高中数学 第二章 解三角形 2.2 三角形中的几何计算 应用正、余弦定理解决实际问题素材 北师大版5 精

应用正、余弦定理解决实际问题 正、余弦定理在实际生活中有着极其广泛的应用,对经过抽象、概括最终转化为三角形 中的边、角问题的实际应用题的求解十分有效,下面略举几例,以飨读者. 一“航海”问题 例 1 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 ? 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船, 正沿南偏东 75 ? 的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以 14 海里/ 小时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要 多少时间才追赶上该走私船? 分析:这道题的关键是计算出三角形的各边,即需要引入时间这 个参变量。 解: 如图, 设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船, 则 CB=10x, AB=14x,AC=9, ? ACB= 75 ? + 45? = 120? ?(14x) 2 = 9 2 + (10x) 2 -2 ? 9 ? 10xcos 120? 3 9 ?化简得 32x 2 -30x-27=0,即 x= ,或 x=- (舍去) 2 16 所以 BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因为 sin ? BAC = 3 5 3 BC sin120? 15 = = ? 2 AB 14 21 ? ? BAC =38 ? 13? ,或 ? BAC =141 ? 47? (钝角不合题意,舍去), ?38 ? 13? + 45? =83 ? 13? 答:巡逻艇应该沿北偏东 83 ? 13? 方向去追,经过 1.4 小时才追赶上该走私船. 评注:在求解三角形中,我们可以根据正弦函数的定义得到两个解,但作为有关现实生 活的应用题,必须检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解 二:“距离测量”问题 例 2 某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25 方向, 从 A 出发有一条南偏东 35 走向的公路, 在 C 处测得与 C 相距 31km 的公路上有一个人正沿着此公路向 A 走去,走 20km 到达 D , 此时测得 CD 距离为 21km ,求此人在 D 处距 A 处还有多远? 1 0 0 分析:解此类问题的关键是合理构造出三角形,将所求的距离看成是某个三角形的边, 通过解斜三角形,问题得到解决 详解:由已知得 ?CAD ? 60 0 cos B ? BC 2 ? BD2 ? CD 2 312 ? 202 ? 212 23 ? ? ,那么 2 BC ? BD 2 ? 31? 20 31 BC ? sin B 12 3 ? 24 ,于是在 ?ABC 中, AC ? sin ?CAD 31 2 2 2 0 2 2 2 sin B ? 在 ?ABC 中,BC ? AC ? AB ? 2 AC ? AB cos60 , 即 31 ? 24 ? AB ? 24AB 解得 AB ? 35 或 AB ? ?11 (舍去),因此, AD ? AB ? BD ? 35 ? 20 ? 15 故此人在 D 处距 A 处还有 15 km . 评注:测量两点间的距离,利用解斜三角形是一个重要的方法,解决这类问题的关键是 构造一个或几个三角形,测出有关边长和角,用正、余弦定理进行计算. 三 “物理”问题 例 3 平面内三个力 F1、F2、F3 作用于同一点且处于平衡状态,已知 F1=1N, F2 ? 6 ? 2 ,F1、F2 的夹角为 45°,求 F3 的大小及 F1 与 F3 的夹角. N 2 【分析】F3 的大小等于 F1 与 F2 合力的大小,但方向相反,因此只要求出 F1 与 F2 的合力 F 的大小和方向,就可以得出 F3 的大小和方向. 【详解】力是向量,在平面上取点 O,作 ? ? ? ? ? ? OA ? F1 , OB ? F2 , OC ? F3 , OA? OB ? ? OC ? ? ? 作平行四边形OADB,则 OD ? OA? OB 在△OAD 中,由余弦定理,得: OD2 ? OA2 ? AD2 ? 2OA ? AD ? 4 ? 2 3,OD ? 3 ? 1 由正弦定理,得: sin ∠AOD ? ∴∠AOD=30° 1 2 ? ? OC 与 OD 为相反向量 ∴F3 的大小为 ? 3 ? 1 N,F3 与F1 的夹角为∠AOC ? 180 o ? ∠AOD ? 150o ? . 2 评注: 物理中的力是向量, 向量的加减法运算是定义在平面图形三角形和平行四边形上 的,把力的关系表示在平行四边形或三角形上,通过解三角形来解力的问题. 3

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