x) 的定 义域为 R .

(Ⅱ)

f

?( x)

?

x(x ? a ? 2)ex (x2 ? ax ? a)2

,令

f ?(x )≤

0,得 x( x?

a? 2 )≤

0.

由 f ?(x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 ? a ,又 0 ? a ? 4 ,

?0 ? a ? 2 时,由 f ?(x )? 0得 0 ? x ? 2 ? a; 当 a ? 2 时, f ?(x )≥ 0;当 2 ? a ? 4 时,由 f ?(x )? 0得 2 ? a ? x ? 0, 即当 0 ? a ? 2 时, f (x) 的单 调减区 间 为 (0,2 ? a) ; 当 2 ? a ? 4 时, f (x) 的单调 减区间 为 (2 ? a,0) .


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